About a complex operator exponential function of a complex operator argument main property

Full Text

Введение Известно [1-4], что при построении общего решения линейного дифференциального уравнения n -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициен- тами в банаховом пространстве используются экспоненциальная и тригонометрические операторные функции действительного аргумента, свойства которых следуют из соот- ветствующих свойств комплексной операторной экспоненциальной функции eZ ком- плексного операторного аргумента Z . В связи с этим актуальна задача детального изучения свойств функции eZ . В данной работе предлагается доказательство основно- го свойства экспоненциальной функции: eZ1+Z2 = eZ1eZ2 , использующее тот факт, что сумма ряда, являющегося произведением двух абсолютно сходящихся рядов с опера- торными членами, равна произведению сумм перемножаемых рядов. 1. Основные понятия Пусть E банахово пространство; L(E) банахова алгебра ограниченных линей- ных операторов, действующих из E в E: В целях ясности дальнейшего изложения ма- териала будем обозначать сумму сходящегося ряда 1P n=0 Fn; где Fn 2 L(E); n 2 N [f0g; выражением (s) 1P n=0 Fn: Рассмотрим функции f; g; h : L(E) ! L(E); определяемые 326 В. И. Фомин суммами абсолютно сходящихся рядов [5, с. 127, с. 132]: f(A) = eA = (s) X1 n=0 An n! ; (1.1) g(B) = sinB = (s) X1 n=0 ( 1)nB2n+1 (2n + 1)! ; (1.2) h(B) = cosB = (s) X1 n=0 ( 1)nB2n (2n)! : (1.3) Заметим, что eO = I; sinO = O; cosO = I; кроме того, sin( B) = sinB; cos( B) = cosB; 8B 2 L(E): (1.4) Известно [6, с. 41], что при любых A1;A2 2 L(E); удовлетворяющих условию A1A2 = A2A1; для операторной экспоненциальной функции (1.1) справедливо равен- ство eA1+A2 = eA1 eA2 : (1.5) В дальнейшем нам потребуются два соотношения для операторных тригонометри- ческих функций (1.2), (1.3). Лемма 1.1. Для любых B1;B2 2 L(E); удовлетворяющих условию B1B2 = B2B1; (1.6) справедливы формулы sin(B1 + B2) = sinB1 cosB2 + cosB1 sinB2; (1.7) cos(B1 + B2) = cosB1 cosB2 sinB1 sinB2: (1.8) Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем справедливость равенства (1.7) (формула (1.8) доказывается аналогично). Рассмотрим ряд, сумма которого определяет левую часть формулы (1.7): X1 n=0 ( 1)n(B1 + B2)2n+1 (2n + 1)! : (1.9) В силу условия (1.6) можно применить бином Ньютона: (B1 + B2)2n+1 = 2Pn+1 s=0 Cs 2n+1B2n+1 s 1 Bs 2 = = Pn k=0 C2k 2n+1B2n 2k+1 1 B2k 2 + Pn k=0 C2k+1 2n+1B2n 2k 1 B2k+1 2 : (1.10) ОБ ОСНОВНОМ СВОЙСТВЕ ЭКСПОНЕНТЫ 327 Заметим, что 1 (2n + 1)! C2k 2n+1 = 1 (2n 2k + 1)!(2k)! ; (1.11) 1 (2n + 1)! C2k+1 2n+1 = 1 (2n 2k)!(2k + 1)! : (1.12) В силу соотношений (1.9)-(1.12) X1 n=0 ( 1)n(B1+B2)2n+1 (2n+1)! = X1 n=0 ( 1)n " Xn k=0 B2n 2k+1 1 B2k 2 (2n 2k+1)!(2k)! + Xn k=0 B2n 2k 1 B2k+1 2 (2n 2k)!(2k+1)! # : (1.13) Рассмотрим ряды, порождающие правую часть равенства (1.7): P1 = X1 n=0 ( 1)nB2n+1 1 (2n + 1)! ; P2 = X1 n=0 ( 1)n B2n 2 (2n)! ; P3 = X1 n=0 ( 1)n B2n 1 (2n)! ; P4 = X1 n=0 ( 1)n B2n+1 2 (2n + 1)! : Используя произведение рядов в форме Коши, получаем: P1P2 = X1 n=0 X l+k=n ( 1)lB2l+1 1 (2l + 1)! ( 1)k B2k 2 (2k)! ! ; P3P4 = X1 n=0 X l+k=n ( 1)l B2l 1 (2l)! ( 1)k B2k+1 2 (2k + 1)! ! или P1P2 = X1 n=0 ( 1)n X1 k=0 B2n 2k+1 1 B2k 2 (2n 2k + 1)!(2k)! ! ; P3P4 = X1 n=0 ( 1)n Xn k=0 B2n 2k 1 B2k+1 2 (2n 2k)!(2k + 1)! ! : Тогда P1P2 + P3P4 = X1 n=0 ( 1)n X1 k=0 B2n 2k+1 1 B2k 2 (2n 2k + 1)!(2k)! + Xn k=0 B2n 2k 1 B2k+1 2 (2n 2k)!(2k + 1)! ! : (1.14) Из соотношений (1.13), (1.14) следует равенство X1 n=0 ( 1)n(B1 + B2)2n+1 (2n + 1)! = P1P2 + P3P4: 328 В. И. Фомин Тогда в силу того, что сумма ряда, являющегося произведением двух абсолютно сходящихся рядов, равна произведению сумм перемножаемых рядов, получаем: (s) X1 n=0 ( 1)n(B1 + B2)2n+1 (2n + 1)! = (s) X1 n=0 ( 1)nB2n+1 1 (2n + 1)! ! (s) X1 n=0 ( 1)n B2n 2 (2n)! ! + + (s) X1 n=0 ( 1)n B2n 1 (2n)! ! (s) X1 n=0 ( 1)n B2n+1 2 (2n + 1)! ! ; т. е. в силу равенств (1.2), (1.3) sin(B1 + B2) = sinB1 cosB2 + cosB1 sinB2: В силу равенств (1.7), (1.8) sin 2B = 2 sinB cosB; cos 2B = cos2 B sin2 B: Из соотношений (1.4), (1.7), (1.8) получаем формулы sin(B1 B2) = sinB1 cosB2 cosB1 sinB2; cos(B1 B2) = cosB1 cosB2 + sinB1 sinB2: Тем же способом, каким установлены соотношения (1.7), (1.8), доказываются другие формулы операторной тригонометрии, например, основное операторное тригонометри- ческое тождество sin2 B + cos2 B = I; 8B 2 L(E): (1.15) Можно ввести понятия тангенса и котангенса операторного аргумента. Пусть D1 = B 2 L(E)j9 cos 1 B 2 L(E) ; D2 = B 2 L(E)j9 sin 1 B 2 L(E) ; где cos 1 B = (cosB) 1 и sin 1 B = (sinB) 1 обратные операторы соответственно для операторов cosB и sinB: Тогда можно рассмотреть функции ' : D1 ! L(E); : D2 ! L(E); определяемые формулами '(B) = tgB = sinB cos 1 B; (B) = ctgB = cosB sin 1 B: ОБ ОСНОВНОМ СВОЙСТВЕ ЭКСПОНЕНТЫ 329 2. Основные результаты Рассмотрим банахову алгебру комплексных операторов [7] CL(E) = [L(E)]2 = L(E) L(E) = fZ = (A;B)jA;B 2 L(E)g; которую удобно представить в виде CL(E) = fZ = A + JBjA;B 2 L(E)g; где J = (O; I) мнимая операторная единица. Напомним, что операция умножения в CL(E) задајтся формулой (A1 + JB1)(A2 + JB2) = A1A2 B1B2 + J(A1B2 + B1A2): Комплексная операторная экспоненциальная функция w : CL(E) ! CL(E) определя- ется равенством w(Z) = eZ = eA+JB = eA(cosB + J sinB); (2.1) в частности, при A = O; получаем операторную формулу Эйлера eJB = cosB + J sinB: (2.2) Докажем основное свойство экспоненциальной функции (2.1). Теорема 2.1. Для любых Z1 = A1+JB1; Z2 = A2+JB2 2 CL(E); удовлетворяющих условиям A1A2 = A2A1; B1B2 = B2B1; A2B1 = B1A2 справедливо равенство eZ1+Z2 = eZ1eZ2 : (2.3) Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу условия A1A2 = A2A1 справедливо равенство (1.5). Из условия B1B2 = B2B1 следуют формулы (1.7), (1.8). Тогда, используя условие A2B1 = B1A2; получаем: eZ1eZ2 = eA1(cosB1 + J sinB1)eA2(cosB2 + J sinB2) = = eA1+A2 [cosB1 cosB2 sinB1 sinB2 + J(sinB1 cosB2 + cosB1 sinB2)] = = eA1+A2 [cos(B1 + B2) + J sin(B1 + B2)] = eA1+A2+I(B1+B2) = eZ1+Z2 : В силу равенств (1.4), (2.2) e JB = cosB J sinB: (2.4) 330 В. И. Фомин Заметим, что J 1 = J: Тогда из соотношений (2.2), (2.4) следуют формулы sinB = J 2 eJB e JB ; (2.5) cosB = 1 2 eJB + e JB : (2.6) Основное операторное тригонометрическое тождество (1.15) можно доказать, используя равенства (2.3), (2.5), (2.6). Пусть A;B 2 L(E) ; A;B фиксированы. Рассмотрим функции ; ; :R ! L(E); определяемые равенствами (t) = eAt = (s) X1 n=0 tnAn n! ; (2.7) (t) = sinBt = (s) X1 n=0 ( 1)nt2n+1B2n+1 (2n + 1)! ; (2.8) (t) = cosBt = (s) X1 n=0 ( 1)nt2nB2n (2n)! : (2.9) В силу равенства (1.5) для операторной экспоненты (2.7) выполняется известное групповое свойство [6, с. 41] eA(t+) = eAteA ; 8t; 2 R: В силу тождества (1.15) получаем известное соотношение [8] sin2 Bt + cos2 Bt = I; 8t 2 R: Для операторов B1;B2 2 L(E); удовлетворяющих условию (1.6) получаем, в силу равенств (1.7), (1.8), соотношения sin [(B1 + B2)t] = sinB1t cosB2t + cosB1t sinB2t; cos [(B1 + B2)t] = cosB1t cosB2t sinB1t sinB2t: Пусть Z = A+JB 2 CL(E) ; Z фиксирован. Рассмотрим функцию (t) :R ! CL(E); определяемую равенством (t) = eZt = e(A+JB)t = eAt(cosBt + J sinBt): (2.10) Если действительная и мнимая части оператора Z коммутируют: AB = BA; (2.11) ОБ ОСНОВНОМ СВОЙСТВЕ ЭКСПОНЕНТЫ 331 то в силу доказанной выше теоремы eZ(t+) = eZteZ ; 8t; 2 R: Напомним [6, c. 41], что производная операторной экспоненты (2.7) выражается фор- мулой eAt0 = AeAt: Известно [7], что при выполнении условия (2.11) для производной комплексной опе- раторной экспоненты (2.10) справедливо равенство eZt0 = ZeZt:

About the authors

Vasiliy I. Fomin

Tambov State Technical University

Email: vasiliyfomin@bk.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Technical Mechanic and Machine Part Department 106 Sovetskaya St., Tambov 392000, Russian Federation

References

Supplementary files