Asymptotic structure of the spectrum of a thin Dirichlet single-tee beam

Abstract

The asymptotic behaviour of eigenvalues and eigenfunctions of the Dirichlet problem for the Laplace operator in a tee-type junction of two thin parallelepiped plates is examined. The effect of a strong localization is observed for eigenfunctions near junction zones. Comparing with asymptotic results for analogous Neumann problem, the crucial difference between asymptotic behaviour of their spectra is observed.

Full Text

$\sin \left(\frac{\pi m}{2a_1}{x}_1+a_1\right)$

1. МОТИВИРОВКА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Настоящее сообщение инициировано работой [1] и имеет своей целью показать колоссальное различие в поведении собственных чисел и функций задач Неймана и Дирихле в тонких областях и их сочленениях, часто игнорируемое в обзорных статьях при сравнении спектров сеток квантовых и акустических (или упругих) волноводов. В упомянутой работе изучена смешанная краевая спектральная задача для оператора Лапласа в сочленении ${\Omega }^h{\Omega }_3^h\cup {\Omega }_2^h$ двух тонких ($h\ll 1$), горизонтального и вертикального, параллелепипедов

$\begin{array}{c}{\Omega }_3^h\left\{x{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}{x}_3\text{: \hspace{0.05em}}\left|x_i\right|a_i\mathrm{,}i{x}_3\in h\right\}\mathrm{,}\\ \\ {\Omega }_2^h\left\{x\text{: \hspace{0.05em}}\left|x_1\right|a_1\mathrm{,}\left|x_2\right|hH\text{/}\mathrm{2,}{x}_3\in a_3\right\}\mathrm{,}\end{array}$ (1)

которое в инженерии именуется однотавровой балкой (см. рис. 1a и справочник [2]). Здесь $a_j>0$ – фиксированные размеры, $j=1,2,3$, причем масштабированием полудлина $a_1$ нескольких ребер сведена к единице, т.е. сделаны безразмерными декартова система координат $x$ и все геометрические размеры, в частности малый $h>0$ и варьируемый $H>0$.

В сообщении в основном рассматривается задача Дирихле

$\begin{array}{c}-{\Delta }_x{u}^{h}x\lambda u^{h}xx\in {\Omega }^h\mathrm{,}\end{array}$ (2)

$\begin{array}{c}{u}^h\left(x\right)=\mathrm{0,}x\in \partial {\Omega }^h,\end{array}$ (3)

а также обсуждается уравнение (2) с краевыми условиями Неймана

$\begin{array}{c}{\partial }_{\nu }{u}^{h}xx\in \partial {\Omega }^h\text{}{\Upsilon }^h\mathrm{.}\end{array}$ (4)

Вместе с тем все результаты без особых изменений приспосабливаются к пространственной системе уравнений Ламе, которая описывает изотропную тавровую балку с фиксированной поверхностью. Впрочем, переход к векторной задаче вызывает существенное загромождение формул, которые по этой причине не приводятся (см. разд. 6).

Рис. 1. Трехмерное (a) и двумерное (б) сочленения.

В формулах (2)–(4) и далее  ${\Delta }_x$– оператор Лапласа,  ${\partial }_{\nu }$– производная вдоль внешней нормали, а  ${\Upsilon }^h$– объединение ребер многогранника ${\Omega }^h$. Все задачи обладают дискретным спектром

$\begin{array}{c}{\lambda }_1^h{\lambda }_2^h\le {\lambda }_3^h\le \dots \le {\lambda }_m^h\le \dots \to +\infty \mathrm{,}\end{array}$ (5)

а соответствующие собственные функции можно подчинить условиям ортогональности и нормировки:

${u_m^h\mathrm{,}{u}_n^h}_{{\Omega }^h}{\delta }_{m\mathrm{,}n}\mathrm{,}m\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\dots$

При этом  ${\text{(\hspace{0.05em} }\mathrm{,})}_{{\Omega }^h}$– натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега $L^2{\Omega }^h$, а  ${\delta }_{m\mathrm{,}n}$– символ Кронекера.

2. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В спектральной задаче из работы [1] на широких гранях многогранника ${\Omega }^h$ поставлены условия Неймана, но для простоты на узких гранях (T-образная глубоко тонирована на рис. 1a) – условия Дирихле, однако асимптотические формулы в целом такие же, как и в задаче (2), (4). Один из результатов [1] состоит в том, что при любом зафиксированном параметре $H$ собственные пары ${\lambda }_m^h{u}_m^h$ сходятся при $h\to +0$ по некоторой метрике к собственным парам уравнений

$\begin{array}{c}-{\Delta }_{y^{\alpha }}v{y}^{\alpha }\mu v{y}^{\alpha }{y}^{\alpha }\in {\varpi }^{\alpha }\end{array}$ (6)

на трех ( $\alpha =0,\pm$) прямоугольниках

$\begin{array}{c}{\varpi }^{\pm }{y}^{\pm }{x}_1\mathrm{,}{x}_2\text{:\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.05em}}\left|x_1\right|a_1\mathrm{,}\pm x_2\in a_2\\ \\ {\varpi }^0{y}^0{x}_1\mathrm{,}{x}_3\text{:\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.05em}}\left|x_1\right|a_1\mathrm{,}\pm x_3\in a_3\end{array}$ (7)

причем их одиночные стороны снабжены условиями Неймана, а на общей стороне

$\begin{array}{c}\upsilon =\{x;|x_1|<a_1\mathrm{,}{x}_2=x_3=0\}\end{array}$ (8)

выставлены весовые условия сопряжения Кирхгофа [4, 5]

$\begin{array}{c}H\frac{\partial v^0}{\partial x_3}\left(x_{1}0\right)+\frac{\partial v^{+}}{\partial x_2}\left(x_{1}0\right)-\frac{\partial v^{-}}{\partial x_2}(x_1,0)=0,\\ \\ v^0\left(x_{1}0\right)=v^{+}\left(x_{1}0\right)=v^{-}\left(x_{1}0\right), x_1\in (-a_1\mathrm{,}{a}_1).\end{array}$ (9)

Иными словами, предельной для задачи Неймана (2), (4) служит задача на двумерном сочленении ${\omega }^{\perp }{\varpi }^0\cup \upsilon \cup {\varpi }^{+}\cup {\varpi }^{-}$ (рис. 1б), собственные числа (5) остаются ограниченными при $h\to +0$, а собственные функции $u_m^h$ распределены по всей трехмерной конструкции ${\Omega }^h$.

В сообщении показано, что собственные пары задачи Дирихле (2), (3) обладают совершенно иными свойствами. Именно, обнаружены такие величины

$\begin{array}{c}{H}_{\ast }\in \text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}и\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}{H}_{}\in H_{\ast }\end{array}$ (10)

что при $H\in H_{\#}$ предельной задачей служит задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения на отрезке (8):

$\begin{array}{c}-\frac{d^{2}w}{d{x}_1^2}\left(x_1\right)=\beta w(x_1\text{\hspace{0.05em}),\hspace{0.05em}}{x}_1\in (-a_1\mathrm{,}{a}_1)\end{array}$ (11)

$\begin{array}{c}w(\pm a_1)\end{array}$ (12)

а собственные функции $u_m^h$, локализованные вблизи отрезка (8), изменяются как $\sin \left(\frac{\pi m}{2a_1}{x}_1+a_1\right)$ вдоль него и затухают со скоростью $O\left(e^{-{\delta }_m\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}dist(\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}x\mathrm{,}\upsilon )/h}\right)$, ${\delta }_m>0$, на остальной части сочленения ${\Omega }^h$. Если же множитель $H$ в формуле (2) выбран на луче $(H_{\ast }\mathrm{,}+\infty )$, то предельной служит задача Дирихле для уравнения (6) на изолированном вертикальном прямоугольнике ${\varpi }^0$, и концентрация собственных функций происходит на вертикальной пластине ${\Omega }_2^h\backslash \overline{{\Omega }_3^h}$. Случай $H\in \left[H_{\#}\mathrm{,}{H}_{\ast }\right)$ остался неизученным из-за изъянов спектрального анализа в разд. 3 (даже в скалярной задаче; см. обсуждение в разд. 3, 4).

В статье [1] также рассмотрена ситуация, в которой скорости утончения множеств (2) разнятся, – смоделируем ее соотношением

$\begin{array}{c}H=H_0{h}^{\theta }\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}при\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}\theta \in (-\mathrm{1,}+\infty )\backslash \end{array}\left\{0\right\}.$ (13)

В случае $\theta \in (-1,0)$ вертикальная пластина толще горизонтальной и предельный спектр $\{{{\lambda }_m^0\}}_{m\in \mathbb{N}}$ получается в результате объединения спектров трех разрозненных задач на прямоугольниках (7), причем уравнения (6) снабжаются условиями Неймана на всех сторонах прямоугольников, кроме сторон $\upsilon \subset {\varpi }^{\pm }$, где появляются условия Дирихле. Если же $\theta \in (0,+\infty )$, т.е. более толстой оказывается горизонтальная пластина, в пределе прямоугольники ${\varpi }^{\pm }$ сливаются в бóльший прямоугольник ${\omega }^{\square }=(-a_1\mathrm{,}{a}_1)\times (-a_2\mathrm{,}{a}_2)$, а условия Дирихле появляются только на стороне $\upsilon \subset \partial {\varpi }^0$. В итоге концентрация собственных функций $u_m^h$ задачи Неймана в ${\Omega }^h$, отвечающих ее упорядоченным собственным числам (5), чередуется, т.е. происходит то в одной, то в другой частях сочленения ${\Omega }^h$. Отметим еще, что собственное число ${\lambda }_1^h=0$ исходной задачи (2), (4) обязательно появляется у одной из предельных задач.

Для задачи Дирихле (2), (3) в ситуации (13) собственные числа из низкочастотного диапазона спектра приобретают асимптотику

${\lambda }_m^h{h}^{-2}{\pi }^2+{\mu }_m^{\square }+O{h}^{{\delta }_{\square }}\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}в случе\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}\theta \in -\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}т.е.\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}H\ll H_{}\mathrm{,}$

${\lambda }_m^h{h}^{-+\theta }\frac{{\pi }^2}{h_0^2}+{\mu }_m^0+O{h}^{{\delta }_0}\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}в случае\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}\theta \in +\infty \text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}т.е.\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}H\gg H_{\ast }\mathrm{,}$

где  ${\delta }_{\alpha }$– положительные показатели, а  $\{{{\mu }_m^{\alpha }\}}_{m\in \mathbb{N}}$– последовательности собственных чисел задачи Дирихле для уравнения (6) на прямоугольнике ${\varpi }^{\alpha }$ при $\alpha =\square \mathrm{,0}$. Кроме того, собственные функции концентрируются на параллелепипедах ${\Omega }_{\square }^h={\Omega }_3^h\backslash \overline{{\Omega }_2^h}$ и ${\Omega }_2^h\backslash \overline{{\Omega }_3^h}$ соответственно, однако в отличие от случая $H\in 0,H_{\#}$ скорость затухания на множествах ${\Omega }^h\backslash {\Omega }_{\square }^h$ и ${\Omega }^h\backslash {\Omega }_2^h$ становится степеннóй, а не экспоненциальной.

3. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В $\mathbf{T}$-ОБРАЗНОМ КВАНТОВОМ ВОЛНОВОДЕ

Сообщим извлеченные из работы [3] сведения о спектре задачи Дирихле

 $\begin{array}{c}-{\Delta }_{\xi }W\left(\xi \right)=MW(\xi \text{\hspace{0.05em}),}\xi =({\xi }_1\mathrm{,}{\xi }_2)\in {\mathbb{T}}^H{\Pi }_1\cup {\Pi }_2^H\mathrm{,}\end{array}$(14)

$\begin{array}{c}W\left(\xi \right)=0,\xi \in \partial \mathbb{T}\mathrm{,}\end{array}$ (15)

на объединении единичной полосы ${\Pi }_1=\{\xi \text{:\hspace{0.05em}\hspace{0.17em}}{\xi }_1\in (0,1),{\xi }_2\in ℝ\}$ и полубесконечной полосы ${\Pi }_2^H=\{\xi \text{:\hspace{0.17em}\hspace{0.05em}}\left|{\xi }_1\right|\text{<}H\text{/}\mathrm{2,}{\xi }_2>0\}$ шириной $H>0$ (рис. 2a). Непрерывный спектр ${\wp }_c^H$ задачи (14), (15) занимает луч $[M_{†}^H\mathrm{,}+\infty )$ с точкой отсечки

$\begin{array}{c}{M}_{†}^H={\pi }^2\min \{1,H^{-2}\end{array}\}.$ (16)

Рис. 2. Т-образный волновод (a). Полуполоса со скошенным торцом (б) – литеры D и N указывают тип краевого условия на боковых сторонах и торце.

В силу неравенства Пуанкаре–Фридрихса на прямоугольнике ${\varpi }_H=(0,H)\times (0,1)$

${||{\nabla }_{\xi }W{L}^2{\varpi }_H||}^2\ge \frac{{\pi }^2}{4}{||W{L}^2{\varpi }_H||}^2\text{\hspace{1em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}при\hspace{0.05em} \hspace{0.05em}\hspace{0.17em}\hspace{0.05em}}W\in H^1{\varpi }_{H}W{\xi }_1\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}при\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}}\left|{\xi }_1\right|\frac{H}{2}$

${||{\nabla }_{\xi }W{L}^2{\varpi }_H||}^2\ge \frac{{\pi }^2}{4}{||W{L}^2{\varpi }_H||}^2\text{\hspace{1em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}при \hspace{0.05em}\hspace{0.17em}\hspace{0.05em}}W\in H^1{\varpi }_{H}W{\xi }_1\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}при\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}}\left|{\xi }_1\right|\frac{H}{2}$

и формулы (16) для точки отсечки дискретный спектр ${\wp }_d^H$ заведомо пуст при $H\ge 2$. Вместе с тем в статье [3] проверено, что при $H\le 1$ существует единственное собственное число $M_1^H\in {\pi }^2$ задачи (14), (15), которое как функция параметра $H$ является строго монотонно убывающей. Таким образом, найдутся такие величины (10), что в случае $H\ge H_{\ast }$ дискретный спектр пустой, а в случае $H<H_{\#}$ его кратность равна единице. Отвечающую $M_1^H$ собственную функцию $W_1^H\in H_0^1\left({\mathbb{T}}^H\right)$ нормируем в пространстве Лебега $L^2\left({\mathbb{T}}^H\right)$.

При $H=H_{\ast }$ наблюдается пороговый резонанс [6–9], т.е. у задачи (14), (15) с пороговым значением спектрального параметра $M=M_{†}^{H_{\ast }}$ имеется нетривиальное ограниченное решение

$\begin{array}{c}{W}_{†}^{H_{\ast }}\left(\xi \right)={\tilde{W}}_{†}^{H_{\ast }}\left(\xi \right)+\chi \left({\xi }_2\right)K\cos \left(\frac{\pi {\xi }_1}{H}\right)\end{array}$ (17)

с экспоненциально затухающим при $\xi \to +\infty$ остатком ${\tilde{W}}_{†}^{H_{\ast }}\left(\xi \right)$, коэффициентом $K\in ℝ$ и срезающей функцией $\chi \in C^{\infty }ℝ$, равной единице при ${\xi }_2>3$ и нулю при ${\xi }_2<2$. К сожалению, остается неизвестным качество этого порогового резонанса, а именно значение коэффициента $K$: в случае $K=0$ функция (14) попадает в пространство Соболева $H_0^1\left({\mathbb{T}}^H\right)$ и вместе с $M_{†}^{H_{\ast }}$ образуют истинную собственную пару задачи (14), но при $K\cancel{=}0$ функция $W_{†}^{H_{\ast }}$ – почти стоячая волна, а пороговый резонанс правильный (терминология [9]). При $H\in (0,H_{\#})\cup (H_{\ast }\mathrm{,}+\infty )$ феномен резонанса отсутствует.

Классификация пороговых резонансов имеет принципиальное значения для постановки краевых условий в процедуре понижения размерности для эллиптических задач в тонких областях (см. публикации [10, 7] и др.). Так, именно наличие простого правильного порогового резонанса в задаче Неймана для уравнения (14) в Т-образном акустическом волноводе ${\mathbb{T}}^H$ (постоянные функции и только они являются ограниченными решениями этой задачи при $M=0$) привело к возникновению условий сопряжения Кирхгофа (9), а исчезновение резонанса в ситуациях (13) обеспечило условие Дирихле на стороне (8) некоторых прямоугольников. Далее предельные задачи замыкаются условиями Дирихле потому, что пограничные слои около точек, помеченных значком  на рис. 1б, описываются решениями спектральных задач в полуполосе с прямым торцом, четверти слоя и ее сочленении с перпендикулярной половиной слоя, в которых (задачах) нетрудно проверить отсутствие пороговых резонансов при помощи классического приема [11]. Исключение составляет задача (14), (15) при $H=H^{\ast }$, так как автору не удалось аналитическими методами выявить качество порогового резонанса – оказалось бесполезным достаточное условие [8] его отсутствия (ср. разд. 6, 4), и поэтому в разд. 5 приходится обсуждать две ситуации.

4. ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОКОЛО ОТРЕЗКА $\mathbf{\upsilon }$

При $H\in (0,H_{\#})$ асимптотику собственных пар задачи (2), (3) ищем в виде

$\begin{array}{c}{\lambda }_m^h=h^{-2}{M}_1^H+{\beta }_m+\dots \mathrm{,}\end{array}$ (18)

$\begin{array}{c}{u}_m^h\left(x\right)={\chi }_{\perp }\left(x_2\mathrm{,}{x}_3\right)w\left(x_1\right)W_1^H\left(h^{-1}{x}_2\mathrm{,}{h}^{-1}{x}_3\right)+\dots \mathrm{,}\end{array}$ (19)

где $\{M_1^H;W_1^H\}$ – собственная пара задачи (14), (15), многоточие замещает младшие асимптотические члены, а ${\chi }_{\perp }\in C^{\infty }\left({ℝ}^2\right)$ – срезающая функция, равная единице в случае $\left|x_j\right|\le a_j\text{/}3$ при $j=2,3$ и нулю, если $\left|x_j\right|\ge 2a_j\text{/}3$ для какого-нибудь $j$. Предельная задача (11), (12) для определения собственной пары $\{{\beta }_m;w_m\}$ получается подстановкой анзацев (18) и (19) в дифференциальное уравнение (3) и выделения слагаемых порядка $h^{-2}$, причем условия Дирихле в точках $x_2\pm a_2$ назначены по причине, указанной в конце разд. 3.

При помощи приема из работы [12] можно убедиться в экспоненциальном затухании собственных функций, отвечающих собственным числам ${\lambda }_m^h⩽h^{-2}({\pi }^2-d)$ с положительной величиной $d$. Поскольку асимптотическая конструкция (18) удовлетворяет этому ограничению, классическая лемма о “почти собственных” числах и векторах (см. первоисточник [13] и спектральное разложение резольвенты в книге [14, гл. 6]) и легкодоступное утверждение о сходимости нормированных собственных пар позволяют доказать оценку погрешности

 $\begin{array}{c}\left|{\lambda }_m^h-h^{-2}{M}_1^H-{\beta }_m\right|\le c_m{h}^{-2}{e}^{-{\delta }_m/h}\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}при\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}h\in h_m\end{array}$(20)

с некоторыми зависящими от номера $m\in \mathbb{N}$ положительными числами $c_m$, ${\delta }_m$ и $h_m$.

5. ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ

В случае $H>H_{\ast }$ асимптотические анзацы на параллелепипеде ${\Xi }_2^h\backslash {\Xi }_3^h$ для собственных пар задачи (2), (3) выглядят так:

$\begin{array}{c}{\lambda }_m^h=h^{-2}{\pi }^2{H}^{-2}+{\mu }_m+\dots \mathrm{,}\end{array}$ (21)

$\begin{array}{c}{u}_m^h\left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi x_2}{hH}\right)v\left(x_1\mathrm{,}{x}_3\right)+\dots \end{array}$ (22)

Как обычно, подстановка анзацев (21) и (22) в соотношение (2) приводит к дифференциальному уравнению (6). Условия Дирихле на границе ${\omega }^0\backslash \overline{\upsilon }$ вытекают, например, из формулы (3), но то же условие на стороне $\upsilon$ предопределено отсутствием порогового резонанса в квантовом волноводе ${\mathbb{T}}^H$ для $H>H_{\ast }$.

Если $M_1^{H_{\ast }}={\pi }^2{H}_{\ast }^{-2}$ – собственное число задачи (14), (15) и $W_1^{H_{\ast }}$ – соответствующая экспоненциально затухающая на бесконечности собственная функция, в окрестности точки $h^{-2}{M}_1^{H_{\ast }}$ появляются две асимптотические серии собственных чисел исходной задачи (2), (3) в ${\Omega }^h$, описываемые анзацами (21) и (18), а сомножители  и  из главных членов асимптотик (22) и (19) находятся соответственно из задач Дирихле для уравнений (11) и (6), $\alpha =0$. Если же в точке $M={\pi }^2{H}_{\ast }^{-2}$ реализуется правильный пороговый резонанс и у задачи (14), (15) есть ограниченное незатухающее ( $K\cancel{=}0$) решение (17), то сохраняются только анзацы (21) и (22) для собственных пар $\{{\lambda }_m^h;u_m^n\}$, однако определяющие их “предельные” пары $\{{\mu }_m;v_m\}$ находятся из смешанной краевой задачи для уравнения (6), $\alpha =0$, а именно, на стороне (8) ставится условие Неймана

$\begin{array}{c}-\frac{\partial v}{\partial x_3}(x_1,0)=0, x_1\in (-a_1\mathrm{,}{a}_1)\end{array}$ (23)

а на остальной части границы прямоугольника ${\omega }^0=(-a_1\mathrm{,}{a}_1)\times (0,a_3)$ – условие Дирихле.

При помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. монографии [15, 16] и др.) поясним, как качество порогового резонанса влияет на тип предельного краевого условия на отрезке $\upsilon$. Согласно процедуре сращивания нужно согласовать старший член формулы Тейлора

$\begin{array}{c}v\left(x_1\mathrm{,}{x}_3\right)=v(x_1,0)+x_3\frac{\partial v}{\partial x_3}(x_1,0)+\dots \mathrm{,}\end{array}$(24)

умноженный на $\cos \left(\frac{\pi x_2}{hH}\right)$, с каким-либо решением задачи (14), (15), параметрически зависящим от переменной $x_1$. В случае правильного порогового резонанса искомый главный член внутреннего разложения принимает вид

$\begin{array}{c}{K}^{-1}v(x_1,0)W_{†}^{H_{\ast }}(h^{-1}{x}_2\mathrm{,}{h}^{-1}{x}_3\end{array})$ (25)

Вместе с тем при исчезновении резонанса нет решения, стабилизирующегося при ${\xi }_2=h^{-1}{x}_3\to +\infty$, и приходится принять условие Дирихле

$\begin{array}{c}v(x_1,0)=0,x_1\in (-a_1\mathrm{,}{a}_1\end{array}),$ (26)

аннулирующее первое слагаемое в правой части (24) и делающее возможным сращивание разнородных разложений в главном. Напротив, незатухающий главный член (25) внутреннего разложения оставляет след $v(x_1,0)$ произвольным и вместо (26) требуется назначить на отрезке $\upsilon$ парное (в смысле формулы Грина) краевое условие (23).

Если $H>H_{\ast }$, то по стандартной схеме выводится аналогичная (20) оценка погрешности:

$\begin{array}{c}\left|{\lambda }_m^h-h^{-2}{H}^{-2}-{\beta }_m\right|\le c_m{h}^{1/2}\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}при\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}h\in h_m\end{array}$(27)

Она же верна в случае правильного порогового резонанса, однако при его отсутствии первая асимптотическая серия собственных чисел описывается формулами (18) и (20), а асимптотический анзац (21) порождает вторую, расположенную выше первой, асимптотическую серию $\{{{\lambda }_{N^h\left(m\right)}^h\}}_{m\in \mathbb{N}}$, члены которой удовлетворяют оценке вида (27), но их номера $N^h\left(m\right)$ в упорядоченной последовательности (5) неограниченно возрастают при $h\to +0$, так как ниже ${\lambda }_{N^h\left(m\right)}^h$ располагаются собственные числа (18) и их количество неограниченно возрастает при утончении пластин (1).

6. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ

1. В работе [1] доказано лишь утверждение о сходимости ${\lambda }_m^h\to {\lambda }_m^0$ собственных чисел (5) задачи (2), (4), однако с некоторыми упрощениями асимптотические процедуры, разработанные для условий Дирихле, позволяют установить асимптотические разложения собственных пар задачи Неймана и тем самым выяснить скорость сходимости.
2. Полученные результаты без особого труда приспосабливаются к задаче Дирихле (2), (3) для косой однотавровой и прямой двутавровой балок на рис. 3.

Рис. 3. Скошенная однотавровая (a) и прямая двутавровая (б) балки.

3. Если на узких гранях (часть их глубоко тонированы на рис. 1a и рис. 3б) многогранников заменить условие Дирихле условием Неймана, то в целом полученные асимптотические результаты сохранятся, однако для скошенной конструкции на рис. 3a, возникают и другие предельные задачи, порождающие эффект локализации собственных функций около глубоко тонированной и симметричной ей граней, поскольку, как и в задаче (14), (15), дискретный спектр смешанной краевой задачи на скошенной полуполосе (рис. 2б) содержит по крайней мере одно изолированное собственное число (см. публикацию [17]).
4. Вопрос об асимптотическом строении спектра задачи (2), (3) при $H\in \left(H_{\#}\mathrm{,}{H}_{\ast }\right)$ остался открытым исключительно из-за отсутствия исчерпывающей информации о спектре задачи (14), (15) в бесконечной области, в частности о пороговом резонансе. Для восполнения сведений о спектре ${\wp }^H$ нужны численные эксперименты – вычислительные методы, позволяющие строго доказать отсутствие захваченных и почти стоячих волн, известны.
5. Рассуждения и выводы с понятными изменениями сохраняются для однородных изотропных тавровых упругих балок с полностью зафиксированной поверхностью (фрагмент шовной прослойки кирпичной кладки на рис. 1a и 3б), однако из-за векторного характера задачи Дирихле для системы уравнений Ламе выкладки усложняются существенно. Обратим внимание лишь на одно обстоятельство: задача теории упругости о пограничном слое в T-образном изотропном волноводе ${\mathbb{T}}^h$ распадается на две, плоскую и антиплоскую. При этом собственное число последней – скалярной задачи Дирихле (14), (15) для депланации – заведомо строго меньше собственного числа аналогичной двумерной упругой задачи, а значит, при тонкой стенке асимптотические анзацы из разд. 4 остаются без каких-либо изменений, но в нижнечастотном диапазоне пространственной задачи для упругого сочленения ${\Omega }^h$ возникает еще одна асимптотическая серия собственных чисел, порожденная плоской задачей в ${\mathbb{T}}^h$.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект № 124041500009-8).