О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа

Задача поиска нормального решения операторного уравнения первого рода на паре гильбертовых пространств является классической в теории некорректных задач. В соответствии с теорией регуляризации ее решения аппроксимируются экстремалями функционала Тихонова. С точки зрения теории задач на условный экстремум эквивалентной классической некорректной задаче является задача минимизации функционала, равного квадрату нормы элемента, с операторным (т. е. задаваемым оператором с бесконечномерным образом) ограничением-равенством. В статье обсуждается возможность регуляризации принципа Лагранжа (ПЛ) в указанной задаче на условный экстремум. Эта регуляризация представляет собою такую трансформацию ПЛ, которая превращает его в универсальное средство устойчивого решения некорректных задач в терминах обобщенных минимизирующих последовательностей (ОМП) и сохраняет основанное на конструкциях классической функции Лагранжа его «общее структурное устройство». Трансформированный ПЛ «содержит» классический аналог в качестве своего предельного варианта при стремлении номеров элементов ОМП к бесконечности. Обсуждаются как неитеративный, так и итеративный варианты регуляризации ПЛ. Каждый из них приводит к устойчивому генерированию ОМП в исходной задаче на условный экстремум из экстремалей регулярного функционала Лагранжа, взятого при значениях двойственной переменной, вырабатываемой соответствующей процедурой регуляризации двойственной задачи. В заключение статьи обсуждается взаимосвязь экстремалей функционалов Тихонова и Лагранжа в рассматриваемой классической некорректной задаче.

некорректная задача, линейное операторное уравнение, регуляризирующий алгоритм, метод регуляризации Тихонова, условная минимизация, операторное ограничение-равенство, правило множителей Лагранжа, обобщенная минимизирующая последовательность, итеративная регуляризация, двойственная регуляризация, регуляризованный принцип Лагранжа