On the existence of fixed points in completely continuous operators in F-space

Abstract

This work is dedicated to the development of the theory of fixed points of completely continuous operators. We prove existence of new theorems of fixed points of completely continuous operators in F -space (Frechet space). This class of spaces except Banach includes such important space as a countably normed space and Lp0

Full Text

Введение Одним из важных разделов современного анализа является теория нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах с конусами, созданная М.А. Красносельским и его учениками (см. [1]-[4]). Ценность этой теории обусловливается её многочисленными приложениями в различных задачах естествознания: в задаче о критическом режиме ядерного реактора, в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем, в задачах геометрии в целом, в теории устойчивости, в теории нелинейных краевых задач, в математической экономике и т. д. Естественно возникает вопрос о распространении теории нелинейных операторных уравнений на более широкие классы пространств, чем банаховы, и, в частности, на F -пространства (пространства Фреше). Этот класс пространств, кроме банаховых, включает в себя такие важные пространства, как счётно-нормированные и пространства Lp(0 < p < 1); lp(0 < p < 1): Развитию теории неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действую- щих в F -пространстве, посвящается настоящая работа. 1. Предварительные сведения Приведём некоторые необходимые сведения и сформулируем ранее доказанные утверждения [5], которые будем использовать в дальнейшем. О п р е д е л е н и е 1.1. Линейное метрическое пространство X называется F -пространством [6], [7], если его метрика, кроме обычных свойств, обладает ещј свой- ствами: 1) (x; y) = (x y; 0) (x; y 2 X) ; 2) из n ! следует (nx; x) ! 0 (x 2 X) ; и из xn ! x следует (xn; x) ! 0 ( 2 R) ; 3) пространство X полно по метрике. В дальнейшем число kxk = (x; 0) будем называть -нормой элемента x . Пусть X m-мерное F -пространство с -нормой kxk ; а (l1; : : : ; lm) какой- нибудь базис в X: Тогда каждый элемент x 2 X единственным образом представляется в виде: x = Xm i=1 ili: 28 А. Н. Дорохов, М. Г. Карпов Положим kxk = max i21;m jij : Число kxk является нормой в X: Лемма 1.1. В m-мерном F -пространстве X для любой последовательности (xn) X соотношения kxnk ! 0 и kxnk ! 0 равносильны. О п р е д е л е н и е 1.2. Оператор A называется непрерывным на множестве M X F -пространства X; если он непрерывен в каждой точке x множества M: О п р е д е л е н и е 1.3. Оператор A называется компактным на множестве M F -пространства X; если он преобразует любое ограниченное по -норме kxk множе- ство N M в относительно компактное множество AN X: О п р е д е л е н и е 1.4. Оператор A называется вполне непрерывным на множе- стве M X F -пространства X; если он непрерывен и компактен на этом множестве. Пусть X F -пространство. Обозначим через X множество всех линейных непре- рывных в F -пространстве функционалов. Определим в этом множестве операции сло- жения элементов и умножения элементов на числа по формулам: (f + g) (x) = f (x) + g (x) ; (f) (x) = f (x) : С этими операциями множество X становится линейным (векторным) простран- ством, которое называется сопряжјнным пространством для F -пространства X: О п р е д е л е н и е 1.5. Сопряжјнное пространство X называется достаточным в F -пространстве X; если для любых элементов x1; x2 2 X; x1 6= x2 существует функ- ционал f 2 X; такой, что f (x1) 6= f (x2) : Легко видеть, что если в F -пространстве X существует норма kxk ; подчинјнная -норме kxk ; т. е. если существует число a > 0; такое, что a kxk kxk (x 2 X); то сопряжјнное пространство X достаточно в X: Пусть в F -пространстве X множество M X относительно компактно. Тогда его выпуклая оболочка coM также будет относительно компактным множеством в том случае, если -норма kxk в X эквивалентна некоторой норме kxk ; т. е. если существуют числа a > 0; b > 0 , такие, что a kxk kxk b kxk (x 2 X) : Теорема 1.1. Пусть 1) для каждого относительно компактного множества M X множество coM также относительно компактно в F -пространстве X ; 2) сопряжјнное пространство X достаточно в F -пространстве X; 3) вполне непрерывный оператор A преобразует непустое замкнутое ограниченное по -норме kxk выпуклое множество V X в себя. Тогда существует элемент x 2 V; такой, что Ax = x: О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 29 Теорема 1.2. Пусть 1) при каждом x 2 Xnf0g функция 'x (t) = ktxk возрастает по переменной t в промежутке [0;+1) ; 2) существует число b > 0; такое, что при всех t 2 [0; 1] и x 2 X выполняется неравенство ktxk bt kxk ; 3) в X существует норма kxk и числа a>0 и r0 >0; такие, что a kxk kxk (x 2 X; kxk r0); 4) вполне непрерывный оператор A преобразует непустое замкнутое ограниченное по -норме kxk выпуклое множество V X в себя. Тогда существует элемент x0 2 V; такой, что Ax0 = x0: 2. Основные результаты Получим новые условия существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в F -пространстве X: Вначале рассмотрим ситуацию, когда пространство X упорядочено некоторым конусом K X: О п р е д е л е н и е 2.1. Конус K X F -пространства X называется псевдо- нормальным, если для любых элементов u; v 2 X (u v) конусной отрезок hu; vi ограничен по -норме kxk : Теорема 2.1. Пусть 1) в F -пространстве X конус K псевдонормален; 2) для любого относительно компактного множества M X множество coM также относительно компактно; 3) сопряжјнное пространство X достаточно в X; 4) вполне непрерывный оператор A преобразует конусной отрезок hu; vi ; где u v фиксированные элементы в X; в себя. Тогда существует элемент x 2 hu; vi ; такой, что Ax = x: Д о к а з а т е л ь с т в о. В пространстве X конусной отрезок hu; vi в силу псевдо- нормальности конуса K является замкнутым ограниченным по -норме kxk выпук- лым множеством. Следовательно, в предположениях настоящей теоремы выполняются все условия теоремы 1.1. О п р е д е л е н и е 2.2. Оператор A; действующий в F -пространстве X; назы- вается усиленно непрерывным, если из xn сл ! x следует Axn ! Ax по -норме kxk : В следующей теореме не предполагается, что для любого относительно компактного множества M в F -пространстве X множество coM также относительно компактно. Теорема 2.2. Пусть действующий в F -пространстве X оператор A усиленно непрерывен, вполне непрерывен и преобразует непустое замкнутое ограниченное по -норме kxk выпуклое множество V X в себя. Тогда существует элемент x 2 V; такой, что Ax = x: 30 А. Н. Дорохов, М. Г. Карпов Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу компактности оператора A множество M = AV относительно компактно. Поэтому для любого " > 0 в M существует конечная " -сеть множество fy1; : : : ; yng такое, что для произвольного y 2 M существует элемент yi 2 (y1; : : : ; yn) ; для которого ky yik < ": Построим на множестве M оператор шаудеровского проектирования P"y = Xn i=1 Pi (y) yi n i=1 i (y) ; где i (y) = " ky yik ; если ky yik "; 0; если ky yik > ": Легко видеть, что функционалы i (y) i 2 1;m неотрицательны и непрерывны на множестве M: Далее, так как для любого y 2 M существует элемент yi 2 fy1; : : : ; yng ; удовлетворяющий оценке ky yik < "; то значение i (y) = " ky yik > 0: Следо- вательно, Pm i=1 i (y) > 0 (y 2 M) : Поэтому оператор P" (y) непрерывен на M: Нетрудно видеть, что конечномерные операторы A"x = P"Ax (" > 0) непрерывны на множестве V: Обозначим через X" конечномерное пространство, натянутое на множество (y1; : : : ; yn) и положим V" = V T X": Так как множество V выпукло и AV V; то P"Ax = Xn i=1 Pi (Ax) yi n i=1 i (Ax) 2 V \ X" = V" (x 2 V; " > 0) : Таким образом, A"V" = P"AV" V": Далее, так как в силу леммы 1.1 непрерывность оператора A" = P"A в конечно- мерном F -пространстве X" равносильна его непрерывности в X" по норме, то в силу теоремы Боля-Брауэра существуют элементы x" 2 V" такие, что A"x" = P"Ax" = x" (" > 0) . Полагая " = 1 n (n 2 N) ; построим элементы xn 2 V1 n (n 2 N); такие, что A1 n xn = P1 n Axn = xn (n 2 N) : В силу компактности оператора A без ограничения общности можно считать, что имеет место сходимость Axn ! x 2 V по -норме kxk : Возьмјм произвольный функционал f 2 X: Из определения оператора P1 n (y) = Xn i=1 Pi (y) yi n i=1 i (y) непосредственно следует, что если i (y) 6= 0; то ky yik < 1 n: Поэтому f P1 n Axn Axn sup i(Axn)6=0 jf (yi Axn)j ! 0: Отсюда и из kAxn xk ! 0 непосредственно следует, что f (xn) = f P1 n Axn ! f (x) : Следовательно, xn = P1 n Axn сл ! x: Тогда в силу усиленной непрерывности оператора A имеет место сходимость Axn ! Ax по -норме kxk : Отсюда и из kAxn xk ! 0 следует, что Ax = x: О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 31 О п р е д е л е н и е 2.3. Оператор A; действующий в F -пространстве X; назы- вается слабо непрерывным в X; если из xn сл ! x следует Axn сл ! Ax: Теорема 2.3. Пусть 1) сопряжјнное пространство X достаточно в F -пространстве X; 2) слабо непрерывный, и вполне непрерывный оператор A преобразует непустое замкнутое ограниченное по -норме kxk выпуклое множество V X в себя. Тогда существует элемент x 2 V; такой, что Ax = x: Д о к а з а т е л ь с т в о. Точно так же, как и при доказательстве теоремы 2.2, по- казывается, что существуют элементы xn 2 V1 n = V T X1 n ; где X1 n конечномерное пространство, натянутое на 1 n -сеть (y1; : : : ; yn) M = AV; такие, что P1 n Axn = xn (n 2 N): Так как последовательность (Axn) относительно компактна, то без ограничения общности можно считать, что Axn ! x по -норме kxk : Возьмјм произвольный функционал f 2 X: Из определения оператора P1 n непо- средственно следует, что если i (y) 6= 0; то ky yik < 1 n: Поэтому f P1 n Axn Axn sup i(Axn)6=0 jf (yi Axn)j ! 0: Отсюда и из kAxn xk ! 0 вытекает, что f (xn) = f P1 n Axn ! f (x) : Следовательно, xn сл ! x: Поэтому в силу слабой непрерывности оператора A после- довательность Axn сл ! Ax: Отсюда и из kAxn xk ! 0 ввиду достаточности X в X следует, что Ax = x: Действительно, из kAxn xk ! 0 для любого f 2 X получаем f (Axn) ! f (x) ; а из Axn сл ! Ax следует f (Axn) ! f (Ax) : Поэтому f (x) = f (Ax) : Но тогда в силу достаточности X в X верно Ax = x: