Проблема коэффициентов для ограниченных функций и ее приложения

Проводится обзор восходящего к И.~Шуру решения классической проблемы коэффициентов на классе~$\Omega_0$ ограниченных в единичном круге функций $\omega$ c нормировкой $\omega(0)=0.$ Затем выводятся первые шесть неравенств, описывающие соответственно первые шесть тел коэффициентов на классе~$\Omega_0.$ Далее излагается метод получения аналогичных неравенств для связанных с классом $\Omega_0$ классов $M_F$ функций, подчиненных голоморфной функции $F,$ и при этом дается решение проблемы коэффициентов для этих классов. Затем анализируются свойства упомянутых неравенств, а также связи между ними. Кроме того показано, что для описания $n$-го тела коэффициентов на классе $\Omega_0,$ а следовательно, и $M_F$ достаточно только одного $n$-го неравенства.

Обсуждаются задачи как об оценке модуля каждого начального тейлоровского коэффициента по отдельности, так и об оценке модулей всех тейлоровских коэффициентов сразу.

Задача получения точных оценок модуля тейлоровского коэффициента с номером $n,$ то есть функционала $|\{f\}_n|,$  на классе $M_F$ сначала сведена к задаче об оценке функционала над классом~$\Omega_0,$ которая в свою очередь сведена к задаче о поиске максимального по модулю условного экстремума действительнозначной функции $2(n-1)$ действительных аргументов с ограничениями типа неравенств $0\leqslant x_k\leqslant1,$ $0\leqslant\varphi_k<2\pi,$ что позволяет применять стандартные методы дифференциального исчисления для исследования на экстремумы, так как целевая функция бесконечно гладкая по всем своим аргументам. Для этого используются результаты решения классической проблемы коэффициентов на классе~$\Omega_0.$