Динамические свойства одной импульсной задачи Коши

Рассматривается модель полносвязной ассоциации нейронов с синаптической электрической связью, представляющая собой систему $m$ дифференциальных уравнений с запаздыванием. Специальной заменой эта система приводится к системе импульсных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для соответствующей динамической системы в случае $m=3$ изучаются вопросы существования, устойчивости и асимптотического представления периодических решений на основании бифуркационного анализа двумерного отображения — оператора сдвига по траекториям решения специальной системы двух дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется числу сосуществующих устойчивых режимов. Исследуется задача нахождения параметров, для которых количество таких режимов максимально. Для поиска неподвижных точек полученного двумерного отображения используется численное исследование, основанное на следующей итерационной процедуре. Выбирается начальная точка, методом Рунге-Кутты с заданным шагом вычисляются значения решения на отрезке $[0,T]$, в конечной точке $T$ этого отрезка значение решения сравнивается с начальным и, если отклонение превышает заданное значение, то значение в конечной точке принимается за начальное и цикл вычислений методом Рунге-Кутты повторяется. Вычисления заканчиваются, если достигнуто требуемое малое отклонение, т. е. найдена неподвижная точка оператора сдвига, и соответствующий устойчивый периодический режим, или если количество итераций достигает заданного большого числа, что свидетельствует об отсутствии неподвижной точки. В работе представлены результаты проведенного численного исследования, позволившего продемонстрировать основные перестройки, происходящие в фазовом пространстве двумерного отображения. Полученные неподвижные точки позволяют найти асимптотические устойчивые решения исходной задачи.