Отправить статью по E-mail О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем
- Авторы: Афанасьев А.П.1,2,3, Дзюба С.М.4
-
Учреждения:
- ФГБУН «Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича» Российской академии наук
- ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
- ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»
- ФГБОУ ВО «Тверской государственный технический университет»
- Выпуск: Том 26, № 133 (2021)
- Страницы: 5-14
- Раздел: Научные статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/2686-9667/article/view/296353
- ID: 296353
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В статье приведено новое свойство рекуррентных движений динамических систем. В компактном метрическом пространстве данное свойство устанавливает связь между движениями общего вида и рекуррентными движениями. Кроме того, это свойство устанавливает весьма простой характер поведения рекуррентных движений, что органично дополняет классическое определение, приведенное в монографии [В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. URSS, М., 2004].
Впервые указанное выше новое свойство рекуррентных движений фактически было анонсировано в более ранней статье авторов [А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба. О рекуррентных траекториях, минимальных множествах и квазипериодических движениях динамических систем // Дифференц. уравнения. 2005, т. 41, № 11, с. 1469–1474]. В этой же статье приведено краткое доказательство соответствующей теоремы. Это доказательство оказалось слишком схематичным. Кроме того, оно (доказательство) содержит ряд очевидных пробелов.
Некоторое время назад выяснилось, что на основании данного нового свойства можно показать, что в компактном метрическом пространстве - и -предельные множества каждого движения являются минимальными. Из этого следует, что в компактном метрическом пространстве каждое положительно (отрицательно) устойчивое по Пуассону движение является рекуррентным.
Значение этих результатов очевидно. Они ясно указывают причину того, что в настоящее время отсутствуют критерии существования устойчивых по Пуассону нерекуррентных движений. Более того, они показывают причину того, что известные попытки построения устойчивых по Пуассону нерекуррентных движений на компактных замкнутых многообразиях оказались неудачными; во всяком случае примеров таких движений нет.
Ключевым для нового свойства минимальных множеств является указанное новое свойство рекуррентных движений. Поэтому в настоящей статье мы приводим полное и подробное доказательство этого свойства.
Впервые результаты настоящей работы были доложены 28 января 2020 г. на семинаре Добрушинской математической лаборатории в ИППИ РАН им. А.А. Харкевича.
Об авторах
Александр Петрович Афанасьев
ФГБУН «Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича» Российской академии наук; ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»; ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»
Email: apa@isa.ru
ORCID iD: 0000-0002-4171-5745
доктор физико-математических наук, заведующий центром распределенных вычислений; профессор; профессор
Россия, 127051, Российская Федерация, г. Москва, Большой Каретный переулок, 19; 101000, Российская Федерация, г. Москва, ул. Мясницкая, 20; 119991, Российская Федерация, г. Москва, Ленинские горы, 1Сергей Михайлович Дзюба
ФГБОУ ВО «Тверской государственный технический университет»
Автор, ответственный за переписку.
Email: sdzyuba@mail.ru
доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем
Россия, 170026, Российская Федерация, г. Тверь, наб. Афанасия Никитина, 22Список литературы
- В.В. Немыцкий, В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений, Издательство URSS, М., 2004.
- Дж. Хейл, Теория функционально-дифференциальных уравнений, Мир, М., 1984.
- R. K. Miller, “Almost periodic differential equations as dynamical systems with application to existence of a.p. solutions”, Journal of Differential Equations, 1:3 (1965), 337–345.
- L. G. Deysach, G. R. Sell, “On the existence of almost periodic motions”, The Michigan Math. J., 12:1 (1965), 87–95.
- V. M. Millionshchikov, “Recurrent and almost periodic limit solutions of non-autonomous systems”, Differential Equations, 4:9 (1968), 1555–1559.
- N.P. Bhatia, S.-N. Chow, “Weak attraction, minimality, recurrence, and almost periodicity in semisystems”, Funkcialaj Ekvacioj, 15 (1972), 35–59.
- D. N. Cheban, Asymptotically Almost Periodic Solutions of Differential Equations, HPC, New York, 2009.
- А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба, “О рекуррентных траекториях, минимальных множествах и квазипериодических движениях динамических систем”, Дифференциальные уравнения, 41:11 (2005), 1469–1474.
- А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба, “Слабый периодический оператор сдвига и обобщенно-периодические движения”, Дифференциальные уравнения, 49:1 (2013), 123–127.
- А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба, Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах, Издательство ЛКИ, М., 2007.
- Л. Шварц, Анализ. Т. 2, Мир, М., 1972.
- Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Издательство ЛКИ, 2007.
Дополнительные файлы
