Точная оценка третьего коэффициента для ограниченных не обращающихся в нуль голоморфных функций с действительными коэффициентами

Пусть $\Omega_0^r$ --- класс функций $\omega,$ голоморфных в единичном круге $\Delta,$ \linebreak с~дейст\-ви\-тельными коэффициентами, удовлетворяющих условиям $|\omega(z)|<1,$ $\omega(0)=0,$ $z\in\Delta.$ Проблема коэффициентов на классе $\Omega_0^r$ формулируется следующим образом: найти необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на действительные числа $\{\omega\}_1, \{\omega\}_2,\ldots,$ чтобы ряд $\{\omega\}_1 z+\{\omega\}_2 z^2+\ldots$ являлся рядом Тейлора некоторой функции класса $\Omega_0^r.$

   Класс $B^r$ состоит из функций $f,$ голоморфных в $\Delta,$ с действительными коэффициентами, для которых выполняются условия $0<|f(z)|\leq 1,$ $z\in\Delta.$ Подклассы $B_t^r,$ $t\geq 0,$ определяются как множество функций $f\in B^r,$ нормированных условием $f(0)=e^{-t}.$ Задача точной оценки $|\{f\}_n|,$ $n\in\mathbb{N},$ на классах $B^r$ или $B_t^r$ известна как проблема Кшижа для соответствующего класса. Очевидно, объединение всех классов $B_t^r$ исчерпывает класс $B^r$ с точностью до вращений в плоскости переменной $w$ ($w=f(z)$).

На основе решения проблемы коэффициентов для класса $\Omega_0^r$ решена задача точной оценки функционала $|\{f\}_3|$ на классах $B_t^r$ при каждом $t\geq  0.$ Для этого задача была сведена к задаче оценки функционала над классом $\Omega_0^r,$ после чего задача сведена к задаче о поиске глобального условного экстремума функции двух действительных переменных с~ограничениями типа неравенств.

Экстремальные функции найдены в двух формах: в форме выпуклой комбинации ядер Шварца, связанной с классом Каратеодори, и в форме произведений Бляшке, связанной с классом $\Omega_0^r.$