Analytical proof of the scaling laws applicability for additive manufacturing

Texto integral

При разработке новых материалов с помощью аддитивных технологий необходимо иметь возможность быстро оценить глубину и ширину проплава подложки для многочисленных комбинаций мощности лазерного излучения, скорости сканирования и размера лазерного пучка [1, 2]. Это позволит существенно уменьшить количество экспериментов и сэкономить время. Численное моделирование позволяет уменьшить количество натурных экспериментов, но тем не менее требует проведения сотен численных расчетов для различных параметров процесса лазерной наплавки.

Для уменьшения количества натурных и численных экспериментов исследуются законы подобия (или, как их еще называют, законы масштабирования) процессов лазерной наплавки [3–6]. В этих работах показано, что параметры зоны проплавления зависят от двух безразмерных параметров – нормализованной энтальпии $B$ и числа Пекле $\text{Pe}$ (отношения скорости сканирования к скорости изменения температуры в материале). В работе [4] на основе простой тепловой модели [7] были получены интерполяционные формулы в виде степенных функций от двух параметров (числа Пекле и нормализованной энтальпии), описывающих форму “ванны” расплава (ширину и глубину). В работе [5] показано, что независимо от объемной доли керамики безразмерные геометрические параметры единичного трека (глубина, ширина и высота) зависят от числа Пекле и нормализованной энтальпии. Эти зависимости были аппроксимированы алгебраическими выражениями.

УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ЛАЗЕРНОГО НАГРЕВА

Рассмотрим тепловой процесс образования “ванны” расплава, не учитывая слой порошка, движение расплава и испарение материала. Некоторые обоснования такого упрощения задачи лазерной наплавки приведены в работе [4]: 1) теплопроводность порошка намного меньше, чем подложки; 2) порошок имеет более высокую абсорбционную способность, чем расплавленная поверхность; 3) параметры лазерной обработки будут в основном определяться на поздней стадии процесса, а влияние порошка в основном сказывается на начальном этапе. Не будет учитываться теплота плавления подложки, поскольку для металлов она мала по сравнению с энергией, необходимой для нагрева материала до температуры плавления.

Рассмотрим лазерный луч, сканирующий подложку со скоростью $V$ вдоль прямой линии по поверхности. Поверхность при этом нагревается. Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности вглубь поверхности (координата $r$). Одномерное уравнение теплопроводности в эйлеровых координатах для случаев плоской $\left(\nu =0\right)$, осевой $\left(\nu =1\right)$ и сферической $\left(\nu =2\right)$ симметрии имеет вид

$c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{1}{\rho r^{\nu }}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^{\nu }W\right),W=-\lambda \frac{\partial T}{\partial r},$ (1)

где $c$ – удельная теплоемкость, $W$ – плотность теплового потока,  $\rho$– постоянная плотность среды,  $\lambda$– коэффициент теплопроводности,  $T$– температура.

Перейдем к массовым переменным Лагранжа:

$m=\frac{\rho }{\nu +1}{r}^{\nu +1}$. (2)

Тогда одномерное уравнение теплопроводности в массовых переменных Лагранжа координатах запишется в виде

$c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial \tilde{W}}{\partial m},\tilde{W}=-2\lambda m\frac{\partial T}{\partial m}$. (3)

В процессе лазерной на$\tilde{T}\left(m,t\right)=T\left(m,t\right)-T_0$плавки луч движется по прямой вдоль поверхности. Число Пекле процесса обычно больше единицы – луч движется быстрее, чем изменяется температура в подложке, поэтому для описания процесса теплообмена в подложке лучше всего подходит одномерное приближение с осевой симметрией $\left(\nu =1\right)$. В этом случае уравнения (2) и (3) станут следующими:

$m=\frac{\rho }{2}{r}^2,c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial \tilde{W}}{\partial m},\tilde{W}=-2\lambda m\frac{\partial T}{\partial m}$. (4)

ПОСТАНОВКА АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Будем рассматривать процесс теплообмена при лазерной наплавке в автомодельной постановке. Пусть в момент времени $t=0$ вдоль оси симметрии $\left(m=0\right)$ $r=0$ выделяется энергия $E_0=\text{const}$. В последующие моменты времени $t>0$ тепло распространяется от оси симметрии. В начальный момент времени $t=0$ среда является холодной:

$T\left(m\mathrm{,0}\right)=0$. (5)

Если начальная температура $T\left(m\mathrm{,0}\right)=T_0>0$, то замена переменной $\tilde{T}\left(m,t\right)=T\left(m,t\right)-T_0$ возвращает граничное условие к условию $\tilde{T}\left(m\mathrm{,0}\right)=0$ с холодной средой.

В данной постановке автомодельная задача для уравнений (4) с условием (5) была решена в работе [8]. Автомодельное решение [8] имеет вид

$s=\frac{cm}{2\lambda t},f\left(s\right)=\frac{2\lambda t}{E_0}T\left(m,t\right),\omega \left(s\right)=\tilde{W}\frac{t}{E_0}$. (6)

Переходя к размерным переменным Эйлера из решения (6) и первого уравнения системы (4) найдем распределение температуры в среде:

$T\left(r,t\right)=\frac{E_0}{4\pi \lambda }\frac{1}{t}\exp \left(-\frac{1}{4\alpha }\frac{r^2}{t}\right)$, (7)

где α = λ/сρ – коэффициент температуропроводности.

СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАМИ

Рассмотрим эксперименты по прямому лазерному выращиванию металлокерамических треков [5].

Для описания термодинамических процессов введем число Пекле [9]:

$\text{Pe}=VD/\alpha$, (8)

где $V$– скорость сканирования, $D$ – диаметр лазерного пучка. Число Пекле представляет собой отношение скорости сканирования к скорости изменения температуры в материале и не учитывает процесс поглощения лазерного излучения и плавление материала.

Введем безразмерный энергетический параметр процесса лазерной наплавки – безразмерную энтальпию $B$. Она представляет собой отношение удельной энергии, поглощенной материалом, к энергии, необходимой для плавления:

$B=\frac{\Delta H}{h_s}=\frac{AW}{h_s\sqrt{\alpha \pi V{D}^3}}=\frac{A}{T_m\sqrt{\pi c\rho \lambda }}\frac{W}{\sqrt{V{D}^3}}$, (9)

где  $\Delta H$– изменение энтальпии, $h_s=\rho c{T}_m$ – энтальпия плавления [3],  $T_m$– температура плавления,  $A$– интегральный коэффициент поглощения,  $W$– мощность лазерного излучения.

Время действия лазерного излучения на подложку зависит от скорости сканирования $V$ и диаметра лазерного пучка $D$ с некоторым коэффициентом $n$: $t_{*}=nD/V$. За это время глубина проплава достигнет значения $r_{*}$. На границе проплава температура станет равной температуре плавления: $T\left(r_{*},t_{*}\right)=T_m$. Энергия, которая выделяется при сканировании подложки лазером, равна $E_0=AW/V$. Подставляя значения времени $t_{*}$ и энергии $E_0$ в уравнение (7) и используя безразмерные параметры (8) и (9), получим формулу для радиуса проплава:

$\frac{r_{*}}{D}=k\sqrt{\frac{2n}{\text{Pe}}\ln \left(\frac{\text{Pe}\cdot B^2}{16\pi n^2}\right)}$, (10)

где  $n$– параметр,  $k=w/2h$– коэффициент формы проплава [5],  $w$– ширина проплава,  $h$– глубина проплава.

Формула предполагает, что “ванна” проплава имеет полукруглую форму, т.е. коэффициент $k=1$. Это связано с одномерным решением с осевой симметрией. В реальности “ванна” проплава не всегда имеет полукруглую форму. На рис. 1 приведены схема и фотографии поперечных сечений единичных треков, показывающие переход от режима теплопроводности к режиму “кинжального” проплавления с характерными значениями безразмерной энтальпии $B$ и безразмерного числа Пекле $\text{Pe}$. Поэтому для расчета некруглой формы проплава в формулу введен коэффициент $k$.

 

Рис. 1. Схема (а) и фотографии поперечных сечений единичных треков при лазерной наплавке порошковой смеси ВТ-6 + 10% масс. SiC: режим теплопроводности ($\mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{46}$ ,$\mathbf{\text{Pe}}\mathbf{=}\mathbf{17}\mathbf{.}\mathbf{51}$ ) (б); режим “кинжального” проплавления ( $\mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{14}\mathbf{.}\mathbf{21}$, $\mathbf{\text{Pe}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{93}$) (в).

 

Экспериментальные данные работы [5] обсчитаны по формуле (10). Результаты сравнения экспериментов и теоретической формулы приведены на рис. 2 и 3.

 

Рис. 2. Безразмерная полуширина проплава w/2D в зависимости от безразмерной энтальпии B. Сравнение экспериментальных результатов (кружки) с расчетами (линия) по формуле (10) при n = 0.35, k = 1.

 

Рис. 3. Безразмерная полуширина проплава w/2D в зависимости от числа Пекле Pe. Сравнение экспериментальных результатов (кружки) с расчетами (линия) по формуле (10) при n = 0.35, k = 1.

 

Из рис. 2, 3 видно, что формула (10) хорошо описывает экспериментальные данные, за исключением больших чисел безразмерной энтальпии. Это может объясняться тем, что происходит переход от режима теплопроводности к режиму “кинжального” проплавления, для которого характерно наличие парогазового канала и глубокое проникновение излучения внутрь подложки с существенным ее проплавлением. Как результат, происходит изменение коэффициента поглощения лазерного излучения материалом $A$, который учитывается в расчетах безразмерной энтальпии.

На рис. 4 показано сравнение экспериментальных [5] и расчетных по формуле данных по глубине проплавления. Видно, что формула (10) хорошо описывает эксперименты с зоной теплопроводности, но не описывает зону “кинжального” проплавления.

 

Рис. 4. Безразмерная глубина проплава h/D в зависимости от числа Пекле Pe. Сравнение экспериментальных результатов (кружки) с расчетами (линия) по формуле (10) при n = 0.35, k = 1. Выделены области: I – зона “кинжального” проплавления, II – зона теплопроводности.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача описания технологии аддитивного лазерного выращивания рассмотрена в рамках автомодельного уравнения теплопроводности. Показано, что решение автомодельной задачи для уравнения теплопроводности с осевой симметрией хорошо описывает параметры “ванны” расплава. Получена двухпараметрическая зависимость ширины и глубины проплава от числа Пекле и безразмерной энтальпии. Проведено сравнение с экспериментальными данными [5]. Показано, что полученная аналитическая зависимость хорошо описывает экспериментальные данные c режимом теплопроводности, но не описывает “кинжальный” режим проплавления.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена в рамках государственного задания ИТПМ СО РАН.

Sobre autores

V. Fomin

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Autor responsável pela correspondência
Email: fomin@itam.nsc.ru

Academician of the RAS

Rússia, Novosibirsk

A. Golyshev

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: alexgol@itam.nsc.ru
Rússia, Novosibirsk

A. Medvedev

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: medvedev@itam.nsc.ru
Rússia, Novosibirsk

A. Malikov

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: smalik707@yandex.ru
Rússia, Novosibirsk

Bibliografia

Arquivos suplementares