On random equilibrium points

Abstract

We present a random version of a theorem on equilibrium points for two parametrized multivalued maps satisfying a joint Caristi type condition.

Full Text

Введение Теорема Каристи [1] одно из известных в нелинейном анализе утверждений о непо- движной точке, нашедшее целый ряд обобщений и приложений (см., например, [2]-[5] и др.) В настоящей работе представлена случайная версия теоремы о существовании то- чек равновесия для двух параметризованных мультиотображений (многозначных отоб- ражений), удовлетворяющих совместным условиям типа Каристи. 1. Предварительные сведения. Некоторые понятия из теории многозначных отображений Напомним некоторые сведения из многозначного анализа (подробности можно най- ти, например, в [3], [6]-[7]). Пусть X и Y метрические пространства. Символами C(Y ) [K(Y )] будем обо- значать совокупности всех непустых замкнутых [соответственно, компактных] подмно- жеств Y: Если Y нормированное подмножество, символы Cv(Y ) [Kv(Y )] обозна- чают совокупности всех непустых выпуклых замкнутых [соответственно, компактных] подмножеств Y: О п р е д е л е н и е 1. Мультиотображение F : X ! C(Y ) называют полунепре- рывным сверху (п.н.св.) [полунепрерывным снизу (п.н.сн.)], если для каждого откры- того [соответственно, замкнутого] множества V Y F 1(V ) = fx 2 X : F(x) V g открытое [соответственно, замкнутое] подмножество X: О п р е д е л е н и е 2. Мультиотображение F : X ! C(Y ) называется непрерыв- ным, если оно полунепрерывно и сверху и снизу. Пусть ( ; ) измеримое пространство, т. е. является -алгеброй подмножеств : О п р е д е л е н и е 3. Мультиотображение F : ! C(Y ) называется измери- мым, если F 1(V ) 2 для каждого открытого множества V Y . Всюду в дальнейшем, пусть ( ;; ) локально компактное метрическое пространство с мерой Радона и -алгеброй -измеримых подмножеств. Пусть X; Y сепарабельные метрические пространства. 114 В.В. Обуховский, Е. Н. Гетманова, М. Г. Карпов О п р е д е л е н и е 4. Мультиотображение F : X ! C(Y ) называется слу- чайным u -мультиотображением [случайным l -мультиотображением], если: (i) F измеримо относительно минимальной -алгебры, порожденной B(X) , где B(X) совокупность борелевских подмножеств X ; (ii) для любого ! 2 , мультиотображение F(!; ) : X ! C(Y ) п.н.св. [соответствен- но, п.н.сн.] Если мультиотображение F : X ! C(Y ) удовлетворяет условию (i) и условию (ii)0 для любого ! 2 , мультиотображение F(!; ) : X ! C(Y ) непрерывно, то оно называется случайным мультиотображением. О п р е д е л е н и е 5. Пусть A X замкнутое множество. Измеримое отоб- ражение : ! A называется случайной неподвижной точкой мультиотображения F : A ! C(X) , если (!) 2 F(!; (!)) для всех ! 2 : Лемма 1. ([7, Предложение 31.3]). Пусть F : A ! C(X) случайное u - мультиотображение такое, что для каждого ! 2 множество неподвижных точек FixF(!; ) = fx 2 X : x 2 F(!; x)g непусто. Тогда F имеет случайную неподвижную точку. Прежде чем сформулировать следующее утверждение, приведем еще одно опреде- ление. Назовем функцию : X ! ( 1;+1] допустимой, если для любого ! 2 функция (!; ) собственная, т. е. ее значение конечно, по крайней мере, в одной точке, она ограничена снизу и полунепрерывна снизу. Следующий результат является прямым следствием многозначной версии теоремы Каристи о неподвижной точке (см. [1], [2], [4]) и Леммы 1. Теорема 1. Пусть (X; d) полное сепарабельное метрическое пространство и : X ! ( 1;+1] допустимая функция. Если F : X ! C(X) случайное u - мультиотображение такое, что для любых ! 2 и x 2 X существует f 2 F(!; x) такое, что (!; f) + d(x; f) (!; x); то F имеет случайную неподвижную точку. О п р е д е л е н и е 6. Отображение f : X ! Y называется каратеодориев- ским, если: (i) для каждого ! 2 отображение f(!; ) : X ! Y непрерывно; (ii) для каждого x 2 X отображение f(; x) : ! Y измеримо. О СЛУЧАЙНЫХ ТОЧКАХ РАВНОВЕСИЯ 115 Аналогично, F : X ! K(Y ) называется каратеодориевским мультиотображени- ем, если: (i) мультиотображение F(!; ) : X ! K(Y ) непрерывно для любого ! 2 ; (ii) мультиотображение F(; x) : ! K(Y ) измеримо для каждого x 2 X: Отметим следующие свойства каратеодориевских мультиотображений (см. [3, Предло- жения 7.9 и 7.16]). Лемма 2. Если F : X ! K(Y ) каратеодориевское мультиотображение, то (i) F измеримо; (ii) если пространство X полно, то для любого " > 0 существует замкнутое под- множество " такое, что ( n ") < " и сужение F j "X непрерывно. Справедлив следующий параметрический аналог теоремы Майкла о непрерывном сечении (см. [3, Теорема 7.23]). Лемма 3. Пусть X полное сепарабельное метрическое пространство; Y се- парабельное банахово пространство; F : X ! Cv(Y ) l -случайное мультиотоб- ражение. Тогда F допускает каратеодориевское сечение, т. е. существует каратео- дориевское отображение f : X ! Y такое, что f(!; x) 2 F(!; x); 8(!; x) 2 X: 2. Основной результат Теорема 2. Пусть X сепарабельное банахово пространство; (Y; d) полное сепа- рабельное метрическое пространство; F : X ! K(Y ) каратеодориевское муль- тиотображение и G: Y ! Cv(X) случайное l -мультиотображение. Пусть : Y ! ( 1;+1] допустимая функция такая, что для каждых ! 2 и x 2 X найдется f 2 F(!; x) такое, что для любого y 2 Y; удовлетворяющего x 2 G(!; y); выполнено (!; y) + d(y; f) (!; y): Тогда существуют измеримые отображения x? : ! X и y? : ! Y такие, что ( x?(!) 2 G(!; y?(!)); y?(!) 2 F(!; x?(!)) для всех ! 2 : 116 В.В. Обуховский, Е. Н. Гетманова, М. Г. Карпов Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно Лемме 3, найдется каратеодориевское сечение g : Y ! X мультиотображения G : g(!; y) 2 G(!; y); 8(!; y) 2 Y: Рассмотрим мультиотображение e F : Y ! K(Y ) , определенное равенством e F(!; y) = F(!; g(!; y)): Покажем, что мультиотображение e F удовлетворяет условию Теоремы 1. Во-первых, установим, что e F является каратеодориевским мультиотображением. В самом деле, непрерывность мультиотображения e F(!; ) для любого ! 2 вытекает из свойств непрерывности мультиотображений (см., например, [3], [6], [7]). Далее, применяя Лем- му 2 (ii), для данного " > 0 возьмем замкнутое подмножество " такое, что ( n ") < " и сужения F и g на "Y являются непрерывными. Но тогда e F также непрерывно на "Y и, следовательно, e F(; y) непрерывно на " для каждого y 2 Y: Это означает, что мультиотображения e F(; y) удовлетворяют C -свойству Лузина для каждого y 2 Y и, следовательно (см. [7, Теорема 19.6]), они измеримы. Согласно Лемме 2 (i) мультиотображение e F измеримо, следовательно, это случай- ное мультиотображение. Теперь возьмем произвольные ! 2 и y 2 Y . По условию теоремы существует f 2 e F(!; y) = F(!; g(!; y)) такое, что (!; f) + d(y; f) (!; y): По Теореме 1, мультиотображение e F имеет случайную неподвижную точку y? : ! Y; т. е. y?(!) 2 e F(!; y?(!)) = F(!; g(!; y?(!))): Ясно, что отображение g(!; y?(!)) измеримо и, следовательно, оно может быть взято в качестве искомого отображения x?(!):