On the study of the spectral properties of differential operators with a smooth weight function

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper we study the spectral properties of a third-order differential operator with a summable potential with a smooth weight function. The boundary conditions are separated. The method of studying differential operators with summable potential is a development of the method of studying operators with piecewise smooth coefficients. Boundary value problems of this kind arise in the study of vibrations of rods, beams and bridges composed of materials of different densities. The differential equation defining the differential operator is reduced to the solution of the Volterra integral equation by means of the method of variation of constants. The solution of the integral equation is found by the method of successive Picard approximations. Using the study of an integral equation, we obtained asymptotic formulas and estimates for the solutions of a differential equation defining a differential operator. For large values of the spectral parameter, the asymptotics of solutions of the differential equation that defines the differential operator is derived. Asymptotic estimates of solutions of a differential equation are obtained in the same way as asymptotic estimates of solutions of a differential operator with smooth coefficients. The study of boundary conditions leads to the study of the roots of the function, presented in the form of a third-order determinant. To get the roots of this function, the indicator diagram wasstudied. The roots of this equation are in three sectors of an infinitely small size, given by the indicator diagram. The article studies the behavior of the roots of this equation in each of the sectors of the indicator diagram. The asymptotics of the eigenvalues of the differential operator under study is calculated. The formulas found for the asymptotics of eigenvalues allow us to study the spectral properties of the eigenfunctions of the differential operator under study.

About the authors

Sergey I. Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University

Email: mitrokhinsergey@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Senior Researcher of the Research Computer Center GSP-1, Leninskie Gory, Moscow 119991, Russian Federation

References

  1. G.D. Birkhoff, “On the asymptotic character of the solutions of the certain linear differential equations containing parameter”, Trans. Amer. Math. Soc., 9 (1908), 219-231.
  2. Я.Д. Тамаркин, О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, тип. М.П. Фроловой, Петроград, 1917, 308 с.
  3. М.В. Федорюк, “Асимптотика решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка”, Дифференциальные уравнения, 2:4 (1966), 492-507.
  4. И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан, “Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка”, Доклады АН СССР, 88 (1953), 593-596.
  5. Б.М. Левитан, М.Г. Гасымов, “Определение дифференциального уравнения по двум спектрам”, УМН, 19:2(116) (1964), 3-63.
  6. В.Б. Лидский, В.А. Садовничий, “Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций”, Матем. сб., 75(117):4 (1968), 558-566.
  7. В.А. Ильин, “О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора”, Матем. заметки, 22:5 (1977), 679-698.
  8. В.Д. Будаев, “О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами”, Дифференц. уравнения, 23:6 (1987), 941-952.
  9. С.И. Митрохин, “О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1986, №6, 3-6.
  10. С.И. Митрохин, “О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом”, Дифференц. уравнения, 22:6 (1986), 927-931.
  11. H.P.W. Gottlieb, “Iso-spectral operators: some model examples with discontinuous coefficients”, Journal of Math. Anal. and Appl, 132 (1988), 123-137.
  12. С.И. Митрохин, “О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией”, Доклады РАН, 356:1 (1997), 13-15.
  13. А.П. Гуревич, А.П. Хромов, “Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией”, Матем. заметки, 56:1 (1994), 3-15.
  14. O.H. Hald, “Discontinuous inverse eigenvalue problems”, Communs Pure and Appl. Math., 37 (1984), 539-577.
  15. В.А. Винокуров, В.А. Садовничий, “Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом”, Дифференц. уравнения, 34:10 (1998), 1423-1426.
  16. С.И. Митрохин, “Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2009, №3, 14-17.
  17. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом”, Уфимский математический журнал, 3:4 (2011), 95-115.
  18. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом”, Дифференциальные уравнения, 47:12 (2011), 1808- 1811.
  19. А.М. Савчук, “Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с δ-потенциалом”, УМН, 55:6(336) (2000), 155-156.
  20. А.М. Савчук, А.,А. Шкаликов, “Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами”, Матем. заметки, 66:6 (1999), 897-912.
  21. С.И. Митрохин, Асимптотические методы решений дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами, ИНТУИТ, М., 2011, 592 с.
  22. С.И. Митрохин, “Об изучении спектральных свойств дифференциальных операторов четного порядка с разрывной весовой функцией”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 74-99.
  23. С.И. Митрохин, “О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией”, Вестник СамГУ. Естественнонауч. серия, 2008, №8(1/67), 172-187.
  24. М.А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Наука, М., 1969, 528 с.
  25. Р. Беллман, К.Л. Кук, Дифференциально-разностные уравнения, Мир, М., 1967, 548 с.
  26. В.А. Садовничий, В.А. Любишкин, “О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов”, Дифференц. уравнения, 18:1 (1982), 109-116.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).