Resonant excitation of traveling waves in a nonlinear dissipative medium

全文:

Расчет свободно бегущих волн конечной амплитуды требует решения однородных нелинейных уравнений с граничными условиями на излучающей поверхности. Однако часто источники следует считать объемными. Такая постановка используется в задачах лазерного возбуждения звука, распространения волн в активных средах, при генерации волн внешними полями [1–5]. Базовые модели при этом имеют вид неоднородных уравнений. Например, в акустике это модифицированные нелинейные уравнения типа Бюргерса или Хопфа (для римановых волн [3, 4]). Особенно интересно резонансное возбуждение, при котором источники перемещаются в пространстве со скоростью, близкой к скорости собственных волн [6].

Обычный резонанс в колебательной системе с одной степенью свободы удается наблюдать, когда частота “вынуждающей силы” приближается к собственной частоте системы. Уравнение и его нужное частное решение имеют вид [1]

$\begin{array}{c}\frac{d^{2}X}{d{t}^2}+{\omega }_0^{2}X=A\cos \omega t,\\ X=\frac{A}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\left[\cos \omega t-\cos {\omega }_{0}t\right].\end{array}$ (1)

Решение (1) при $\omega \to {\omega }_0$ содержит неопределенность. Раскрывая ее, получим

$X=t\frac{A}{2{\omega }_0}\sin {\omega }_{0}t$. (2)

Амплитуда вынужденных колебаний (2) при резонансе линейно нарастает со временем. Рост может быть ограничен затуханием, а в случае слабой диссипации – нелинейными эффектами, которые становятся существенными при больших амплитудах.

Вблизи резонанса важна добротность, одно из определений которой – отношение амплитуд возвращающей и внешней силы. В модели осциллятора (1) с добавлением диссипативного члена $2\delta dX\text{/}dt$  добротность равна $Q={\omega }_0\text{/}2\delta$. Такой механизм затухания характерен для тел, колеблющихся в вязкой жидкости или газе. При этом потери пропорциональны скорости тела, а уравнение движения остается линейным. При больших значениях $Q$ амплитуда вынужденных колебаний гораздо больше амплитуды внешней силы, а частотная характеристика имеет узкий и высокий пик.

О ВОЛНОВОМ РЕЗОНАНСЕ

Волновой резонанс похож на колебательный. Однако он возникает не при $\omega \to {\omega }_0$, а при совпадении скорости $С$ перемещения в пространстве “внешних источников” со скоростью $c_0$ собственной волновой моды. В простейшем случае сплошной среды эта мода – акустическая, а $c_0$– скорость звука. Аналогом (1) для распределенной системы будет неоднородное волновое уравнение

$\frac{{\partial }^2{p}^{\text{'}}}{\partial t^2}-c_0^2\frac{{\partial }^2{p}^{\text{'}}}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\left(x-ct\right)$. (3)

Функция $f$ описывает распределение источников. Они движутся вдоль оси $x$ cо скоростью $ñ$, которая может отличаться от скорости ${ñ}_0$ собственной волны в среде. Нужное частное решение уравнения (3) (по смыслу аналогичное (1)) имеет вид

${ð}^{\text{'}}=\frac{f\left(x-ct\right)-f\left(x-c_{0}t\right)}{c^2-c_0^2}$. (4)

Решение (4) содержит неопределенность при (с → с₀). Раскрывая ее, найдем

$p^{\text{'}}=-\frac{t}{2c_0}\frac{\partial }{\partial x}f\left(x-c_{0}t\right)$. (5)

Видим, что при волновом резонансе (с → с₀) “вынужденная волна” линейно нарастает со временем. Такой рост наблюдается при любой форме “внешних источников”, не обязательно гармонической.

Обратим внимание, что резонансной может быть только одна из двух собственных волн $p\left(x\pm c_{0}t\right)$, которая бежит в ту же сторону, что и “внешние источники”. Поэтому удобно ввести “бегущую” координату – переменную $\varsigma =x-c_{0}t$, малую расстройку скоростей $\Delta =ñ-c_0,\left|\Delta \right|<<c_0$ и записать формулы (4), (5) так:

${ð}^{\text{'}}=\frac{1}{2{ñ}_0\Delta }\left[f\left(\varsigma -\Delta t\right)-f\left(\varsigma \right)\right],p^{\text{'}}=-\frac{t}{2c_0}\frac{\partial }{\partial \varsigma }f\left(\varsigma \right).$(6)

Процесс возбуждения волн (6) бегущими источниками иллюстрирован на рис. 1. Источники для наглядности выбраны локализованными в конечной области переменной . Форма их распределения – равномерная (“прямоугольная”).

 

Рис. 1. Возбуждение волн (6) бегущими источниками для различных расстроек скоростей. Направления движения фронтов показаны стрелками.

 

При точном резонансе ($\Delta =0$ ) происходит неограниченный рост волны с увеличением времени $t$ (штриховые линии). Возбуждаемая волна повторяет форму производной от функции $f\left(\varsigma \right)$.

Если же имеется расстройка ( $\Delta \ne 0$), то картина изменяется. Энергия вносится источниками в область, где производная $f^{\text{'}}\left(\varsigma \right)\ne 0$. Здесь энергия накапливается, а затем “вытекает” в левую ( $\Delta <0$) или в правую ( $\Delta >0$) сторону оси $\varsigma$. Это происходит из-за того, что собственная волна бежит по среде с другой (по сравнению с источниками) скоростью. Максимальное значение возмущения при этом оказывается конечным.

Как и в случае колебательного резонанса, ограничить рост волны при $\Delta =0$ могут диссипативное поглощение и нелинейность. Когда они есть, неоднородное уравнение (3) следует обобщить [1]:

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{p}^{\text{'}}}{\partial t^2}-c_0^2\frac{{\partial }^2{p}^{\text{'}}}{\partial x^2}-\frac{\epsilon }{c_0^2{\rho }_0}\frac{{\partial }^2{p^{\text{'}}}^2}{\partial t^2}-\\ -\frac{b}{{\rho }_0}\frac{{\partial }^3{p}^{\text{'}}}{\partial x^2\partial t}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\left(x-ct\right).\end{array}$ (7)

Здесь  $b$– диссипативный коэффициент (он выражается через объемную и сдвиговую вязкости и теплопроводность среды [6]), $\epsilon$ – нелинейный параметр [1]. Уравнение (7) удобно упростить, используя метод медленно изменяющегося профиля [1].

Под действием слабой диссипации и слабых внешних источников бегущая волна должна нарастать и искажаться медленно. В отсутствие этих факторов “порождающее” решение волнового уравнения (3) выберем в виде $p^{\text{'}}\left(t,x\right)=\Phi \left(x-c_{0}t\right)$. Это выражение (при наличии источников, нелинейности и диссипации) следует обобщить. Наряду с “быстрой” зависимостью формы волны от координаты $\varsigma =x-c_{0}t$ должна появиться “медленная” зависимость от времени $t$. Иными словами, “возмущенное” решение следует искать, положив в (7)

$p^{\text{'}}(\varsigma ,t)=\Phi (\varsigma ,\mu t)$. (8)

Здесь $\mu$– малый параметр, учитывающий медленную зависимость от времени t. Использование переменной $\varsigma$ означает, что “сопровождающий” наблюдатель находится в системе координат, движущейся со скоростью звука $c_0$, и видит только медленные искажения профиля, в то время как неподвижный наблюдатель основным движением считает перемещение бегущей волны.

Переходя в (7) к новым переменным $\varsigma ,\mu t$ и интегрируя по  получим уравнение

$\frac{\partial p^{\text{'}}}{\partial t}+\frac{\epsilon }{c_0{\rho }_0}{p}^{\text{'}}\frac{\partial p^{\text{'}}}{\partial \varsigma }-\frac{b}{2{\rho }_0}\frac{{\partial }^2{p}^{\text{'}}}{\partial {\varsigma }^2}=-\frac{1}{2c_0}\frac{\partial }{\partial \varsigma }f\left(\varsigma -\Delta t\right)$.(9)

Члены нулевого порядка малости ${\mu }^0$ здесь взаимно уничтожились, поскольку порождающее решение было выбрано правильно. Члены порядка ${\mu }^2$ отброшены. Оставшиеся члены имеют один и тот же – первый порядок малости ${\mu }^1$. Они образуют уравнение (9).

Рассмотрим вначале ограничения, накладываемые расстройкой и диссипацией, а нелинейные эффекты учитывать не будем ($\Delta \ne \mathrm{0,}b\ne \mathrm{0,}\epsilon =0$ $\Delta \ne \mathrm{0,}b\ne \mathrm{0,}\epsilon =0$). Положим для примера $f\left(\varsigma \right)=\left(A\text{/}k\right)\cos k\varsigma$. Решая неоднородное уравнение (9), найдем выражение для вынужденной волны:

$\begin{array}{c}{p}^{\text{'}}=\frac{A}{2k{c}_0}{\left[{\Delta }^2+{\left(\frac{bk}{2{\rho }_0}\right)}^2\right]}^{-1/2}\sin \left[k\left(\varsigma -\Delta t\right)+\phi \right],\\ \text{tg}\phi =\frac{2{\rho }_0\Delta }{bk}.\end{array}$(10)

Искомое решение получится, если к (10) прибавить выражение, описывающее свободную бегущую волну:

$p^{\text{'}}=C\exp \left(-\frac{b{k}^2}{2{\rho }_0}t\right)\sin \left(k\varsigma +\phi \right).$ (11)

Требуя, чтобы сумма (10) и (11) при $t=0$ обращалась в ноль, найдем константу $C$. Однако при больших значениях $t\to \infty$ выражение (11) обращается в ноль и максимальное значение амплитуды находится из формулы (10):

${\left|{p^{\text{'}}}_{MAX}\right|}_{t\to \infty }=\frac{A}{2k{c}_0}{\left[{\Delta }^2+{\left(\frac{bk}{2{\rho }_0}\right)}^2\right]}^{-1/2}\text{\hspace{0.17em}}.$ (12)

Видим, что резонансная особенность может быть ликвидирована как за счет ненулевой расстройки, так и благодаря диссипации.

По аналогии с колебательным резонансом можно ввести добротность для волнового резонанса, определив ее как отношение амплитуд бегущей волны и внешних источников. Пользуясь формулами (9) и (12), найдем

$Q=\frac{c_0}{2}{\left[{\Delta }^2+{\left(\frac{bk}{2{\rho }_0}\right)}^2\right]}^{-1/2}\text{\hspace{0.17em}}.$

При $\Delta =0$ получаем $Q={\rho }_0{ñ}_0\text{/}bk.$ Оценки, например, для волны с частотой в мегагерцевом диапазоне в воде дают величину порядка 10⁴–10⁵.

Еще одним “сглаживающим” резонансный “пик” фактором может быть нелинейность. Чтобы это показать, найдем стационарное решение уравнения (9) для распределения источников $f\left(\varsigma \right)=-\left(A\text{/}k\right)\cos k\varsigma$, положив $\partial \text{/}\partial t=\mathrm{0,}\Delta =\mathrm{0,}b=0$. При этом (9) сведется к выражению

$\frac{\epsilon }{{\rho }_0}{p^{\text{'}}}^2=\frac{A}{k}\cos k\varsigma +C$. (13)

Определяя константу $C$ из условия $p^{\text{'}}\left(k\varsigma =\pm \pi \right)=0$, получим решение:

$p^{\text{'}}=-\sqrt{\frac{2{\rho }_0}{\epsilon k}A}\cos \frac{k\varsigma }{2}\mathrm{sgn}\varsigma$. (14)

При $\varsigma =0$ в профиле формируется разрыв со скачком давления конечной величины. Таким образом, нелинейность не только уничтожает резонансную особенность, но и приводит к более медленной зависимости $p^{\text{'}}$ от “амплитуды” внешней силы: $~\sqrt{A}$ вместо зависимости $~A$ в линейных задачах. Заметим, что сам факт существования стационарного решения (14) связан с балансом энергии, вносимой в среду источниками и теряемой на образовавшемся ударном фронте.

Интересно проследить за процессом установления максимального значения при резонансе. Поскольку при $f\left(\varsigma \right)=-\left(A\text{/}k\right)\cos k\varsigma$ нестационарный процесс рассчитать не просто, изучим его для периодической пилообразной формы распределения источников, положив на одном периоде $-\pi <k\varsigma <\pi$:

$\frac{d}{d\varsigma }f\left(\varsigma \right)=-\frac{k\varsigma }{\pi }A,p^{\text{'}}=P\left(t\right)\frac{k\varsigma }{\pi }.$ (15)

Формулы (15) позволяют превратить (9) в обыкновенное дифференциальное уравнение:

$\frac{dP}{d\varsigma }+\frac{\epsilon k}{\pi {\rho }_0{c}_0}{P}^2=\frac{A}{2c_0}.$ (16)

Его решение, удовлетворяющее начальному условию $P\left(t=0\right)=0$, таково:

$P=\sqrt{\frac{\pi }{2}\frac{{\rho }_0}{\epsilon k}A}\cdot \tanh \left(t\sqrt{\frac{1}{2\pi }\frac{\epsilon k}{{\rho }_0{c}_0^2}A}\right).$ (17)

Как видим, максимальное на периоде значение давления растет с характерным временем $t~A^{-1/2}$, приближаясь к наибольшей величине $P~A^{1/2}$. Это такая же нелинейная зависимость, как и в формуле (14).

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН ГАРМОНИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ

Приведем для простоты уравнение (9) к компактной форме. Воспользуемся безразмерными переменными

$T=\frac{t}{t_{DIS}},\xi =k\varsigma ,V=\frac{p^{\text{'}}}{p_0}.$ (18)

Здесь  $p_0=b{c}_{0}k\text{/}2\epsilon$– нормировочное значение “амплитуды” давления, $k$– пространственная частота,  $t_{DIS}$– характерное время поглощения волны. Оно дается формулой $t_{DIS}=2{\rho }_0\text{/}b{k}^2$. Уравнение (9) примет вид

$\frac{\partial V}{\partial T}+V\frac{\partial V}{\partial \xi }-\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\xi }^2}=-A\sin \left(\xi -\delta T\right)$. (19)

Здесь число  $A$– безразмерная амплитуда волны источников, $\delta =2{\rho }_0\Delta \text{/}bk$– нормированная расстройка.

Профили нелинейных волн в диссипативной среде описываются уравнением (19). Стационарная волна ($\partial V\text{/}\partial T\equiv 0$) при резонансе ( $\delta =0$ ) подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению

$\frac{dV}{d\xi }-\frac{1}{2}\left(V^2-C^2\right)=-A\cos \xi .$ (20)

Поскольку среднее по периоду должно равняться нулю ($\overline{V}=0$), постоянная интегрирования $C^2=\overline{V^2}$ имеет важный физический смысл: она пропорциональна плотности энергии.

Замена переменной

$V=-2\frac{\partial }{\partial \xi }\ln W$ (21)

превращает (20) в линейное уравнение Матье:

$\frac{d^{2}W}{d{\xi }^2}+\frac{1}{4}\left(-{Ñ}^2-2A\cos \xi \right)W=0$. (22)

Таким образом, стационарное решение выражается через функцию Матье нулевого порядка:

$V=-2\frac{\partial }{\partial \xi }{\mathrm{lnce}}_0\left(\frac{\xi }{2},A\right),$ (23)

а энергия пропорциональна собственному значению ${\lambda }_0$ функции ${\mathrm{ce}}_0$:

$C^2=\overline{V^2}=-{\lambda }_0\left(A\right)$. (24)

При слабом возбуждении $\left(A<<1\right)$ имеем $\left|{\lambda }_0\right|=A^2\text{/}2$. Это, очевидно, линейный режим генерации. При сильном возбуждении $\left(A>>1\right)$, используя асимптотику для собственного числа функции Матье, получаем более слабую зависимость: $\left|{\lambda }_0\right|\approx 2A$.

Форма профиля возбужденной волны в условиях волнового резонанса изображена на рис. 2 для различных значений $A$ амплитуды волны источников. Видно, что при конечных значениях $A$ фронт имеет ненулевую ширину из-за диссипативного сглаживания. При $A\to \infty$ фронт превращается в крутую ударную волну, описываемую формулой (14).

 

Рис. 2. Период стационарной волны, возбуждаемой в диссипативной среде гармоническими колебаниями резонансного источника с различной амплитудой ${\rm A}$.

 

РЕЗОНАНСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Для расчета резонансной характеристики нужно рассмотреть процесс возбуждения волны при ненулевой расстройке скоростей. В этом случае соотношение (20), следующее из (19), будет иметь вид

$\frac{dV}{d\eta }-\frac{1}{2}\left(V^2-C^2\right)+\delta V=-A\cos \eta .$ (25)

Здесь $\eta =\xi -\delta T$. Когда линейная диссипация слабая, производной в уравнении (25) можно пренебречь и получить

$V=\delta \pm \sqrt{{\delta }^2+C^2+2A\cos \eta }$. (26)

Если амплитуда $A$ возбуждающих источников мала, отсюда следует линейное решение $V=-\left(A\text{/}\delta \right)\cos \eta$.

При росте  профиль волны искажается (см. рис. 3, построенный для положительной расстройки $\delta =0.1$). Вначале он описывается одной ветвью формулы (26). Кривые 1, 2, 3 на рис. 3 соответствуют растущей амплитуде: ${10}^3\left(\pi À\right)=\mathrm{5.6,}\mathrm{9.1,}12.3$.

Для кривых на рис. 3 константа  находилась из решения алгебраической задачи на собственные значения:

$\delta =\frac{2}{\pi }g\cdot E\left(\frac{4À}{g}\right),g=\sqrt{{\delta }^2+C^2+2À}$. (27)

 

Рис. 3. Период волны, возбуждаемой гармоническими колебаниями источника с различной амплитудой ${\rm A}$ при наличии расстройки скоростей $\mathrm{\delta }=0.1$.

 

Здесь  $E$– полный эллиптический интеграл 2-го рода. Решение удобно искать, записав (27) в параметрической форме:

$\begin{array}{c}{C}^2=2A\left[\frac{2}{m}-1-\frac{8}{{\pi }^2}\frac{E^2\left(m\right)}{m}\right],\\ \delta =\pm \frac{2\sqrt{2}}{\pi }\sqrt{2A}\frac{E\left(m\right)}{\sqrt{m}}.\end{array}$ (28)

Здесь $m$ – параметр. Аргумент функции $E\left(m\right)$ определен в области $0\le m\le 1$. Из (27) следует, что соответствующая область изменения расстройки дается неравенствами $A<4{\delta }^2\equiv A_{\ast }$. При $A=A_{\ast }$ происходит бифуркация и стационарная волна становится разрывной. Скачок появляется в каждом периоде профиля, связывая две ветви решения (26). Для разрывной волны

$C^2=2A-{\delta }^2$. (29)

При собственном значении (29) решение (26) принимает вид

$V=\delta \pm \sqrt{4A}\left|\cos \frac{\eta }{2}\right|$. (30)

Положение фронта находится из условия $\overline{V}=0$ и определяется уравнением

$\sin \frac{{\eta }_{SH}}{2}=\frac{\pi }{4}\frac{\delta }{\sqrt{A}}$. (31)

Из (31) следует, что условие $\left|\sin \left({\eta }_{SH}\text{/}2\right)\right|\le 1$ эквивалентно условию $A\ge A_{\ast }$.

Решение (30), (31) изображено на рис. 3, кривые 4, 5. С ростом числа $A$ в области $A\ge A_{\ast }$ разрыв, появившийся в точке профиля $\eta =\pi$ (для $\delta >0$), стремится к положению $\eta =0$, достигаемому при $A\to \infty$. Сплошные кривые 4, 5 построены для значений ${10}^2\left(\pi A\right)=\mathrm{1.5,}3$. Для отрицательной расстройки разрыв появится при $A=A_{\ast }$ в точке $\eta =-\pi$ и будет смещаться с ростом числа $A$ в положение $\eta =0$.

На рис. 4 изображена нелинейная резонансная характеристика для гармонического возбуждения. Она дает зависимость среднеквадратичной скорости $C=\sqrt{\overline{V^2}}$ от расстройки. Кривая построена для значения ${10}^2\left(\pi À\right)=25$. Прямые линии

$\sqrt{\overline{V^2}}=\pm \delta \sqrt{\frac{{\pi }^2}{8}-1}$ (32)

 

Рис. 4. Резонансные характеристики.

 

являются сепаратрисами. Ниже этих линий кривая построена с помощью решения для профилей, не содержащих разрывов. В точности на прямых (32) $À={À}_{\ast }$. Выше этих линий для нелинейного частотного отклика системы использовано другое решение (30), (31).

Добротность может быть оценена как отношение амплитуды колебаний поля волны к амплитуде колебаний источников (при $\delta =0$):

$Q_{NL}=\frac{c_0}{A}{\left.\sqrt{\overline{V^2}}\right|}_{\delta =0}=\frac{1}{\sqrt{2A}}$. (33)

В нелинейной задаче возможны иные определения для резонансной характеристики, например, как зависимость $V_{+}\left(\delta \right)$, где $V_{+}$ есть положительное пиковое значение амплитуды колебаний в волне. Зависимость показана на рис. 4 для $\left(\pi À\right)=0.25$. Аналитическое описание участков АВ, ВС, СD, DE дается соответственно формулами

$\begin{array}{c}\delta -\sqrt{{\delta }^2+C^2-2A},\delta +\sqrt{2}\sqrt{2A-\frac{{\pi }^2}{8}{\delta }^2},\\ -\left|\delta \right|+\sqrt{2}\sqrt{2A},-\left|\delta \right|+\sqrt{{\delta }^2+C^2+2A}.\end{array}$ (34)

Здесь собственное значение $C^2$ определяется уравнением (28). Линия 3, разделяющая участки СD и DE, дается формулой

$V_{+}=\left(\frac{\pi }{2}-1\right)\delta$. (35)

Заметим, что пиковое положительное значение $V_{+}$ достигается в вершине ударного фронта только для участка ВС. Для других трех участков характеристики значение $V_{+}$ лежит на гладком профиле волны. В отличие от кривой $\sqrt{\overline{V^2}}$ на рис. 4, максимальное значение $V_{+}$ соответствует не $\delta =0,$ а некоторой положительной расстройке:

$\begin{array}{c}{\left(V_{+}\right)}_{\max }=\sqrt{2}\left(1+\frac{4}{{\pi }^2}\right)\sqrt{2A},\\ {\delta }_{\max }=\frac{2\sqrt{2}}{\pi \sqrt{1+{\pi }^2\text{/}4}}\sqrt{2A}.\end{array}$ (36)

Это явление (сдвиг максимума) имеет место, например, при полете в атмосфере на трансзвуковых скоростях $ñ\approx {ñ}_0.$ Здесь максимальное давление в волне звукового удара и сопротивление движению наблюдаются не в условиях линейного волнового резонанса $ñ={ñ}_0,$ а при некоторой сверхзвуковой скорости полета $ñ>{ñ}_0.$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренное явление широко распространено в природе и технике, хотя сам термин “волновой резонанс” вряд ли можно считать устоявшимся. Такой резонанс удобно наблюдать в лабораторных условиях, используя движущийся оптоакустический источник в виде лазерного луча, сканируемого вдоль поверхности поглощающей свет среды [8, 9]. Это явление тесно связано с переходным излучением [10], которое реализуется, в частности, в неоднородной среде. В последние годы возродился интерес к волновому резонансу в связи с проблемой создания сверхзвуковых пассажирских самолетов [7, 11]. Интересные особенности явления возникают при генерации волн движущимися источниками в диспергирующих средах [6, 12]. Источники, приводящие к резонансному возбуждению, могут иметь нелинейную природу (см. [6, гл. 8, разд. 4]). В этих случаях принято говорить не о “резонансном”, а о “синхронном” возбуждении волн.

作者简介

O. Rudenko

Lomonosov Moscow State University; Prokhorov General Physics Institute, Russian Academy of Sciences; Institute of the Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences

编辑信件的主要联系方式.
Email: rudenko@acs366.phys.msu.ru

Academician of the RAS

俄罗斯联邦, Moscow; Moscow; Moscow

参考

补充文件