Elements of analytical solutions constructor in a class of time-optimal control problems with the break of curvature of a target set

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A planar velocity control problem with a disc indicatrix and a target set with a smooth boundary having finite discontinuities of second-order derivatives of coordinate functions is considered. We have studied pseudo-vertices-special points of the goal boundary that generate a singularity for the optimal control function. For non-stationary pseudo-vertices with discontinuous curvature, one-way markers are found, the values of which are necessary for analytical and numerical construction of branches of a singular set. It is proved that the markers lie on the border of the spectrum-the region of possible values. One of them is equal to zero, the other takes an invalid value -∞ . In their calculation, asymptotic expansions of a nonlinear equation expressing the transversality condition are applied. Exact formulas for the extreme points of branches of a singular set are also obtained based on markers. An example of a control problem is presented, in which the constructive elements are obtained using the developed methods (pseudo-vertex, its markers, and the extreme point of a singular set), are sufficient to construct a singular set and an optimal result function in an explicit analytical form over the entire area of consideration.

About the authors

Pavel D. Lebedev

N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: pleb@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher 16 S. Kovalevskaya St., Yekaterinburg 620108, Russian Federation

Alexander A. Uspenskii

N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: uspen@imm.uran.ru
Doctor of Physics and Mathematics, Chief of a Sector 16 S. Kovalevskaya St., Yekaterinburg 620108, Russian Federation

References

  1. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961.
  2. G. Leitmann, An Introduction to Optimal Control, McGraw-Hill, New York, 1966.
  3. А. Брайсон, Ю-ши. Хо, Прикладная теория оптимального управления, Мир, М., 1972.
  4. В. Г. Болтянский, Математические методы оптимального управления, Наука, М., 1969.
  5. R. Bellman, Dynamic Programming, Princeton univ. press, New Jersey, 1957.
  6. Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974.
  7. А. И. Субботин, Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации, Институт компьютерных технологий, Москва-Ижевск, 2003.
  8. M. G. Crandall, P. L. Lions, "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", em Trans. Amer. Math.Soc, 277:1 (1983), 1-42.
  9. P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, V. N. Ushakov, "Construction of a minimax solution for an eikonal-type equation", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 263:S2 (2008), 191-201.
  10. J. W. Bruce, P. J. Giblin, Curves and singularities, Cambridge University Press, Cambridge, 1984.
  11. В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, “Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки., 26:1 (2016), 95-120.
  12. П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Построение решения задачи управления по быстродействию при нарушении гладкости кривизны границы целевого множества”, Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 53(2019), 98-114.
  13. П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:1 (2019), 108-119.
  14. Th. Brocker, L. Lander, Differentiable Germs and Catastrophes, Cambrifge University Press, Cambridge, 1975.
  15. В. М. Закалюкин, “Огибающие семейств волновых фронтов и теория управления”, Тр. МИАН, 209 (1995.), 133-142.
  16. В. Ф. Демьянов, А. М. Рубинов, Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, Наука, М, 1990.
  17. С. И. Дудов, “Дифференцируемость по направлениям функции расстояния”, Матем. Сборник, 186:3 (1995), 29-52.
  18. A. A. Uspenskii, P.D. Lebedev, "Construction of the optimal outcome function for a time-optimal problem on the basis of a symmetry set", Automation and Remote Control, 70:7 (2009), 1132-1139.
  19. А. А. Успенский, “Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в задаче Дирихле для уравнения эйконала”, Труды Института математики и механики, 21:1 (2015), 250-263.
  20. А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, “Выявление сингулярности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнений типа эйконала в условиях минимальной гладкости границы краевого множества”, Вестник Удмуртского университета. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 28:1 (2018), 59-73.
  21. A. A. Uspenskii, P. D. Lebedev, "On the set of limit values of local diffeomorhisms in wavefront evolution", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 272:S1 (2011), 255-270.
  22. A. A. Uspenskii, "Calculation formulas for nonsmooth singularities of the optimal result function in a time-optimal problem", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 291:S1 (2015), 239-254.
  23. Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Некоторые свойства чебышјвских множеств”, Докл. АН СССР, 118:1 (1958), 17-19.
  24. А.Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1 (2016), 3-84.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).