О существовании неподвижных точек у вполне непрерывных операторов в F-пространстве

Аннотация

Настоящая работа посвящается развитию теории неподвижных точек вполне непрерывных операторов. Приводятся доказательства новых теорем существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в F -пространстве (пространстве Фреше). Данный класс пространств, кроме банаховых, включает в себя такие важные пространства, как счётно-нормированные и пространства Lp0

Полный текст

Введение Одним из важных разделов современного анализа является теория нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах с конусами, созданная М.А. Красносельским и его учениками (см. [1]-[4]). Ценность этой теории обусловливается её многочисленными приложениями в различных задачах естествознания: в задаче о критическом режиме ядерного реактора, в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем, в задачах геометрии в целом, в теории устойчивости, в теории нелинейных краевых задач, в математической экономике и т. д. Естественно возникает вопрос о распространении теории нелинейных операторных уравнений на более широкие классы пространств, чем банаховы, и, в частности, на F -пространства (пространства Фреше). Этот класс пространств, кроме банаховых, включает в себя такие важные пространства, как счётно-нормированные и пространства Lp(0 < p < 1); lp(0 < p < 1): Развитию теории неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действую- щих в F -пространстве, посвящается настоящая работа. 1. Предварительные сведения Приведём некоторые необходимые сведения и сформулируем ранее доказанные утверждения [5], которые будем использовать в дальнейшем. О п р е д е л е н и е 1.1. Линейное метрическое пространство X называется F -пространством [6], [7], если его метрика, кроме обычных свойств, обладает ещј свой- ствами: 1) (x; y) = (x y; 0) (x; y 2 X) ; 2) из n ! следует (nx; x) ! 0 (x 2 X) ; и из xn ! x следует (xn; x) ! 0 ( 2 R) ; 3) пространство X полно по метрике. В дальнейшем число kxk = (x; 0) будем называть -нормой элемента x . Пусть X m-мерное F -пространство с -нормой kxk ; а (l1; : : : ; lm) какой- нибудь базис в X: Тогда каждый элемент x 2 X единственным образом представляется в виде: x = Xm i=1 ili: 28 А. Н. Дорохов, М. Г. Карпов Положим kxk = max i21;m jij : Число kxk является нормой в X: Лемма 1.1. В m-мерном F -пространстве X для любой последовательности (xn) X соотношения kxnk ! 0 и kxnk ! 0 равносильны. О п р е д е л е н и е 1.2. Оператор A называется непрерывным на множестве M X F -пространства X; если он непрерывен в каждой точке x множества M: О п р е д е л е н и е 1.3. Оператор A называется компактным на множестве M F -пространства X; если он преобразует любое ограниченное по -норме kxk множе- ство N M в относительно компактное множество AN X: О п р е д е л е н и е 1.4. Оператор A называется вполне непрерывным на множе- стве M X F -пространства X; если он непрерывен и компактен на этом множестве. Пусть X F -пространство. Обозначим через X множество всех линейных непре- рывных в F -пространстве функционалов. Определим в этом множестве операции сло- жения элементов и умножения элементов на числа по формулам: (f + g) (x) = f (x) + g (x) ; (f) (x) = f (x) : С этими операциями множество X становится линейным (векторным) простран- ством, которое называется сопряжјнным пространством для F -пространства X: О п р е д е л е н и е 1.5. Сопряжјнное пространство X называется достаточным в F -пространстве X; если для любых элементов x1; x2 2 X; x1 6= x2 существует функ- ционал f 2 X; такой, что f (x1) 6= f (x2) : Легко видеть, что если в F -пространстве X существует норма kxk ; подчинјнная -норме kxk ; т. е. если существует число a > 0; такое, что a kxk kxk (x 2 X); то сопряжјнное пространство X достаточно в X: Пусть в F -пространстве X множество M X относительно компактно. Тогда его выпуклая оболочка coM также будет относительно компактным множеством в том случае, если -норма kxk в X эквивалентна некоторой норме kxk ; т. е. если существуют числа a > 0; b > 0 , такие, что a kxk kxk b kxk (x 2 X) : Теорема 1.1. Пусть 1) для каждого относительно компактного множества M X множество coM также относительно компактно в F -пространстве X ; 2) сопряжјнное пространство X достаточно в F -пространстве X; 3) вполне непрерывный оператор A преобразует непустое замкнутое ограниченное по -норме kxk выпуклое множество V X в себя. Тогда существует элемент x 2 V; такой, что Ax = x: О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 29 Теорема 1.2. Пусть 1) при каждом x 2 Xnf0g функция 'x (t) = ktxk возрастает по переменной t в промежутке [0;+1) ; 2) существует число b > 0; такое, что при всех t 2 [0; 1] и x 2 X выполняется неравенство ktxk bt kxk ; 3) в X существует норма kxk и числа a>0 и r0 >0; такие, что a kxk kxk (x 2 X; kxk r0); 4) вполне непрерывный оператор A преобразует непустое замкнутое ограниченное по -норме kxk выпуклое множество V X в себя. Тогда существует элемент x0 2 V; такой, что Ax0 = x0: 2. Основные результаты Получим новые условия существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в F -пространстве X: Вначале рассмотрим ситуацию, когда пространство X упорядочено некоторым конусом K X: О п р е д е л е н и е 2.1. Конус K X F -пространства X называется псевдо- нормальным, если для любых элементов u; v 2 X (u v) конусной отрезок hu; vi ограничен по -норме kxk : Теорема 2.1. Пусть 1) в F -пространстве X конус K псевдонормален; 2) для любого относительно компактного множества M X множество coM также относительно компактно; 3) сопряжјнное пространство X достаточно в X; 4) вполне непрерывный оператор A преобразует конусной отрезок hu; vi ; где u v фиксированные элементы в X; в себя. Тогда существует элемент x 2 hu; vi ; такой, что Ax = x: Д о к а з а т е л ь с т в о. В пространстве X конусной отрезок hu; vi в силу псевдо- нормальности конуса K является замкнутым ограниченным по -норме kxk выпук- лым множеством. Следовательно, в предположениях настоящей теоремы выполняются все условия теоремы 1.1. О п р е д е л е н и е 2.2. Оператор A; действующий в F -пространстве X; назы- вается усиленно непрерывным, если из xn сл ! x следует Axn ! Ax по -норме kxk : В следующей теореме не предполагается, что для любого относительно компактного множества M в F -пространстве X множество coM также относительно компактно. Теорема 2.2. Пусть действующий в F -пространстве X оператор A усиленно непрерывен, вполне непрерывен и преобразует непустое замкнутое ограниченное по -норме kxk выпуклое множество V X в себя. Тогда существует элемент x 2 V; такой, что Ax = x: 30 А. Н. Дорохов, М. Г. Карпов Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу компактности оператора A множество M = AV относительно компактно. Поэтому для любого " > 0 в M существует конечная " -сеть множество fy1; : : : ; yng такое, что для произвольного y 2 M существует элемент yi 2 (y1; : : : ; yn) ; для которого ky yik < ": Построим на множестве M оператор шаудеровского проектирования P"y = Xn i=1 Pi (y) yi n i=1 i (y) ; где i (y) = " ky yik ; если ky yik "; 0; если ky yik > ": Легко видеть, что функционалы i (y) i 2 1;m неотрицательны и непрерывны на множестве M: Далее, так как для любого y 2 M существует элемент yi 2 fy1; : : : ; yng ; удовлетворяющий оценке ky yik < "; то значение i (y) = " ky yik > 0: Следо- вательно, Pm i=1 i (y) > 0 (y 2 M) : Поэтому оператор P" (y) непрерывен на M: Нетрудно видеть, что конечномерные операторы A"x = P"Ax (" > 0) непрерывны на множестве V: Обозначим через X" конечномерное пространство, натянутое на множество (y1; : : : ; yn) и положим V" = V T X": Так как множество V выпукло и AV V; то P"Ax = Xn i=1 Pi (Ax) yi n i=1 i (Ax) 2 V \ X" = V" (x 2 V; " > 0) : Таким образом, A"V" = P"AV" V": Далее, так как в силу леммы 1.1 непрерывность оператора A" = P"A в конечно- мерном F -пространстве X" равносильна его непрерывности в X" по норме, то в силу теоремы Боля-Брауэра существуют элементы x" 2 V" такие, что A"x" = P"Ax" = x" (" > 0) . Полагая " = 1 n (n 2 N) ; построим элементы xn 2 V1 n (n 2 N); такие, что A1 n xn = P1 n Axn = xn (n 2 N) : В силу компактности оператора A без ограничения общности можно считать, что имеет место сходимость Axn ! x 2 V по -норме kxk : Возьмјм произвольный функционал f 2 X: Из определения оператора P1 n (y) = Xn i=1 Pi (y) yi n i=1 i (y) непосредственно следует, что если i (y) 6= 0; то ky yik < 1 n: Поэтому f P1 n Axn Axn sup i(Axn)6=0 jf (yi Axn)j ! 0: Отсюда и из kAxn xk ! 0 непосредственно следует, что f (xn) = f P1 n Axn ! f (x) : Следовательно, xn = P1 n Axn сл ! x: Тогда в силу усиленной непрерывности оператора A имеет место сходимость Axn ! Ax по -норме kxk : Отсюда и из kAxn xk ! 0 следует, что Ax = x: О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 31 О п р е д е л е н и е 2.3. Оператор A; действующий в F -пространстве X; назы- вается слабо непрерывным в X; если из xn сл ! x следует Axn сл ! Ax: Теорема 2.3. Пусть 1) сопряжјнное пространство X достаточно в F -пространстве X; 2) слабо непрерывный, и вполне непрерывный оператор A преобразует непустое замкнутое ограниченное по -норме kxk выпуклое множество V X в себя. Тогда существует элемент x 2 V; такой, что Ax = x: Д о к а з а т е л ь с т в о. Точно так же, как и при доказательстве теоремы 2.2, по- казывается, что существуют элементы xn 2 V1 n = V T X1 n ; где X1 n конечномерное пространство, натянутое на 1 n -сеть (y1; : : : ; yn) M = AV; такие, что P1 n Axn = xn (n 2 N): Так как последовательность (Axn) относительно компактна, то без ограничения общности можно считать, что Axn ! x по -норме kxk : Возьмјм произвольный функционал f 2 X: Из определения оператора P1 n непо- средственно следует, что если i (y) 6= 0; то ky yik < 1 n: Поэтому f P1 n Axn Axn sup i(Axn)6=0 jf (yi Axn)j ! 0: Отсюда и из kAxn xk ! 0 вытекает, что f (xn) = f P1 n Axn ! f (x) : Следовательно, xn сл ! x: Поэтому в силу слабой непрерывности оператора A после- довательность Axn сл ! Ax: Отсюда и из kAxn xk ! 0 ввиду достаточности X в X следует, что Ax = x: Действительно, из kAxn xk ! 0 для любого f 2 X получаем f (Axn) ! f (x) ; а из Axn сл ! Ax следует f (Axn) ! f (Ax) : Поэтому f (x) = f (Ax) : Но тогда в силу достаточности X в X верно Ax = x: