Investigation of periodic solutions of a system of ordinary differential equations with quasi-homogeneous non-linearity

Введение

Пусть ${\text{R}}^n$ - пространство $n$ -мерных векторов с вещественными координатами, $n\ge 2.$ Пусть заданы положительные числа $\omega \mathrm{,}\nu$ и вектор $\alpha \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\alpha }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с положительными координатами. Через ${\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим множество непрерывных отображений $P\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{P}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\text{R}}^{1+n}\mapsto {\text{R}}^n\mathrm{,}$ удовлетворяющих условиям

1) $\omega$ -периодичности по $t\mathrm{<mo>:</mo>}$ $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\omega \mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

2) квазиоднородности по $y\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}$ 

$P_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }^{{\alpha }_1}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\lambda }^{{\alpha }_n}{y}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\lambda }^{{\alpha }_j+\nu }{P}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall \lambda \mathrm{<mo>></mo>0,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{<mo>;</mo>}$

а через ${\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - множество непрерывных отображений $f\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{f}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\text{R}}^{1+n}\mapsto {\text{R}}^n\mathrm{,}$ удовлетворяющих условиям

3) $\omega$ -периодичности по $t\mathrm{<mo>:</mo>}$ $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\omega \mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$

4) ограниченности на порядок роста по $y\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}$ 

$\underset{r\to +\infty }{{\displaystyle \lim }}{r}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_j+\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\text{}\text{}\text{}\underset{0\le t\le \omega \mathrm{,<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo>}\le 1}{{\displaystyle \max }}\text{}\mathrm{<mo>|</mo>}{f}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{r}^{{\alpha }_1}{y}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{r}^{{\alpha }_n}{y}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>0,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{.}$

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

$x^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\text{R}}^n\mathrm{,}t\in \text{R}\mathrm{,}$ (0.1)

где $P\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Вектор-функцию $x\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{R}\mathrm{<mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называем $\omega$ -периодическим решением системы (0.1) , если $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет этой системе и $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В настоящей работе исследованы условия на $P\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, обеспечивающие существование $\omega$ -периодических решений системы уравнений (0.1) при любом $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В системе уравнений (0.1) слагаемое $P$ называем главной и квазиоднородной нелинейностью, а $f$ считаем возмущением.

Существование периодических решений для систем уравнений вида (0.1) в случае положительно однородного отображения $P\mathrm{,}$ когда $\alpha \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,}\dots \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ исследовано в работах [1, 2] методом априорной оценки и методами вычисления вращения векторных полей. Суть метода априорной оценки состоит в доказательстве ограниченности множества $\omega$ -периодических решений по норме пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при предположении, что невозмущенная система уравнений

$z^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\text{R}}^n\mathrm{,}$ (0.2)

при любом фиксированном $t_0\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ не имеет ненулевых ограниченных решений. В этом случае вполне непрерывное векторное поле

$\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^t}\left(P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)ds\mathrm{,}x\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

не обращается в ноль вне шара $\parallel x\parallel \mathrm{<mo><</mo>}r$ большого радиуса $r$ пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Поэтому, согласно теории векторных полей [3, с. 135], определена целочисленная характеристика ${\gamma }_{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - вращение векторного поля $\Phi$ на сфере $\parallel x\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}r$ большого радиуса $r$ пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Если ${\gamma }_{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{0,}$ то согласно принципу ненулевого вращения [3, с. 141] имеет место равенство $\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при некоторой вектор-функции $x_0\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ этим самым доказывается существование $\omega$ -периодических решений.

Рассмотрение квазиоднородного отображения $P$ позволяет не только обобщить результаты работ [1, 2], но и уточнить их следующим образом. Если для положительно однородного отображения $P$ не при всех возмущениях $f$ имеет место априорная оценка $\omega$ -периодических решений, то класс возмущений можно сужать так, что главная нелинейная часть системы уравнений (0.1) окажется квазиоднородным отображением. Например, система двух скалярных уравнений

$x_{1^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{m-1}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}_{2^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $m\mathrm{<mo>></mo>1,}$ не при всех возмущениях $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{f}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ удовлетворяющих условию

$\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_1\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_2\mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\left(\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_1\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_2\mathrm{<mo>|</mo>}\right)}^{-m}\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>0,}$

допускает априорную оценку $\omega$ -периодических решений. Если сужать класс возмущений с дополнительным условием

$f_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{y}_2{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{q-1}{y}_2+{\tilde{f}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

Где

$\mathrm{1<mo><</mo>}q\mathrm{<mo><</mo>}m\mathrm{,}\underset{\rho \to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\rho }^{-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}q-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\text{}\text{}\text{}\underset{0\le t\le \omega \mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_1\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_2\mathrm{<mo>|</mo>}\le 1}{{\displaystyle \max }}\text{}\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{f}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\rho y_1\mathrm{,}{\rho }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}q-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>0,}$

то в результате получаем систему уравнений вида (0.1) с квазиоднородным отображением $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{y}_1{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{m-1}{y}_1\mathrm{,<mo>|</mo>}{y}_2{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{q-1}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ где $\alpha \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}q-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\nu \mathrm{<mo>=</mo>}m-1.$

Кроме того, к системе уравнений вида (0.1) с квазиоднородной нелинейностью $P$ приводятся многие системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с производными высоких порядков. Такие системы уравнений представляют интерес при исследовании нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с применением схемы Фаэдо-Галеркина [4, c. 118--132].

В настоящей работе доказана ограниченность множества $\omega$ -периодических решений системы уравнений (0.1) по норме пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (априорная оценка) в предположении, что $P\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и система уравнений (0.2) не имеет ненулевых ограниченных решений при любом фиксированном $t_0\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Далее, в условиях априорной оценки получены следующие результаты: 1) доказана инвариантность существования периодических решений при непрерывном изменении (гомотопии) главной квазиоднородной нелинейной части; 2) решена задача гомотопической классификации двумерных квазиоднородных отображений, удовлетворяющих условиям априорной оценки; 3) доказан критерий существования периодических решений для двумерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной квазиоднородной нелинейностью.

Существование периодических решений для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений исследовано в многочисленных работах других авторов. Можно отметить работы [5, 6], где применяются идеи и методы, близкие к настоящей работе. Например, в работе [6] получены достаточные условия, которым должна удовлетворять асимптотически устойчивая в целом автономная система дифференциальных уравнений, заданная в ${\text{R}}^n\mathrm{,}$ чтобы при любом $\omega$ -периодическом ее возмущении она имела $\omega$ -периодическое решение.

1. Основные результаты

Определение 1.1. Скажем, что для $\omega$ -периодических решений системы уравнений (0.1) имеет место априорная оценка, если множество $\omega$ -периодических решений системы уравнений (0.1) пусто или ограничено по норме пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ 

Справедлива следующая теорема. 

Теорема 1.1. Пусть $P\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ и при любом фиксированном $t_0\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ система уравнений (0.2) не имеет ненулевых ограниченных решений. Тогда имеет место априорная оценка для $\omega$ -периодических решений системы уравнений (0.1).

Обозначим через ${\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ множество отображений $P\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ удовлетворяющих условиям теоремы 1.1.

Определение 1.2. Два отображения $P^1\mathrm{,}{P}^2\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ назовем гомотопными, если существует семейство отображений $\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\lambda \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ непрерывно зависящее от $\lambda$ и такое, что $\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}^1\mathrm{,}$ $\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}^2\mathrm{.}$ 

Верна следующая теорема об инвариантности существования $\omega$ -периодических решений при гомотопии.

Теорема 1.2. Пусть отображения $P^1\mathrm{,}{P}^2\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопны, и при $P\mathrm{<mo>=</mo>}{P}^1$ и любом $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ система уравнений (0.1) имеет $\omega$ -периодическое решение. Тогда система уравнений (0.1) при $P\mathrm{<mo>=</mo>}{P}^2$ и любом $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ также имеет $\omega$ -периодическое решение.

В связи с теоремой 1.2 рассмотрим следующие задачи:

• описание гомотопических классов множества ${\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (задача гомотопической классификации);
• существование $\omega$ -периодического решения в гомотопических классах.

Исследуем эти задачи при $n\mathrm{<mo>=</mo>2.}$

Для $P\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{P}_1\mathrm{,}{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathfrak{P}}_{\mathrm{2,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ существует единственная функция ${\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ непрерывно зависящая от аргументов $t\mathrm{,}s\in \text{R}$ и удовлетворяющая условиям: ${\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ 

$P_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$P_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Такую функцию ${\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называют угловой.

Определим числа

${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }\left({\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}{\gamma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }\left({\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\omega \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}$

Эти числа целые и не зависят от $t$ и $s\mathrm{.}$

Введем функции

$Q_1^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo>*</mo>,}\alpha }^{{\alpha }_1+\nu }Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{i2\pi p_{1}t\mathrm{<mo>/</mo>}\omega }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{y_1}{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo>*</mo>,}\alpha }^{{\alpha }_1}}+i\frac{y_2}{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo>*</mo>,}\alpha }^{{\alpha }_2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{p_0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$Q_2^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo>*</mo>,}\alpha }^{{\alpha }_1+\nu }Im\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{i2\pi p_{1}t\mathrm{<mo>/</mo>}\omega }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{y_1}{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo>*</mo>,}\alpha }^{{\alpha }_1}}+i\frac{y_2}{\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo>*</mo>,}\alpha }^{{\alpha }_2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{p_0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $i\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{-1}\mathrm{,}$ $p_0\mathrm{,}{p}_1$ - целые числа, $\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo>*</mo>,}\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda$ если $y\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{{\alpha }_1}\cos s\mathrm{,}{\lambda }^{{\alpha }_2}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\lambda \ge 0.$ Легко проверить, что

$Q^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(Q_1^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}\mathrm{,}{Q}_2^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}\right)\in {\mathfrak{P}}_{\mathrm{2,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\theta }_{Q^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}_{0}s+\frac{2\pi p_1}{\omega }t\mathrm{,}$

${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}_0\mathrm{,}{\gamma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}_1\mathrm{.}$

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1.3. Пусть $P\in {\mathfrak{P}}_{\mathrm{2,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Тогда

а) ${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \mathrm{1<mo>;</mo>}$

б) если ${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}$ то $P$ гомотопно одному из отображений $\pm Q^{\alpha \mathrm{,1,0}}\mathrm{<mo>;</mo>}$

в) если ${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>1,}$ то $P$ гомотопно $Q^{\alpha \mathrm{,}{p}_0\mathrm{,}{p}_1}\mathrm{,}$ где $p_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $p_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ 

Теорема 1.4. Пусть $P\in {\mathfrak{P}}_{\mathrm{2,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Тогда условие ${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ достаточно для существования $\omega$ -периодического решения системы (0.1) при любом $f\in {\Re }_{\mathrm{2,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ а при выполнении дополнительного условия $\nu \mathrm{<mo>></mo><mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_1-{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{s}ign\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}$ условие ${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ еще и необходимо для существования $\omega$ -периодического решения системы (0.1) при любом $f\in {\Re }_{\mathrm{2,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ 

Теоремы 1.3, 1.4 доказаны по схеме работы [7].

Следствие 1.1 Если $P\in {\mathfrak{P}}_{\mathrm{2,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\nu \mathrm{<mo>></mo><mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_1-{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{s}ign\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>,}$ то условие ${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ необходимо и достаточно для существования $\omega$ -периодического решения системы уравнений (0.1) при любом $f\in {\Re }_{\mathrm{2,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

2. Доказательства основных результатов

В этом параграфе приведем доказательства всех сформулированных выше теорем, а также связанных с ними утверждений.

2.1. Теорема 1.1

Доказательство теоремы 1.1. Предположим, что существует неограниченная последовательность $\omega$ -периодических решений $x_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ системы уравнений (0.1). Рассмотрим вектор-функции $y_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{k1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_{kn}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\top }\mathrm{,}$ $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ где

$y_{kj}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_k^{-{\alpha }_j}{x}_{kj}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k+r_k^{-\nu }t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{,}t\in \text{R}\mathrm{,}$

$r_k\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}{\alpha }_1}+\dots +{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_n^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}{\alpha }_n}\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$

Для вектор-функций $y_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ имеем

$y_{k^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k+r_k^{-\nu }t\mathrm{,}{y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+g_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\le \mathrm{<mo>|</mo>}{y}_k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>1,}t\in \text{R}\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$

где

$g_{kj}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_k^{-{\alpha }_j-\nu }{f}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k+r_k^{-\nu }t\mathrm{,}{r}_k^{{\alpha }_1}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{r}_k^{{\alpha }_n}{y}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{.}$

Переходя к пределу и учитывая условие 4), получаем

$y_{0^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\le \mathrm{<mo>|</mo>}{y}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>1,}t\in \text{R}\mathrm{.}$

Пришли к противоречию.

2.1. Теорема 1.2

Пусть отображения $P^1\mathrm{,}{P}^2\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ гомотопны и $\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\lambda \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ - непрерывная линия (путь), соединяющая $P^1$ и $P^2\mathrm{,}$ $\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}^1\mathrm{,}$ $\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}^2\mathrm{.}$ Проверим справедливость следующей леммы.

Лемма 2.1. Существует $\sigma \mathrm{<mo>></mo>0}$ такое, что для любой $\omega$ -периодической вектор-функции $x\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{R}\mathrm{<mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ удовлетворяющей условию $\max \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>:</mo>0}\le t\le \omega \mathrm{<mo>\}</mo><mo>></mo>}{\sigma }^{-1}\mathrm{,}$ верна оценка

$\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\left|x_{j_0}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\tilde{P}}_{j_0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>></mo>}\sigma \underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }^{{\alpha }_{j_0}+\nu }$

при некотором $j_0\mathrm{<mo>=</mo>}{j}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и любом значении $\lambda \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ 

Доказательство. Предположим, что такое $\sigma \mathrm{<mo>></mo>0}$ не существует. Тогда найдутся последовательности ${\lambda }_k\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ $x_k\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{R}\mathrm{<mo>;</mo>}{\text{R}}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ такие, что

$x_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv x_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{r}_k\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>></mo>}k\mathrm{,}$

$\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\left|x_{kj}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\tilde{P}}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \frac{1}{k}{r}_k^{{\alpha }_j+\nu }\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{.}$

Рассмотрим вектор-функции $y_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{k1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_{kn}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\top }\mathrm{,}$ $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ где

$y_{kj}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_k^{-{\alpha }_i}{x}_{kj}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k+r_k^{-\nu }t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{,}t\in \text{R}\mathrm{.}$

Для вектор-функций $y_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ имеем

$y_{kj}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k+r_k^{-\nu }t\mathrm{,}{y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g_{kj}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\le \mathrm{<mo>|</mo>}{y}_k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>1,}\mathrm{<mo>|</mo>}{g}_{kj}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{k}\mathrm{,}t\in \text{R}\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$

где

$g_{kj}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv r_k^{-{\alpha }_j-\nu }\left(x_{kj}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k+r_k^{-\nu }t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\tilde{P}}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k+r_k^{-\nu }t\mathrm{,}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_k+r_k^{-\nu }t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}$

Переходя к пределу, получаем

$y_{0^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\le \mathrm{<mo>|</mo>}{y}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>1,}t\in \text{R}\mathrm{,}$

что противоречит условию $\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{,}{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathfrak{P}}_{n\mathrm{,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ 

Доказательство теоремы 1.2. Пусть $\sigma$ - число, удовлетворяющее условию леммы 2.1. Покажем, что если для $\lambda \mathrm{,}\mu \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ выполнено неравенство

$\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\left|{\tilde{P}}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\tilde{P}}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{,}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \frac{\sigma }{4}\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\alpha }^{{\alpha }_j+\nu }$

при любых $y\in {\text{R}}^n\mathrm{,}$ $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{,}$ то из существования $\omega$ -периодического решения системы

$x^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \text{R}$ (2.1)

при любом $g\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вытекает существование $\omega$ -периодического решения системы

$x^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \text{R}$ (2.2)

 при любом $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Этим самым теорема 1.2 будет доказана.

Для произвольного $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ построим $g_f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ так, чтобы при $g\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_f$ всякое $\omega$ -периодическое решение системы (2.1) оказалось решением системы (2.2). Воспользуемся тем, что для $f\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет место неравенство

$\mathrm{<mo>|</mo>}{f}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo><</mo>}\frac{\sigma }{4}\mathrm{<mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\alpha }^{{\alpha }_j+\nu }+M\mathrm{,}y\in {\text{R}}^n\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{,}$

где $M\mathrm{<mo>></mo>0}$ и зависит лишь от $f$ и $\sigma \mathrm{.}$ Выберем число $r\mathrm{,}$ удовлетворяющее условиям $r\mathrm{<mo>></mo>1<mo>/</mo>}\sigma \mathrm{,}$ $r^{{\alpha }_j+\nu }\mathrm{<mo>></mo>2}M\mathrm{<mo>/</mo>}\sigma$ при всех $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{.}$ Положим

$g_f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\eta }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}y{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{,}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\tilde{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где ${\eta }_r\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $0\le {\eta }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \mathrm{1,}$ ${\eta }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ при $\tau \le r$ и ${\eta }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при $\tau \ge r+1.$ Очевидно, $g\in {\Re }_{n\mathrm{,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Пусть $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - $\omega$ -периодическое решение системы (2.1) при $g\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_f\mathrm{.}$ Проверим, что $A\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\max \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\alpha }\mathrm{<mo>:</mo>0}\le t\le \omega \mathrm{<mo>\}</mo>}\le r\mathrm{<mo>;</mo>}$ тогда $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет решением системы (2.2). Действительно, если $A\mathrm{<mo>></mo>}r\mathrm{,}$ то согласно лемме 2.1 при некотором $j_0\mathrm{<mo>=</mo>}{j}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет место неравенство

$\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\left|x_{j_0}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\tilde{P}}_{j_0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>></mo>}\sigma A^{{\alpha }_{j_0}+\nu }\mathrm{.}$

С другой стороны, в силу системы уравнений (2.1) имеем;

$\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\left|x_{j_0}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\tilde{P}}_{j_0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{0\le t\le \omega }{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{j_0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{\sigma }{2}{A}^{{\alpha }_{j_0}+\nu }+M\mathrm{.}$

Следовательно, $r^{{\alpha }_{j_0}+\nu }\mathrm{<mo><</mo>}{A}^{{\alpha }_{j_0}+\nu }\mathrm{<mo><</mo>2}M\mathrm{<mo>/</mo>}\sigma \mathrm{.}$ Полученное противоречит выбору $r\mathrm{.}$ 

2.1. Теорема 1.3

Пусть $Q\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_1\mathrm{,}{Q}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{\text{R}}^2\mapsto {\text{R}}^2$ - непрерывное отображение, удовлетворяющее условию квазиоднородности $Q\in {\mathfrak{P}}_{\mathrm{2,}\omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и условию невырожденности $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ $\forall s\in \text{R}\mathrm{.}$ Выясним, при каких дополнительных условиях имеет место включение $Q\in {\mathfrak{P}}_{\mathrm{2,}\omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Для этого определим непрерывные угловые функции ${\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ ${\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из следующих равенств:

$Q_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$Q_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos s\mathrm{,}\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\alpha }_1\cos s}{b_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\alpha }_2\sin s}{b_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

где $s\in \text{R}\mathrm{,}$ ${\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ ${\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ $b_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_1\cos s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_2\sin s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$ Определим число

$\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }\left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}$

которое является целым и не зависит от $s\mathrm{.}$

Пусть $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tau }_1\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - произвольное ненулевое решение системы уравнений

$x^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\text{R}}^2\mathrm{.}$ (2.3)

Cкалярно перемножая на $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно проверить, что $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ нигде не обращается в ноль. Произведем замену $x_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}^{{\alpha }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $x_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}^{{\alpha }_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Данная замена обратима и относительно $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получаем систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{r}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}\hfill \\ {\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{b}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}\right.$

где

$\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^t}\frac{{\alpha }_1{{\displaystyle \cos }}^2\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\alpha }_2{{\displaystyle \sin }}^2\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{r^{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}ds\mathrm{.}$

Отсюда для $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получаем систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}{\rho }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}\hfill \\ {\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{b}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$ (2.4)

Таким образом, установлено, что система уравнений (2.3) не имеет ненулевых ограниченных решений тогда и только тогда, когда система уравнений (2.4) не имеет решений с ненулевой и ограниченной координатой $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Пусть

$\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\ne 0\forall s\in \text{R}\mathrm{.}$ (2.5)

Тогда $\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ и система уравнений (2.3) не имеет ненулевых ограниченных решений лишь в том случае, когда выполнено условие

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\frac{\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{b_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}ds\ne 0.$ (2.6)

Доказательство. Если выполнено условие (2.5), то

$\pi j_0\mathrm{<mo><</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_0+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

при некотором целом $j_0$ и всех $s\in \text{R}\mathrm{.}$ Отсюда выводим:

$-\pi \mathrm{<mo><</mo>}\left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)-\left({\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\pi \mathrm{,}$

$-\pi \mathrm{<mo><</mo>2}\pi \gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\left({\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\pi \mathrm{,}$

следовательно, $\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}$ так как ${\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}\pi \mathrm{.}$ Кроме того, из условия (2.5) следует, что для произвольного решения системы уравнений (2.4) его координата $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ строго монотонна, и для любого целого $l$ существует $t_l$ такое, что $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+t_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2\pi l\mathrm{.}$ Отсюда, в силу первого уравнения системы (2.5), выводим:

$\ln \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+t_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \ln \rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+l{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\frac{\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{b_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}ds\mathrm{.}$

Следовательно, координата $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ограничена лишь при выполнении условия (2.6).

Пусть $\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0}$ при некотором $s_0\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Определение 2.1. Интервал $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{,}{s}_0+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ где $\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$ назовем

гиперболическим, если

$\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>></mo>0}\forall s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s_1\right)\mathrm{<mo><</mo>0,}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s_2\right)\mathrm{<mo>></mo>0}$

или

$\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo><</mo>0}\forall s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s_1\right)\mathrm{<mo>></mo>0,}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s_2\right)\mathrm{<mo><</mo>0<mo>;</mo>}$

эллиптическим, если

$\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>></mo>0}\forall s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s_1\right)\mathrm{<mo>></mo>0,}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s_2\right)\mathrm{<mo><</mo>0,}$

или

$\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo><</mo>0}\forall s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s_1\right)\mathrm{<mo><</mo>0,}\cos \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-s_2\right)\mathrm{<mo>></mo>0<mo>;</mo>}$

параболическим, если не пересекается с гиперболическими и эллиптическими интервалами и не содержится в другом более широком интервале, не пересекающимся с гиперболическими и эллиптическими интервалами.

Можно непосредственно проверить справедливость следующих шести утверждений.

Утверждение 2.1. Если ${\phi }_0$ принадлежит гиперболическому (эллиптическому, параболическому) интервалу, то среди решений системы уравнений (6), удовлетворяющих начальному условию $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{,}$ существует решение, у которого координата $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

а) неограничена при $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ и $t\mathrm{<mo><</mo>0}$ - в гиперболическом случае;

б) ограничена при $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ и $t\mathrm{<mo><</mo>0}$ - в эллиптическом случае;

в) ограничена при $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ ( $t\mathrm{<mo><</mo>0}$ ) и неограничена при $t\mathrm{<mo><</mo>0}$ ( $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ ) - в параболическом случае.

Утверждение 2.2. Число гиперболических, эллиптических и параболических интервалов конечно и объединения их замыканий совпадают с отрезком $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_0\mathrm{,}{s}_0+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Утверждение 2.3. Для концов $s_1\mathrm{,}$ $s_2$ интервала $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ являющегося гиперболическим (эллиптическим, параболическим), справедливо равенство

${\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\chi \pi \mathrm{,}$

где $\chi$ равно $-\mathrm{1,}$ $1$ или $0$ соответственно в зависимости от гиперболичности, эллиптичности или параболичности интервала $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ 

Утверждение 2.4. Справедлива формула

$\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}+\frac{1}{2}\left(n_{\text{Э}}-n_{\text{Г}}\right)\mathrm{,}$

где $n_{\text{Г}}$ и $n_{\text{Э}}$ - число гиперболических и эллиптических интервалов соответственно.

Утверждение 2.5. Если система уравнений (2.3) не имеет ненулевых ограниченных решений, то

$\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-\frac{1}{2}{n}_{\text{Г}}\le 1.$ (2.7)

Утверждение 2.6. Система уравнений (2.3) не имеет ненулевых ограниченных решений тогда и только тогда, когда $n_{\text{Э}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и (2.3) не имеет ненулевых периодических решений.

Лемма 2.3. Пусть выполнены следующие условия:

1) $\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1<mo>;</mo>}$

2) $\sin \left({\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0}$ при некотором $s_0\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$

3) при любом $x_0\in {\text{R}}^2$ единственно решение системы уравнений (2.3), удовлетворяющее начальному условию $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_0\mathrm{.}$ 

Тогда система уравнений (2.3) не имеет ненулевых ограниченных решений лишь в том случае, когда выполнено одно из двух условий: либо

$-\pi \mathrm{<mo><</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}\pi \forall s\in \text{R}\mathrm{,}$ (2.8)

либо

$\mathrm{0<mo><</mo>}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>2}\pi \forall s\in \text{R}\mathrm{.}$ (2.9)

Доказательство. Заметим, что выполнение одного из условий (2.8), (2.9) равносильно равенствам $n_{\text{Э}}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_{\text{Г}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Если система уравнений (2.3) не имеет ненулевых ограниченных решений, то $n_{\text{Э}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и в силу условия $\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ и формулы (2.7) получаем $n_{\text{Г}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ Обратно, если $n_{\text{Э}}\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_{\text{Г}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ то для системы уравнений (2.3), согласно утверждению 2.6, отсутствие ненулевых ограниченных решений равносильно отсутствию ненулевых периодических решений. А в силу условий 2) и 3) ненулевое периодическое решение не существует.

Лемма 2.4. Если $\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>1,}$ то система уравнений (2.3) не имеет ненулевых ограниченных решений лишь в том случае, когда выполнено условие

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists s_1\exists j_1-\text{целое}{\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\pi j_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Rightarrow {\theta }_Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\theta }_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}\pi j_1+\pi \forall s\mathrm{<mo>></mo>}{s}_1\mathrm{.}$                   (2.10)

Доказательство. В силу условия $\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>1}$ и утверждения 2.6 для системы уравнений (2.3) отсутствие ненулевых ограниченных решений равносильно равенству $n_{\text{Э}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ А это равенство равносильно условию (2.10).