On the theory of contact problems for composite media with anisotropic structure

Full Text

Теории анизотропных сред, описывающих композитные материалы, посвящено большое количество работ, в связи с их важностью в различных областях инженерной практики [1–15]. Анизотропные структуры имеют природное и техногенное происхождение. Они встречаются как природные образования в коре Земли, а также как результат создания новых композитных материалов. Сложно охватить весь комплекс анизотропных структур. Некоторые анизотропные структуры изучены достаточно глубоко, в связи с важностью их применения в отраслях ответственного назначения. Особенно это относится к кристаллам и полупроводниковым материалам, применяемым при создании элементной базы электроники. Важными, и одновременно сложными, являются исследования анизотропных граничных задач в пространственной постановке. Задачи рассматриваются в статическом и динамическом вариантах. Сложность решения пространственных анизотропных задач зачастую вынуждает исследователей ограничиваться случаями рассмотрения их плоских постановок. Они практически нивелируют пространственную анизотропию, поэтому рассмотрено лишь ограниченное количество контактных задач о действии полностью пространственных штампов на анизотропную среду. В большинстве своем это приближенные аналитические либо численные решения задач, в которых пренебрегают учетом концентраций контактных напряжений под штампами. В настоящей работе развитый в [16] метод обобщается на случай анизотропных структур и позволяет получить точное решение контактной задачи для полосового штампа произвольной ширины, действующего на композитную анизотропную среду для всего диапазона входных параметров.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ

Методом, описанным в работе [17], контактная задача о действии полосового конечной ширины жесткого штампа на анизотропную слоистую среду сводится к решению интегрального уравнения вида

$\begin{array}{c}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}k(x_1-{\xi }_1,x_2-{\xi }_2)q({\xi }_1,{\xi }_2)d{\xi }_{1}d{\xi }_2=f(x_1,x_2),\\ -a\le x_1\le a,\left|x_2\right|\le \infty ,\\ k(x_1,x_2)=\frac{1}{4{\pi }^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}K(u_1,u_2)e^{-i(u_1{x}_1+u_2{x}_2)}d{u}_{1}d{u}_2,\\ K(u_1,u_2)>\mathrm{0,}-\infty <u_1,u_2<\infty .\end{array}$(1)

Здесь  $q(x_1,x_2)$– контактные напряжения под штампом,  $f(x_1,x_2)$– перемещения в зоне контакта,  $k(x_1,x_2)$– ядро интегрального уравнения, функция $K(u_1,u_2)$ – преобразование Фурье ядра интегрального уравнения.

Считаем, что функция $K(u_1,u_2)$ является аналитической, зависящей от двух комплексных переменных, не обращающейся в ноль на вещественной оси по обоим параметрам. Двумерное интегральное уравнение (1) сводится к одномерному с вещественным параметром $u_2$ применением преобразования Фурье по координате $x_2$.

В результате интегральное уравнение (1) оказывается представимо в виде

$\begin{array}{c}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}k(x_1-{\xi }_1)q\left({\xi }_1\right)d{\xi }_1=f\left(x_1\right),\\ q\left({\xi }_1\right)=q({\xi }_1,u_2),k\left(x_1\right)=k(x_1,u_2),\\ k\left(x_1\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}K\left(u_1\right)e^{-i{u}_1{x}_1}d{u}_1,\\ K\left(u_1\right)=K(u_1,u_2),f\left(x_1\right)=f(x_1,u_2).\end{array}$ (2)

Ради краткости вещественный параметр $u_2$ временно опускается и возврат к нему будет осуществлен в конце сообщения. Считаем, что непрерывная аналитическая функция $K\left(u_1\right)$ на бесконечности обладает асимптотическим поведением $K\left(u_1\right)=O\left(u_1^{-1}\right),\mathrm{Im}{u}_1=0$. Таким свойством обладают ядра интегральных уравнений, построенные для статических смешанных задач на многослойной анизотропной среде [18]. Например, в случае термоэлектроупругого слоя уравнения состояния среды имеют вид

$\begin{array}{c}{\sigma }_y=c_{ykl}^{E,\theta }{s}_{kl}-e_{yk}^{\theta }{E}_k-{\lambda }_y^E\theta ,\\ d_i=e_{ikl}^{\theta }{s}_{kl}+{\epsilon }_y^{s,\theta }{E}_j^{}+{\rho }_i^S\theta ,\\ \eta ={\lambda }_{ij}^E{s}_y+{\rho }_i^S{E}_i+\alpha \theta .\end{array}$

Здесь  $\sigma$– тензор напряжений;  $c_{i\text{}jkl}^{{\rm E},\theta }$– тензор упругих постоянных; $s_{ij}$ – тензор деформаций упругой среды; $E_i$ – компоненты вектора напряженности электрического поля; θ = T – T₀; θ, T и T₀ – относительная, абсолютная и начальная температуры соответственно; $\eta$ – плотность энтропии;  $d_i$– компоненты вектора электрической индукции;  $e_{kij}^{\theta }$– тензор пьезомодулей;  ${\epsilon }_{i\text{}j}^{S,\theta }$– тензор диэлектрических проницаемостей;  ${\rho }_i^S$– пироэлектрические коэффициенты; $\alpha =\rho c_{\epsilon }^E{T}_0^{-1}$ $c_{\epsilon }^E$;  – удельная теплоемкость при постоянной деформации;  $\rho$– плотность материала.

Система дифференциальных уравнений, описывающая такой материал, после сокращений и введения потенциалов принимает вид

$\begin{array}{c}{c}_{ijkl}\frac{{\partial }^2{w}_k}{\partial {õ}_l\partial {õ}_j}+e_{kij}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {õ}_k\partial {õ}_j}-{\lambda }_{ij}\frac{\partial \theta }{\partial {õ}_j}+F_i=\rho \frac{{\partial }^2{w}_i}{\partial \text{\hspace{0.05em}}{t}^2},\\ e_{ik}\frac{{\partial }^2{w}_k}{\partial {õ}_i\partial {õ}_i}-{\epsilon }_{ik}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {õ}_k\partial {õ}_i}+{\rho }_i\frac{\partial \theta }{\partial {õ}_i}=\mathrm{0,}\\ k_{ij}\frac{{\partial }^2\theta }{\partial {õ}_i\partial {õ}_j}+W=T_0\frac{\partial }{\partial t}\left({\lambda }_{ij}\frac{\partial w_i}{\partial {õ}_j}-{\rho }_i\frac{\partial \psi }{\partial {õ}_i}+\alpha \theta \right),\\ i,j,k,l=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\\ S_{kl}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w_k}{\partial {õ}_l}+\frac{\partial w_l}{\partial {õ}_k}\right),g_i=-k_{ij}\frac{\partial T}{\partial {õ}_j},\\ E_k=-\frac{\partial \psi }{\partial {õ}_k}.\end{array}$

Применением преобразований Фурье в слоистой среде строится система интегральных уравнений для вектора неизвестных. Упростив постановку контактной задачи путем выделения отличной от нуля одной компоненты вектора, получаем отдельное интегральное уравнение относительно неизвестной компоненты.

Ниже развивается один из методов изучения и решения интегрального уравнения контактной задачи о действии полосового штампа на анизотропную слоистую среду. Для этого строится обобщенное решение интегрального уравнения.

ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим интегральное уравнение (2) с тремя типами ядер $K_m$, удовлетворяющими приведенным ниже свойствам.

Выберем положительные числа ${\gamma }_1,{\gamma }_3$ таким образом, чтобы имело место неравенство

$0<K_1\left(u_1\right)<K_2\left(u_1\right)<K_3\left(u_1\right)$. (3)

Здесь приняты обозначения

$\begin{array}{l}{K}_1\left(u_1\right)={\gamma }_1{\left(u_1\right)}^{-1}\text{th}{u}_1,\text{\hspace{1em}}{K}_2\left(u_1\right)=K(u_1,u_2),\\ K_3\left(u_1\right)={\gamma }_3{\left(u_1\right)}^{-1}\text{th}{u}_1,\\ 0<{\gamma }_1<{\gamma }_3,,\mathrm{Im}{u}_2=\mathrm{0,}\left|u_2\right|\le \infty .\end{array}$ (4)

Функция $K_2\left(u_1\right)=K(u_1,u_2)$, зависящая от параметра $u_2$, очевидно, представляет семейство функций при любом фиксированном $u_2$ на вещественной оси.

Введем в рассмотрение три комплексных гильбертовых пространства H_m(–a,a), m = 1, 2, 3, для функций, заданных на отрезке $\left[-a,a\right]$ со скалярным произведениями и нормой [17] вида

$\begin{array}{c}{(\phi ,\psi )}_m=(\sqrt{K_m\left(u_1\right)}\Phi \left({\upsilon }_1\right)e^{i{u}_1},\sqrt{K_m\left(u_1\right)}{\Psi }^{\ast }(u_1)e^{-i{u}_1}{)}_m=\\ =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\sqrt{K_m\left(u_1\right)}\Phi \left(u_1\right)\sqrt{K_m\left(u_1\right)}{\Psi }^{\ast }\left(u_1\right)d{u}_1,\\ {||\phi ||}_m^2=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left|K_m\left(u_1\right){\Phi }^2\left(u_1\right)\right|d{u}_1,\Phi \left(u_1\right)=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\phi \left(x\right)e^{i{u}_{1}x}dx,\\ {\Psi }^{\ast }\left(u_1\right)=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{\psi }^{\ast }\left(x\right)e^{-i{u}_{1}x}dx.\end{array}$(5)

Звездочка означает переход к комплексно сопряженному выражению.

В результате порождается семейство гильбертовых пространств для каждого фиксированного вещественного $u_2$. Очевидно, все введенные пространства эквивалентны, причем гильбертовы пространства являются негативными, содержащими, наряду с классическими, также и некоторые обобщенные функции. Построим обобщенные решения для интегральных уравнений [17]:

$\begin{array}{c}{}_m{q}_m\equiv \underset{-a}{\overset{a}{\int }}{k}_m(x-\xi )q_m\left(\xi \right)\mathrm{d\xi }=f\left(x\right),\\ \left|x\right|\le a,k_m\left(x\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{K}_m\left(u\right)e^{-iux}du,\\ \text{Re}{K}_m\left(u\right)>0\end{array}$(6)

с ядрами $k_m\left(x\right)$.

Рассматривая их в пространствах H_m(–a,a), взяв произвольные функции $\psi$ из этих пространств, умножив на них уравнения (6) и проинтегрировав на отрезке $\left[-a,a\right]$, получим соотношения

$\begin{array}{c}{\left(q_{m,}\psi \right)}_m=(f,\psi ),\\ (f,\psi )=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right){\psi }^{\ast }\left(x\right)dx\equiv \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}F\left(u_1\right){\Psi }^{\ast }\left(u_1\right)d{u}_1\end{array}$.

Приведем выражение справа к виду скалярных произведений (5) во веденных гильбертовых пространствах за счет дополнительных требований свойств у функции $f\left(x\right)$ правой части интегрального уравнения (6) с учетом принадлежности функции $\psi \left(x\right)$ этим пространствам. Имеем

$\begin{array}{c}(f,\psi )=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}F\left(u_1\right){\Psi }^{\ast }\left(u_1\right)d{u}_1=\\ =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\sqrt{K_m\left(u_1\right)}{F}_m\left(u_1\right)\sqrt{K_m\left(u_1\right)}{\Psi }^{\ast }\left(u_1\right)d{u}_1={(f_m,\psi )}_m,\\ F_m\left(u_1\right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{K}_m^{-1}\left(u_1\right)F\left(u_1\right)d{u}_1.\end{array}$ (7)

Из (7) получаем равенство функционалов, справедливое для любой функции $\psi$ из гильбертова пространства ${(q_m,\psi )}_m={(f_m,\psi )}_m$. В результате из теоремы Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала [16] следует доказательство существования и единственности решений интегральных уравнений (6) в каждом из введенных гильбертовых пространств. При этом $||q_m||=||f_m||$. Как следствие, из (4) получаем важные соотношения ${||q_3||}_3<{||q_2||}_2<{||q_1||}_1$, свидетельствующие о разрешимости интегрального уравнений (6) для любого вещественного $u_2$ в гильбертовых пространствах. Это относится ко всем классическим решениям, вложенным во введенные гильбертовы. Для получения существующего классического решения, вложенного в гильбертово, как доказано, единственного, необходимо построить оператор вложения в гильбертовы пространства. Это достигается использованием аппарата блочного элемента и факторизационных методов.

ПОСТРОЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Как и в предыдущем разделе, будем рассматривать интегральные уравнения (6) с ядрами $K_m\left(u_1\right),m=\mathrm{1,2,3}$. Применим к ним метод блочного элемента, опирающийся на факторизационный подход [19]. Они приводятся к решению эквивалентной операторам интегральных уравнений (6) системы двух интегральных уравнений. Их построение детально описано в работе [19] и ниже не повторяется.

$\begin{array}{c}{X}_m(\zeta ,\pm )={\mp }_m(\zeta ,a)X_m(u_1,\pm )+{\alpha }_m(\zeta ,\pm ),\\ {}_m(\zeta ,a)X(u_1,\pm )=\\ =\frac{1}{2\pi i}\underset{\sigma }{\int }\frac{{K_m}_{-}\left(u_1\right)e^{-2aiu}}{{K_m}_{+}\left(u_1\right)(u_1+\zeta )}{X}_m(u_1,\pm )d{u}_1,\\ {\alpha }_m(\zeta ,\pm )=\\ =\pm \frac{1}{2\pi i}\underset{\sigma }{\int }\left[\frac{F_{+}\left(u_1\right)}{{K_m}_{-}\left(u_1\right)(u_1-\zeta )}\mp \frac{F_{-}\left(u_1\right)}{{K_m}_{+}\left(u_1\right)(u_1+\zeta )}\right]d{u}_1,\\ F_{+}\left(u_1\right)=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)e^{i{u}_1(x+a)}dx,\\ F_{-}\left(u_1\right)=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)e^{i{u}_1(x-a)}dx,\\ {\Phi }_{m-}\left(u_1\right)=\underset{-\infty }{\overset{-a}{\int }}{\phi }_{m-}\left(x\right)e^{i{u}_1(x+a)}dx,\\ {\Phi }_{m+}\left(u_1\right)=\underset{a}{\overset{\infty }{\int }}{\phi }_{m+}\left(x\right)e^{i{u}_1(x-a)}dx,\\ X_m(\zeta ,\pm )=\left[{{\Phi }_m}_{+}(-\zeta )\pm {{\Phi }_m}_{-}\left(\zeta \right)\right]K_{m-}^{-1}\left(\zeta \right),\end{array}$(8)

$K_{m\pm }\left(u_1\right)$ – результат факторизации функции $K_m\left(u_1\right),m=\mathrm{1,3}$, относительно вещественной оси [19]. Здесь непрерывный контур $\sigma$ расположен в нижней комплексной полуплоскости, асимптотически уходит на бесконечность так, что содержит часть отрицательной мнимой полуоси, пересекая ее в одной точке. Главным его свойством является огибание сверху находящихся в нижней комплексной полуплоскости комплексных особенностей всех аналитических функций $K_m\left(u_1\right)$. Считаем, что контур расположен строго ниже вещественной оси, т.е. $0>-c>\mathrm{maxIm}{u}_1,u_1\in \sigma ,c>0$.

После обращения уравнений (8) представления решений интегральных уравнений (6) даются формулами [19]

$\begin{array}{c}{q}_m\left(x\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left\{\begin{array}{c}\frac{F\left(u_1\right)}{K_m\left(u_1\right)}-\frac{{X_0^{-}}_m\left(u_1\right)e^{-ia{u}_1}}{{K_m}_{+}\left(u_1\right)}-\\ -\frac{{X_2^{+}}_m\left(u_1\right)e^{ia{u}_1}}{{K_m}_{-}\left(u_1\right)}\end{array}\right\}{e}^{-ix{u}_1}d{u}_1,\\ m=\mathrm{1,2,3,}\\ 2{X_2^{+}}_m(-u_1)=X_m(u_1,-)+X_m(u_1,+),\\ 2{X_0^{-}}_m\left(u_1\right)=X_m(u_1,-)-X_m(u_1,+).\end{array}$(9)

В работе [19] доказано, что операторы ${}_{\mathbf{m}}\mathbf{(}\mathbf{\zeta }\mathbf{,}\mathbf{a}\mathbf{)}$ в правой части (8), если рассматривать их на контуре $\sigma$, являются вполне непрерывными в пространстве $C\left(\lambda \right),0\le \lambda <1$, вводимом нормой $||f||=\max \left|{u_1}^{\lambda }f\left(u_1\right)\right|,u_1\in \sigma$.

Методами, детально описанными в работе [19], осуществим факторизацию в виде произведения каждой функции $K_m\left(u\right)$. Примем во внимание представление функций $K_m\left(u\right),m=\mathrm{1,3}$, в виде

$K_m\left(u\right)={\gamma }_m\frac{\pi \Gamma (\frac{1}{2}+iu{\pi }^{-1})\Gamma (\frac{1}{2}-iu{\pi }^{-1})}{\Gamma (1+iu{\pi }^{-1})\Gamma (1-iu{\pi }^{-1})},m=\mathrm{1,3}$,

$\Gamma \left(u\right)$ – гамма-функция. В результате будем иметь

$\begin{array}{c}{K}_m\left(u_1\right)=K_{m+}\left(u_1\right)K_{m-}\left(u_1\right),\\ K_{m\pm }\left(u_1\right)=\sqrt{{\gamma }_m}\frac{\sqrt{\pi }\Gamma (\frac{1}{2}\mp i{u}_1{\pi }^{-1})}{\Gamma (1\mp i{u}_1{\pi }^{-1})},m=\mathrm{1,3,}\\ K_{2\pm }\left(u_1\right)=\exp (\pm \frac{1}{2\pi i}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{\ln K_2\left(\xi \right)}{\xi -u_1}d\xi ),u_1\in {\Pi }_{\pm }.\end{array}$(10)

Здесь  ${\Pi }_{+},{\Pi }_{-}$– верхняя и нижняя комплексные полуплоскости. Из (10) для факторизованных функций следует свойство

$K_{m-}\left(u_1\right)K_{m+}^{-1}\left(u_1\right)\to O\left(1\right),\left|u_1\right|\to \infty ,u_1\in \sigma$.

Будем считать, что левая и правая ветви контура $\sigma$ асимптотически, при ${\tau }_2\to \infty$, сближаются с границами клина, описываемого прямыми

$u_1=(\pm \delta -i){\tau }_2,0<\delta <\mathrm{1,}0<{\tau }_2\le \infty ,u_1={\tau }_1+i{\tau }_2.$

Внутри него расположены все особенности нижней полуплоскости функций $K_m^{\pm 1}\left(u_1\right)$.

Справедлива

Лемма. Оператор $(\zeta ,a)$  является аналитической функцией параметра $a$ , регулярной в области $\mathrm{Re}a>0$. Существует такое $a_0\ge 0$, что имеет место неравенство ${||{}_m(\zeta ,a)||}_{C\left(\lambda \right)}<\mathrm{1,}\mathrm{Re}a>a_0$.

Первое доказывается на основании наличия убывающей экспоненциальной функции под интегралом, представляющим оператор, вычисляемым по контуру , что позволяет его дифференцировать произвольное количество раз. Последнее возможно, поскольку функции $K_m\left(u_1\right)$ являются регулярными, не имеющими особенностей в зоне между вещественной осью и контуром $\sigma$. Второе следует из оценки нормы оператора, на основании учета поведения подынтегральной функции на всем контуре $\sigma$, т.е. ${||{}_m(\zeta ,a)||}_{C\left(\lambda \right)}=O\left(e^{-ca}\right),c>\mathrm{0,}a\to \infty$.

Теорема. Решение (9), основанное на использовании уравнений (8), справедливо для всех значений параметра $0<a\le \infty$.

Для доказательства рассмотрим интегральные уравнения (6) для случая $f\left(x\right)=1$ и построим решения $q_{m0}\left(x_1\right)$ [20]. Вычислив правые части в уравнениях (8), рассмотрим область значений параметра $a>a_0$. В этом случае оператор будет сжимающим и уравнение можно решить методом последовательных приближений [16]. В результате решение представимо в виде

${}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\sum _{n=0}^{\infty }{\left[{}_m(\zeta ,a)\right]}^n{A}_m$. (11)

В этом случае, используя метод Ньютона–Канторовича [21], решение можно представить в виде

${}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}{\left[1{-}_m(\zeta ,a)\right]}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{A}}_{\mathbf{m}}$. (12)

В работе [16] показано, что в изотропном случае слоистой среды, т.е. для $m=\mathrm{1,3}$, соотношение (12) справедливо во всем диапазоне $0<a\le \infty$. Покажем, что это свойство имеет место также и в рассматриваемом анизотропном случае.

Рассмотрим интегральные уравнения (6) при $m=\mathrm{1,3}$. В этих случаях для рассматриваемых интегральных уравнений ряд (11) сходится в интервале $0<a\le \infty$ и дает точное решение уравнения в форме (9), которое после преобразований имеет вид [20]

$q_{m0}\left(x_1\right)=\frac{1}{{\gamma }_m\pi Q_{-\frac{1}{2}}\left(\text{ch}a\right)\sqrt{2\text{ch}a-2\text{ch}{x}_1}},m=\mathrm{1,3}$.

Здесь $Q_{-\frac{1}{2}}\left(\text{ch}a\right)$ – функция Лежандра с отрицательным дробным индексом. При $a\to 0$ она имеет поведение

$Q_{-\frac{1}{2}}\left(\text{ch}a\right)~\ln a+r,r=\text{const}$. (13)

Покажем, что подобным свойством обладает и решение интегрального уравнения при $m=2$. Действительно, исследуя оператор ${}_{\mathbf{m}}\mathbf{(}\mathbf{\zeta }\mathbf{,}\mathbf{a}\mathbf{)}$ при $a\to 0$ в формуле (12), используя асимптотические разложения входящего в него интеграла на контуре , получаем соотношение

$\begin{array}{l}||(\zeta ,a)||=ìàõ\left|e^{-2ai{\tau }_1}\underset{\sigma }{\int }\frac{K_{-}({\tau }_1-i{\tau }_2)e^{-2a{\tau }_2}d{\tau }_2}{K_{+}({\tau }_1-i{\tau }_2)({\tau }_1-i{\tau }_2+\zeta )}\right|~\\ ~\delta Ei(-2a{\tau }_{20})~\delta (\ln a+c_0),a\to \mathrm{0,}\delta ,c_0=\text{const},\end{array}$

где $Ei(-2a{\tau }_{20})$ – интегральная экспонента. Оно приводит в формуле (9) к аналогичной зависимости от параметра $a\to 0$, как и (12). В работах [16, 19] доказано, что построенное с использованием уравнений (8) решение $q_{20}$ интегрального уравнения в форме (9) по краям штампа обладает концентрацией контактных напряжений вида ${(a^2-{x_1}^2)}^{-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$. Это значение совпадает с концентрацией контактных напряжений, даваемых точным решением $q_{m0}\left(x_1\right),m=\mathrm{1,3}$. Решения, построенные для интегральных уравнений в гильбертовых пространствах, остаются в силе во всех пространствах, в них вложенных.

Выведенные выражения решений интегральных уравнений для единичной правой части, $f\left(x_1\right)=1$, позволяют по формулам [20]

$\begin{array}{c}{q}_m\left(x_1\right)=\frac{1}{2M\text{'}\left(a\right)}\left[\frac{d}{da}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{q}_{m0}(s,a)f\left(s\right)ds\right]q_{m0}(x_1,a)-\\ -\frac{1}{2}\underset{\left|x_1\right|}{\overset{a}{\int }}{q}_{m0}(x_1,\xi )\frac{d}{d\xi }\left[\frac{1}{M\text{'}\left(\xi \right)}\times \right.\\ \left.\times \frac{d}{d\xi }\underset{-\xi }{\overset{\xi }{\int }}{q}_{m0}(s,\xi )f\left(s\right)ds\right]d\xi -\\ -\frac{1}{2}\frac{d}{d{x}_1}\underset{\left|x_1\right|}{\overset{a}{\int }}\frac{q_{m0}(x_1,\xi )}{M\text{'}\left(\xi \right)}\left[\underset{-\xi }{\overset{\xi }{\int }}{q}_{m0}(s,\xi )df\left(s\right)\right]d\xi ,\\ \left|x_1\right|<a\end{array}$

построить решения $q_m\left(x_1\right)$ интегрального уравнения для произвольной правой части $f\left(x_1\right)$. Для построенных классических решений остаются справедливыми неравенства ${||q_3||}_3<{||q_2||}_2<{||q_1||}_1$, как для элементов, вложенных в гильбертовы пространства. Учтем, что решение интегрального уравнения $q_2\left(x_1\right)$ содержит скрытый вещественный параметр $u_2$, являющийся преобразованием Фурье по параметру $x_2$ интегрального уравнения (1). Тогда, в соответствии с соотношением $q_2\left(x_1\right)\equiv q_2(x_1,u_2)$ из (2), имеет место представление решения интегрального уравнения (1) в полосе в виде

$q_2(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{q}_2(x_1,u_2)e^{-u_2{x}_2}d{u}_2$.

Оно является точным решением интегрального уравнения (1) во всем диапазоне  изменения параметра  в контактной задаче о действии полосового штампа на композитный материал анизотропной слоистой среды.

ВЫВОД

Выполненное исследование представляет строго обоснованный метод решения контактных задач для полосового штампа конечной ширины, действующего на слой из композитного материала, имеющего анизотропную структуру. Такого рода задачи возникают при исследовании состояния сейсмичности территории, имеющей протяженную горную гряду. В инженерной практике подобные задачи возникают при конструировании изделий с применением композитных материалов анизотропной структуры. Метод допускает дальнейшее развитие, направленное на решение контактных задач для штампов иной неклассической формы.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда и Кубанского научного фонда, региональный проект Краснодарского края № 24-11-20006.

About the authors

V. A. Babeshko

Kuban State University; Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: babeshko41@mail.ru

Academician of the RAS

Russian Federation, Krasnodar; Rostov-on-Don

O. V. Evdokimova

Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Email: babeshko41@mail.ru
Russian Federation, Rostov-on-Don

O. M. Babeshko

Kuban State University

Email: babeshko41@mail.ru
Russian Federation, Krasnodar

V. S. Evdokimov

Kuban State University

Email: babeshko41@mail.ru
Russian Federation, Krasnodar

References

Supplementary files