Эффект турбулизации затухающей однородной изотропной турбулентности крупными частицами

Аннотация

На основе двухпараметрической модели турбулентности для двухфазного потока впервые изучено влияние присутствия крупных частиц на затухающую однородную изотропную турбулентность. Показано, что обнаруженный эффект турбулизации возрастает с ростом объемной концентрации частиц и их размера.

Полный текст

Однофазные и двухфазные турбулентные течения широко распространены в природе и находят свое применение в технике [1–6]. Установление влияния дисперсной примеси в виде частиц (капель) на характеристики турбулентности несущего потока газа – одна из главных проблем теории двухфазных турбулентных течений [7–10].

На сегодняшний день известны несколько основных механизмов влияния частиц на энергию турбулентности газа. Одним из них является генерация турбулентности несущей фазы в турбулентных следах за движущимися крупными частицами [9, 10]. Этот механизм реализуется при высоких значениях числа Рейнольдса частицы ${\mathrm{Re}}_p$, вычисляемого по диаметру частиц и относительной скорости движения частиц и газа.

Целью настоящей работы является анализ эффекта наличия в потоке крупных частиц на процесс дополнительной генерации турбулентности для классического случая вырождающейся однородной изотропной турбулентности.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим движение несжимаемого вязкого газа, несущего тяжелые частицы (физическая плотность частиц ${\rho }_p$ намного превышает плотность газа $\rho$, т.е. ${\rho }_p>>\rho$). Примем допущение, что объемная концентрация дисперсной фазы предполагается малой (Ф << 1). В этом случае можно пренебречь столкновениями частиц между собой. Необходимо отметить, что массовая концентрация M = Ф /  может быть достаточно большой. Также сделаем допущение, что основными силами, определяющими поведение частиц в турбулентном потоке и их обратное влияние на его характеристики, являются силы аэродинамического сопротивления и сила тяжести.

Для выполнения анализа влияния частиц различной инерционности привлечем двухпараметрическую ( ) модель турбулентности, модифицированную для случая двухфазного потока. Указанная модель содержит два основных уравнения переноса – турбулентной энергии и скорости ее диссипации.

Уравнение переноса энергии турбулентности газа в присутствии частиц в сжатой форме имеет вид

$\frac{\partial k}{\partial \tau }+\sum _j{U}_j\frac{\partial k}{\partial x_j}=D+P-\epsilon +P_p-{\epsilon }_p$. (1)

Здесь $k=\frac{1}{2}\sum _i\overline{{u^{\text{'}}}_i^2}$ – энергия турбулентности газа ( ${u^{\text{'}}}_i$ – i-я составляющая пульсационной скорости несущего газа);  $U_j$– j-я составляющая осредненной скорости газа; $\tau$ – время.

Члены, стоящие в левой части уравнения (1), описывают соответственно изменение во времени и конвективный перенос энергии турбулентности. Члены в правой части (1) описывают соответственно диффузию D, генерацию турбулентности за счет градиентов осредненной скорости P, диссипацию энергии турбулентности вследствие вязкости $\epsilon$, дополнительную генерацию турбулентности из-за присутствия частиц $P_p$, дополнительную диссипацию энергии турбулентности вследствие наличия частиц ${\epsilon }_p$.

Уравнение переноса диссипации турбулентности газа в присутствии частиц с использованием общепринятых градиентных представлений в сжатой форме имеет вид

$\frac{\partial \epsilon }{\partial \tau }+\sum _j{U}_j\frac{\partial \epsilon }{\partial x_j}=D_{\epsilon }+C_{\epsilon 1}\frac{\epsilon }{k}P-C_{\epsilon 2}\frac{{\epsilon }^2}{k}-C_{\epsilon 3}\frac{\epsilon }{k}{\epsilon }_p$.(2)

Здесь  $\epsilon =\nu \sum _j\sum _i\overline{\frac{\partial {u^{\text{'}}}_i}{\partial x_j}\frac{\partial {u^{\text{'}}}_i}{\partial x_j}}$– скорость диссипации турбулентности газа ( $\nu$– кинематическая вязкость несущего газа); $C_{\epsilon 1}$, $C_{\epsilon 2}$, $C_{\epsilon 3}$ – постоянные.

Дополнительную (по сравнению с однофазным потоком) константу $C_{\epsilon 3}$ чаще всего полагают равной $C_{\epsilon 2}$, что следует из требования невлияния на деструкцию диссипации турбулентности безынерционных частиц.

Члены, стоящие в левой части уравнения (2), описывают, соответственно, изменение во времени и конвективный перенос диссипации энергии турбулентности. Члены в правой части описывают, соответственно, диффузию диссипации энергии турбулентности $D_{\epsilon }$, генерацию диссипации за счет энергии осредненного движения ${Ñ}_{\epsilon 1}\frac{\epsilon }{k}P$, подавление диссипации вследствие вязкости $C_{\epsilon 2}\frac{{\epsilon }^2}{k}$ и эффект влияния частиц на диссипацию турбулентности ${Ñ}_{\epsilon 3}\frac{\epsilon }{k}{\epsilon }_p$.

Из уравнений (1) и (2) следует вывод, что учет модификации турбулентности в двухфазных потоках предполагает корректное описание членов уравнения, отвечающих за дополнительные генерацию $P_p$ и диссипацию ${\epsilon }_p$ вследствие присутствия частиц.

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

Изотропная однородная турбулентность представляет собой простейший класс турбулентных течений. Рассмотрим нестационарную вырождающуюся турбулентность за решеткой. В этом случае конвективный перенос, диффузия и порождение турбулентности отсутствуют [11]. Присутствие крупных инерционных частиц предполагает отсутствие их влияния на дополнительную диссипацию энергии турбулентности вследствие вовлечения в пульсационное движение несущего газа, т.е. ${\epsilon }_p=0$.

С учетом вышесказанного уравнения (1) и (2) значительно упрощаются и принимают вид

$\frac{dk}{d\tau }=-\epsilon +P_p$, (3)

$\frac{d\epsilon }{d\tau }=-C_{\epsilon 2}\frac{{\epsilon }^2}{k}$. (4)

Из уравнений (3) и (4) следует, что для учета модификации турбулентности в рассматриваемом случае необходимо описание единственного члена уравнения, отвечающего за дополнительную генерацию турбулентности $P_p$ вследствие присутствия крупных частиц.

В работе [12] на основе решения для автомодельного осесимметричного турбулентного следа получено следующее выражение для определения дополнительной генерации турбулентности в уравнении баланса пульсационной энергии:

$P_p=a{\left(\frac{C_D}{\beta }\right)}^{4/3}\Phi \frac{W^3}{d_p}$, (5)

где постоянные $a=0.027$, $\beta =0.2$; $C_D$ – коэффициент сопротивления частицы;  $\Phi$– объемная концентрация частиц;  $W=\left|U-V\right|$– модуль относительной осредненной скорости несущего газа и частиц; $d_p$ – диаметр частицы.

Далее в предположении о равенстве относительной скорости между фазами скорости витания (максимальная скорость осаждения) крупных частиц из уравнения их движения было получено выражение

$W=\sqrt{3{\rho }_p{d}_{p}g/\rho }$, (6)

где  $g$– ускорение силы тяжести.

При выводе (6) учитывалось отличие закона сопротивления частиц от закона Стокса, т.е.

${\tau }_p={\tau }_{p0}/C\left({\mathrm{Re}}_p\right)=\frac{{\rho }_p{d}_p^2}{18\mu C\left({\mathrm{Re}}_p\right)}$, (7)

где  ${\tau }_{p0}$– время динамической релаксации стоксовой частицы, $\mathbf{\mu }$ – динамическая вязкость,  $C\left({\mathrm{Re}}_p\right)=0.11{\mathrm{Re}}_p/6$– поправочная функция, учитывающая влияние сил инерции на время релаксации нестоксовой частицы при ${\mathrm{Re}}_p>1000$.

Решение системы уравнений (3) и (4) производилось численным методом с учетом соотношений (5)–(7). Первые (“пристрелочные”) расчеты были выполнены при следующих начальных условиях: $k\left(0\right)=1$ м²/с², $\epsilon \left(0\right)=1$ м²/с³ при $\tau =0$. Частицы вводились в поток в момент времени $\tau =1$ с. Некоторые результаты вычислений для ${\rho }_p=1.2$ и 1000 кг/м³ приведены на рис. 1.

Рис. 1. Влияние присутствия крупных частиц на вырождающуюся однородную изотропную турбулентность: $\mathbf{\Phi }\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\cdot }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}$ (а), $\mathbf{\Phi }\mathbf{=}{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{5}}$(б). Цифрами обозначены: 1 – однофазное течение; 2 – двухфазное течение, ${\mathbf{d}}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\cdot }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$ м; двухфазное течение, 3 – двухфазное течение, ${\mathbf{d}}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\cdot }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$ м; 4 – двухфазное течение, ${\mathbf{d}}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$ м.

Из приведенных данных видно, что турбулизирующий эффект вследствие генерации турбулентности в следах за крупными частицами возрастает с увеличением объемной концентрации и размера последних.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда № 23-19-00734.