Задачи оптимального периодического сбора ресурса для моделей популяций, заданных разностными уравнениями

Рассматриваются модели однородных или структурированных (по виду, возрасту или иному признаку) популяций, динамика которых при отсутствии эксплуатации задана системой разностных уравнений
$x(k+1) = F\big(k, x(k)\big),$\!
где $x(k) = \big(x_1(k), \ldots, x_n(k)\big),$ $x_i(k),$ $i=1,\ldots,n$~--- численность $i$-го вида или возрастного класса популяции в момент времени $k=0,1,2,\ldots;$ $F(k,x)=\bigl(F_1(k,x), \ldots, F_n(k,x)\bigr),$ $F_i(k,x)$~--- вещественные функции, которые определены и непрерывны на множестве $\mathbb{R}^n_+ \doteq\big\{x\in\mathbb{R}^n : x_1\geqslant0, \ldots, x_n\geqslant0\big\}.$

Предполагается, что в моменты времени $k=1, 2, \ldots$ популяция подвержена промысловому воздействию $u(k)=(u_1(k),\ldots,u_n(k))\in[0, 1]^n.$ Тогда исследуется модель эксплуатируемой популяции, заданной системой разностных уравнений
$X(k+1) = F\bigl(k,(1-u(k))X(k)\bigr), \quad k=1, 2, \ldots,$
где $X(k)=\big(X_1(k), \ldots, X_n(k)\big),$
$(1-u(k))X(k)=\big((1-u_1(k))X_1(k),\ldots,(1-u_n(k))X_n(k)\big),$ $X_i(k)$ и ${(1-u_i(k))X_i(k)}$~---
количество ресурса $i$-го вида до и после сбора в момент $k$ соответственно, $i=1,\ldots,n.$

Исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на неограниченном промежутке времени при периодическом режиме эксплуатации, при
котором достигаются наибольшие значения характеристик сбора. Первая из таких характеристик~--- средняя временная выгода, заданная пределом при
$k\to\infty$ среднего арифметического стоимости ресурса за $k$ сборов. Другая~--- эффективность сбора, равная пределу при $k\to\infty$
отношения стоимости ресурса, полученной за $k$ сборов, к сумме приложенных для этого управлений (усилий сбора). Результаты работы проиллюстрированы
на примерах однородной эксплуатируемой популяции, заданной дискретным логистическим уравнением, и структурированной популяции, состоящей из двух видов.