Osmotic filtration of salt water in sedimentary strata containing semipermeable areas and its possible applications

Full Text

Явление осмоса было открыто в 1748 г. французским естествоиспытателем Ж.А. Нолле. Осмос представляет собой одностороннюю диффузию растворителя через полупроницаемую мембрану из разбавленного раствора в более концентрированный. Движущей силой осмоса является стремление уравнять концентрацию солей по обе стороны мембраны. Давление, которое оказывает растворитель на мембрану, называется осмотическим. На основе осмотических явлений создаются новые материалы и технологии. Например, известная норвежская компания Statcraft нашла способ превратить осмотическое давление в электричество. Новая технология позволяет извлекать электроэнергию из естественной разницы содержания минеральных солей в пресной и морской воде, а не из кинетической энергии их движения.

Осмотический эффект может проявляться также в малопроницаемых пористых средах (глины, ил) [1–5]. В растворах движущей силой являются градиенты химических потенциалов растворителя и растворенных компонентов [6, 7]. В [8] установлено, что осмос может вызвать высокие давления в поровой воде. В работе [2] отмечается, что условия, необходимые для значительного осмотического давления, являются обычными в недрах и что большинство осадочных бассейнов имеют большие контрасты в концентрации растворенных веществ (часто >200 г/л [9, 10]). Аномальные давления в водоносных горизонтах, вызванные химическим осмосом, могут служить механизмом образования разломов [11]. Явление осмоса играет существенную роль при бурении и строительстве скважин. При бурении скважин, даже при очень маленькой проницаемости глинистой корки, в пласт может поступать значительное количество фильтрата бурового раствора вследствие осмотического втягивания, так как осмотическое давление может достигать неожиданно больших значений [12].

Как показано в [13], коэффициент осмоса некоторых природных пород и тампонажных материалов может в десятки, а то и в сотни раз превышать коэффициент фильтрации. Теоретическое объяснение явления химического и термического осмоса на основе неравновесной термодинамики приводится в [6, 7, 12, 14–17].

Для высокой эффективности мембранных свойств пород с высоким содержанием глины, например, сланцев, необходимы низкие пористости (0.05 или ниже) [2]. Эти низкие пористости сланцев, как правило, имеют место на глубинах 1–5 км. Обычно аномальные давления, возникающие в осадочных бассейнах на таких глубинах, объясняются природными и техногенными процессами, к которым, в частности, относятся диагенез, тектонические деформации, добыча нефти. Однако выясняется, что во многих случаях аномальное давление также может возникнуть вследствие осмотического эффекта из-за ранее существовавших химических разностей потенциалов в поровой воде.

В последнее время большой интерес вызывают процессы выбросов парниковых газов, в основном метана, через воронкообразные геоморфологические структуры на морском дне (покмарки), а также крупные кратеры на суше в районах вечной мерзлоты. Что касается крупных кратеров, обнаруженных в последние годы в Сибири на полуостровах Ямал и Таймыр, то их происхождение обычно связывают со взрывными выбросами метана в атмосферу в результате возникновения аномально высокого давления, связанного с интенсивным притоком флюидов в определенные зоны осадочной толщи. Аналогичные представления о выбросах метана на морском дне в виде холодных сипов часто используются при объяснении природы покмарков. Однако выясняется, что покмарки не обязательно связаны с каналами разгрузки флюидов или газовых сипов, а могут представлять собой просто места нарушений осадочной толщи без каких-либо следов флюидных или газовых потоков. Такая ситуация, например, имеет место в области широкого распространения покмарков на Чукотском плато в Восточной Арктике [18, 19]. Рассматриваемая в работе модель осмотической фильтрации неоднородно соленой воды в осадочной толще, содержащей полупроницаемые области с одной стороны, показывает возможность появления предельно больших аномалий давления, которые могут приводить к разрушению слоистой геосреды, а с другой – демонстрирует картину течения солевого раствора с замкнутыми линиям тока как при гравитационной конвекции.

Для понимания процессов, связанных с осмотической фильтрацией неоднородно соленой воды в осадочной толще с полупроницаемыми включениями, можно выделить две базовые задачи. В первом случае полупроницаемые области осадочных пород содержат сильно концентрированный раствор соли по сравнению с окружающей средой. Вторая задача соответствует противоположному случаю, когда полупроницаемые области насыщены раствором с аномально низкой концентрацией соли. Первый случай с точки зрения приложения к криопэгам в упрощенном виде ранее был рассмотрен в работе [20]. В настоящей работе численно-аналитическим методом решены обе нелинейные задачи. Ранее задача об осмотической конвекции впервые была поставлена и решена авторами в аналитическом виде для случая малых градиентов концентрации соли в растворе [21].

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЛЬТРАЦИИ РАСТВОРОВ

Вывод математической модели фильтрации растворов с учетом осмоса и соответствующих граничных условий можно найти в [6]. Здесь ограничимся ее формулировкой в простейшем случае.

Имеем

$\mathbf{v}=-\frac{k}{\mathrm{\eta }}\left(\rho \frac{\partial {\mathrm{\mu }}_1}{\partial c}\nabla c+\rho \frac{\partial {\mathrm{\mu }}_1}{\partial T}\nabla T+\nabla p-\mathrm{\rho }\mathbf{g}\right)$,

$\frac{\partial \left(mc+a\right)}{\partial t}+\mathrm{\gamma }\mathbf{v}\nabla c=\gamma D∆c$, (1)

$\frac{\partial a}{\partial t}=\mathrm{\phi }\left(a,c,T\right), m=m\left(a\right)$ 

$C_m\frac{\partial T}{\partial t}+\rho C_p\mathbf{v}\nabla T=\lambda \nabla T$.

Здесь первое уравнение – закон Дарси, второе – уравнение неразрывности, третье – уравнение баланса массы соли и четвертое – уравнение баланса энергии; c – концентрация соли; v – поле скоростей; C_p – удельная теплоемкость раствора; C_m – эффективная теплоемкость единицы объема насыщенной пористой среды; D – коэффициент диффузии соли; k – проницаемость; m – пористость; p – давление; T – температура; µ₁ – химический потенциал растворителя; η – вязкость раствора; λ – эффективная теплопроводность насыщенной пористой среды; ρ – плотность раствора; a – концентрация соли в твердой фазе. Коэффициент γ принимает значения от нуля до единицы. Этот коэффициент характеризует степень влияния пористой среды на фильтрацию соли, т.е. степень проявления мембранного свойства. В случае если пористая среда обладает свойствами идеальной полупроницаемости, т.е. не пропускает молекулы соли, этот коэффициент равен нулю. Если молекулы соли наравне с молекулами растворителя свободно проходят поры, то γ = 1. В общем случае γ, как и проницаемость, может быть переменной величиной и даже тензором.

Следующие условия являются естественными на границе полупроницаемого включения [6]:

$\left[{\mathrm{\rho v}}_n\right]=0, \left[\gamma \left({\mathrm{v}}_{n}c\mathit{-}D\frac{\partial c}{\partial n}\right)\right]=0,$

${\mathrm{v}}_n=-\mathrm{\beta }\left(\mathrm{\rho }\frac{\partial {\mu }_1}{\partial c}\left[c\right]+\left[p\right]\right), \oint {\mathrm{v}}_n ds=0$, (2)

$\left[T\right]=0, \left[{\mathrm{\rho v}}_{n}h-\mathrm{\lambda }\frac{\partial T}{\partial n}\right]=0,$

$\mathrm{\gamma }=\left\{\begin{array}{l}0, \left(\mathrm{x},\mathrm{z}\right)\in \mathrm{\Omega },\\ 1, \left(\mathrm{x},\mathrm{z}\right)\notin \mathrm{\Omega },\end{array}\right.$

где β – коэффициент пропорциональности, который зависит от свойств среды, в частности, от ее проницаемости, и должен определяться эмпирическим путем; Ω – область, занимаемая полупроницаемым включением. Первые два равенства описывают условия сохранения потока массы раствора и соли, третье условие вытекает из первого уравнения системы (1), из которого следует, что скачок химического потенциала на границе сред приводит к конечной скорости течения раствора (осмотический эффект). Четвертое условие означает отсутствие источников массы и позволяет устранить произвол, возникающий при решении задачи в двухсвязной области. В случае наличия n включений в растворе такие условия должны выполняться для каждого из них. Наконец, последние два условия означают непрерывность температуры и потока энергии.

Таким образом, система уравнений (1) с условиями (2) на границах полупроницаемых включений, условиями на остальных границах, не обладающих свойствами полупроницаемости, и начальными условиями представляет собой замкнутую математическую модель для описания фильтрации растворов в рассматриваемой пористой среде с полупроницаемыми включениями. Рассмотрим осмотическую конвекцию на основе сформулированной математической модели.

2. ОСМОТИЧЕСКАЯ КОНВЕКЦИЯ

2.1. Постановка задачи

Пусть в бесконечной вертикальной плоскости расположено полупроницаемое включение в виде круга произвольного радиуса (рис. 1). Вдали от включения невозмущенная концентрация убывает линейно с глубиной по закону $c_s=c_0-{\gamma }_{c}z$ (ось z направлена вниз и отсчитывается от центра круга). Считаем, что температура среды также линейно убывает с глубиной таким образом, что плотность раствора с глубиной увеличивается незначительно, т.е. имеет место устойчивая стратификация и не возникает естественная гравитационная конвекция. Далее, для простоты считаем процесс изотермическим, а плотность постоянной. Механическое равновесие в таких условиях невозможно и поэтому возникнет течение, вызванное осмосом. Необходимо найти стационарное решение задачи, описывающее данное течение.

 

Рис. 1. Модель задачи: 1 – проницаемая пористая среда; 2 – полупроницаемое включение; γ_c – градиент концентрации соли; c₀ – невозмущенная концентрация на глубине центра включения.

 

Предполагаем, что концентрация соли внутри включения равна C₀ = const, а проницаемость вне включения не слишком мала. Тогда можно не учитывать градиент концентрации в уравнениях движения флюида в обеих средах и считать, что осмос проявляется за счет скачка концентрации соли на границе включения. Кроме того, пренебрегаем выпадением соли в осадок, т.е. адсорбцией. Будем отсчитывать давление от гидростатического, а концентрацию – от начального невозмущенного распределения. Тогда, согласно (1), с учетом сделанных предположений имеем следующие уравнения для области вне включения:

$∆p_e=0, {\mathbf{v}}_e=-\frac{k_e}{\mathrm{\eta }}\nabla p_e$, (3)

${\mathbf{v}}_e\nabla \left(c_e+c_0-{\gamma }_{c}z\right)=D_e∆c_e$

и для области внутри круга (включения):

$\Delta p_i=\mathrm{0,}{\mathbf{v}}_i=-\frac{k_i}{\mathrm{\eta }}\nabla p_i$. (4)

Граничные условия (2) в полярных координатах имеют вид

$r=r_0 : -\frac{k_e}{\mathrm{\eta }}\frac{\partial p_e}{\partial r}=-\frac{k_i}{\mathrm{\eta }}\frac{\partial p_i}{\partial r},$

$-\frac{k_e}{\mathrm{\eta }}\frac{\partial p_e}{\partial r}=-\mathrm{\beta }\left[\mathrm{\rho }\frac{\partial {\mu }_1}{\partial c}\left(c_0-{\gamma }_c{r}_0\mathrm{cos\theta }+c_e-C_0\right)+p_e-p_i\right]$,

$-\frac{k_e}{\mathrm{\eta }}\frac{\partial p_e}{\partial r}\left(c_0-{\gamma }_c{r}_0\mathrm{cos\theta }+c_e\right)-D\left(-{\gamma }_c\mathrm{cos\theta }+\frac{\partial c_e}{\partial r}\right)=0,$

$r\to \infty : p_e\to 0, c_e\to 0$. (5)

2.2. Безразмерное представление задачи

Запишем задачу в безразмерном виде, вводя масштабы

$\left[x\right]=\left[z\right]=r_0, \left[\mathrm{v}\right]=\frac{D}{r_0},$

$\left[p\right]=-\mathrm{\rho }\frac{\partial {\mu }_1}{\partial c}{\gamma }_c{r}_0, \left[c\right]={\gamma }_c{r}_0$, (6)

${\mathrm{Ra}}_o=-\frac{\mathrm{\rho }{k}_e{\gamma }_c{r}_0}{\mathrm{\eta }D}\frac{\partial {\mu }_1}{\partial c}$.

Здесь Ra_o – осмотическое число Рэлея.

В безразмерном виде имеем следующие уравнения:

Вне включения

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial p_{\mathrm{e}}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{p}_e}{\partial {\mathrm{\theta }}^2}=0,$

${\mathrm{v}}_{er}=-{\mathrm{Ra}}_o \frac{\partial p_{\mathrm{e}}}{\partial r}, {\mathrm{v}}_{e\text{θ}}=-{\mathrm{Ra}}_o \frac{1}{r}\frac{\partial p_{\mathrm{e}}}{\partial \mathrm{\theta }},$ (7)

${\mathrm{v}}_{er}\left(\frac{\partial c_{\mathrm{e}}}{\partial r}-\mathrm{cos\theta }\right)+{\mathrm{v}}_{e\mathrm{\theta }}\frac{1}{r}\left(\frac{\partial {\mathrm{c}}_{\mathrm{e}}}{\partial \mathrm{\theta }}+\mathrm{sin\theta }\right)=$

$=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial c_{\mathrm{e}}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{c}_{\mathit{e}}}{\partial {\mathrm{\theta }}^2}.$

Внутри включения

$\begin{array}{l}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial p_i}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{p}_i}{\partial {\text{θ}}^2}=\mathrm{0,}\\ v_{ir}=-{\mathrm{Ra}}_o\frac{k_i}{k_e}\frac{\partial p_i}{\partial r}, v_{i\text{θ}}=-{\mathrm{Ra}}_o\frac{k_i}{k_e}\frac{1}{r}\frac{\partial p_i}{\partial \text{θ}}.\end{array}$ (8)

Граничные условия

$r=1:-\frac{\partial p_e}{\partial r}=-\frac{k_i}{k_e}\frac{\partial p_i}{\partial r},$

$-\frac{\partial p_e}{\partial r}=-\frac{k_i{\mathrm{\beta }}_0}{k_e}\left[\mathrm{cos\theta }-c_e-{\sigma }_0+{\sum }_0+p_e-p_i\right],$

${\mathrm{\sigma }}_0=\frac{c_0}{{\gamma }_c{r}_0}, {\sum }_0=\frac{c_0}{{\gamma }_c{r}_0}, {\mathrm{\beta }}_0=\frac{\mathrm{\eta }{r}_0}{k_i}\mathrm{\beta },$ (9)

$-{\mathrm{Ra}}_o\frac{\partial p_e}{\partial r}\left({\mathrm{\sigma }}_0-\mathrm{cos\theta }+c_e\right)-\left(-\mathrm{cos\theta }+\frac{\partial c_e}{\partial r}\right)=0,$

$r\to \infty : p_e\to 0, c_e\to 0.$

2.3. Решение задачи

Опуская для краткости громоздкий вывод решения, приведем сразу его окончательный вид:

${\mathrm{\Psi }}_e={\mathrm{Ra}}_o\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n}{r^n}\sin n\mathrm{\theta }, {\mathrm{v}}_{er}=\frac{1}{r}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_e}{\partial \mathrm{\theta }}, {\mathrm{v}}_{e\mathrm{\theta }}=-\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_e}{\partial r},$

${\mathrm{\Psi }}_i={\mathrm{Ra}}_o\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{r}^n\sin n\mathrm{\theta }, {\mathrm{v}}_{ir}=\frac{1}{r}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_e}{\partial \mathrm{\theta }}, {\mathrm{v}}_{i\mathrm{\theta }}=-\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_e}{\partial r},$

$c_e=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\alpha }_k\ln r+{\mathrm{\beta }}_k}{r^k}\cos k\mathrm{\theta }, c_i=0,$ (10)

$p_e=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n}{r^n}\cos n\mathrm{\theta }, p_i=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{r}^n\cos n\mathrm{\theta }-{\mathrm{\sigma }}_0+{\sum }_0,$

$a_n=-\frac{k_e}{k_i}{b}_n,$

$b_m=\frac{{\mathrm{\beta }}_m-{\delta }_{m,1}}{1+{\displaystyle \frac{k_i}{k_e}}+{\displaystyle \frac{k_{e}m}{k_i{\mathrm{\beta }}_0}}}, m=1,2,...$.

Здесь Ψ – функция тока; индексами e, i обозначены величины, относящиеся к областям вне и внутри полупроницаемого включения соответственно.

Постоянные коэффициенты α_k, β_k, =1,2..., определяются нелинейными алгебраическими уравнениями

$\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{n{b}_n\left({\mathrm{\alpha }}_k-k{\mathrm{\beta }}_k\right)}{k+n+1}cs\left(n,k,m\right)-\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}cs\left(n,1,m\right)-$

$-\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{nk{b}_n\left[{\mathrm{\alpha }}_k+\left(k+n+1\right){\mathrm{\beta }}_{\mathit{k}}\right]}{{\left(k+n+1\right)}^2}sn\left(n,k,m\right)+$

$+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sn\left(n,1,m\right)=-\frac{2\mathrm{\pi }}{{\mathrm{Ra}}_o}\frac{m{\alpha }_m}{m+1},$ (11)

${\alpha }_m=m{\mathrm{\beta }}_m+{\mathrm{\delta }}_{1m}+\frac{{\mathrm{Ra}}_o}{\mathrm{\pi }}\left[{\mathrm{\pi \sigma }}_{0}m{b}_{\mathit{m}}\mathit{-}\mathit{\sum }_{\mathit{n}\mathit{=}\mathit{1}}^{\mathit{\infty }}n{b}_{\mathit{n}}cs\left(n,1,m\right)+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }n{b}_{\mathit{n}}{\mathrm{\beta }}_{\mathit{k}}cs\mathit{(}\mathit{n}\mathit{,}\mathit{k}\mathit{,}\mathit{m}\mathit{)}\right], m = 1,2,...$.

Здесь обозначено:

$cs\left(n,k,m\right)={\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\cos n\mathrm{\theta } \cos k\mathrm{\theta } \cos m\mathrm{\theta }d\mathrm{\theta },$

$sn\left(n,k,m\right)={\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\sin n\mathrm{\theta } \sin k\mathrm{\theta } \cos m\mathrm{\theta }d\mathrm{\theta },$

${\mathrm{\delta }}_{nm}=\left\{\begin{array}{l}1, \mathrm{если} n=m,\\ 0, \mathrm{если} n\ne m.\end{array}\right.$

2.4. Одночленное приближение

Приведем отдельно одночленное приближение в явном виде. Если в рядах (10)–(11) ограничиться только одним членом, получим следующее решение:

${\mathrm{\Psi }}_e={\mathrm{Ra}}_o\frac{b_1}{r}\mathrm{sin\theta }, {\mathrm{v}}_{er}=\frac{1}{r}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_e}{\partial \mathrm{\theta }}, {\mathrm{v}}_{e\mathrm{\theta }}=-\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_e}{\partial r},$

${\mathrm{\Psi }}_i={\mathrm{Ra}}_o{b}_{1}r \mathrm{sin\theta }, {\mathrm{v}}_{ir}=\frac{1}{r}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_e}{\partial \mathrm{\theta }}, {\mathrm{v}}_{i\mathrm{\theta }}=-\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_e}{\partial r},$

$c_e=\frac{{\mathrm{\beta }}_1}{r}\mathrm{cos\theta }, c_i=0,$ (12)

$p_e=\frac{b_1}{r}\mathrm{cos\theta }, p_i=a_{1}r\mathrm{cos\theta }-{\mathrm{\sigma }}_0+{\sum }_0,$

$\begin{array}{l}{\mathrm{\alpha }}_1=\mathrm{0,} {\text{β}}_1=\frac{2{\mathrm{Ra}}_o{\text{σ}}_0}{1+{\mathrm{Ra}}_o{\text{σ}}_0+\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{e}}}{{\mathit{k}}_{\mathit{i}}}+\frac{k_{\mathit{e}}m}{k_{\mathit{i}}{\text{β}}_0}}-\mathrm{1,}\\ b_1=\frac{2}{1+{\mathrm{Ra}}_o{\text{σ}}_0+\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{e}}}{{\mathit{k}}_{\mathit{i}}}+\frac{k_{\mathit{e}}m}{k_{\mathit{i}}{\text{β}}_0}}, a_1=-\frac{{\mathit{k}}_{\mathit{e}}}{{\mathit{k}}_{\mathit{i}}}{b}_1.\end{array}$(13)

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Выражения (10)–(11), а в одночленном приближении (12)–(13), представляют собой искомое стационарное решение задачи в безразмерном виде. Масштабы величин даны в (6). В этих решениях концентрация соли и давление отсчитываются от невозмущенных начальных распределений. Соответственно для определения безотносительных (полных) значений этих величин необходимо к ним добавить их начальные невозмущенные значения.

Отметим, что одночленное решение (12)–(13) в точности совпадает с решением, полученным в [21] в первом приближении по градиенту концентрации γ_c. Это решение позволяет наглядно увидеть характер зависимости различных величин от параметров задачи, включая осмотическую силу.

Обратим внимание на важное свойство полученного решения. Из решения (10)–(11) или (12)–(13) не трудно заметить, что установившееся поле скоростей не зависит от концентрации соли внутри включения. Стационарное течение полностью определяется концентрацией раствора вне включения и его свойством полупроницаемости. Если градиент концентрации вне включения равен нулю или полупроницаемое включение отсутствует, то раствор будет находиться в механическом равновесии. Однако концентрация соли внутри полупроницаемой области имеет важнейшее значение, поскольку она вместе с концентрацией раствора вне включения определяют величину и характер аномалии давления.

Из (10)–(11) следует, что решение в безразмерном исчислении зависит всего от нескольких параметров, в частности от осмотического числа Рэлея. Исходных же параметров задачи значительно больше. Поэтому данные значений безразмерных величин можно получить для разных значений исходных параметров. Безразмерные величины, использованные на рис. 2, можно получить, например, при следующих значениях исходных параметров:

R = 8.3 Дж/(К · моль), ρ_w = 10³ кг/м³,

Т₀ = 270 К, М = 58.44 г/моль, b₀ = 2,

с₀ = 30 г/л, γ_cr₀ = с₀/3, φ = 0.1,

η = 10^-3 Па · с, k_e = 10^-18 м², D = 10^-9 м²/с.

Отсюда с помощью (6) для числа Рэлея получим значение Ra_o = 10.

Рассмотрим полученные результаты. Из рис. 2 следует, что во включении линии тока представляют собой почти прямые наклонные отрезки, вдоль которых растворитель движется верх. Вне включения раствор движется вниз, образуя в итоге замкнутые линии тока и ячейки. Отметим, что в одночленном приближении линии тока внутри полупроницаемого включения строго вертикальны, а вне включения симметричны относительно не только вертикальной, но и горизонтальной оси симметрии включения. В общем случае, как это видно из рис. 2, имеется асимметрия, и линии тока вне включения несколько вытянуты вниз. Видно также, что по мере удаления от включения интенсивность конвекции падает. Таким образом, исследованная модель показала, что в данных условиях возникает осмотическая конвекция с замкнутыми линиями тока наподобие гравитационной конвекции.

 

Рис. 2. Линии тока раствора в пористой среде c полупроницаемым включением при: Ra_o = 10, k_e = 10^-18 м², с₀ = 26 г/л, γ_cr₀/с₀=1/3, k_i/k_e = 0.1, φ = 0.1, η = 10^-3 Па · с, D = 10^-9 м²/с. Цифрами показаны значения функции тока Ψ.

 

Из рис. 3a видно, что с ростом числа Рэлея расход растет, т.е. растет интенсивность конвекции. Одночленное решение дает неплохое приближение при небольших числах Рэлея, однако с ростом числа Рэлея оно все больше отклоняется от точного решения. Тем не менее, это простое решение может быть использовано для предварительной оценки скоростей фильтрации и изучения свойств осмотической конвекции, как это сделано в [21]. Согласно рис. 3б, расход растворителя растет также и с ростом заданного градиента концентрации γ_c при фиксированном числе Рэлея и прочих параметров. При этом важно подчеркнуть, что число Рэлея также пропорционально γ_c, т.е. конвекция зависит от γ_c не только через число Рэлея, но и через граничное условие. С ростом градиента концентрации γ_c отклонение одночленного приближения от точного решения также растет.

 

Рис. 3. Зависимость средней скорости фильтрации растворителя через полупроницаемое включение: а – от числа Рэлея при k_i/k_e = 0.1 и γ_cr₀ /c₀ = 1/3; б – от приведенного градиента концентрации при Ra_o = 30. Пунктиром показано одночленное приближение решения. v₀ = 0.03 м/год; c₀ = 30 г/л; γ_cr₀/c₀ = 1/3 .

 

Рисунок 4a построен для предельного случая Ra_o = 0, когда раствор покоится, однако он справедлив для произвольных достаточно малых чисел Рэлея, когда конвективным переносом соли вне включения можно пренебречь, по сравнению с молекулярной диффузией. Из рис. 4 видно, что в этом случае концентрация соли над включением увеличивается, а под включением уменьшается. При этом интенсивность конвекции, согласно рис. 3a, очень мала и равна нулю в предельном случае, когда Ra_o = 0. Рисунок 4б, напротив, соответствует развитой конвекции, когда в основной области конвективный перенос доминирует над диффузией. Диффузия будет играть существенную роль лишь в пограничном слое вблизи границы включения. Как видно из рис. 4б, в этом случае, напротив, концентрация над включением уменьшается, а под включением растет. Это связано с тем, что развитая конвекция стремится выровнять распределение концентрации вне включения. Масштаб солености на рис. 4 равен 25 г/л. Отметим, что линии уровня давления качественно аналогичны, поэтому не приводятся.

 

Рис. 4. Линии уровня безразмерной концентрации раствора с/с_* в пористой среде, содержащей полупроницаемое включение при с_* = 25 г/л, γ_сr₀ = 10 г/л, с₀/γ_сr₀ = 3, k_i/k_e = 0.1: Ra_о = 0 (a). Ra_о = 30 (б).

 

На рис. 5 пунктиром показано невозмущенное распределение концентрации соли, цифрой 1 обозначены кривые, справедливые для малых чисел Рэлея, т.е. когда конвекция очень слаба или отсутствует, кривые 2 соответствуют развитой конвекции. Из рисунков следует, что при малых числах Рэлея осмос приводит к росту концентрации соли над включением и ее уменьшению под включением, конвекция же стремится выровнять концентрации соли над и под включением. Концентрация соли внутри включения остается первоначальной, поскольку включение не пропускает молекулы соли. Из рисунка видно так же, что образуются скачки концентрации на границе включения, характерные для осмоса. Масштаб солености на рис. 5 также равен 25 г/л.

 

Рис. 5. Распределение концентрации соли в растворе с глубиной при k_i/k_e = 0.1 и Ra_o = 0 (1); Ra_o = 30 (2) a – включение содержит сильно концентрированный раствор; б – включение содержит аномально слабо концентрированный раствор; γ_сr₀ = 10 г/л, с₀/γ_сr₀ = 3, k_i/k_e = 0.1, c_* = 25 г/л.

 

Как видно из рис. 6, если внутри полупроницаемой области раствор более концентрированный (рис. 6а), то имеется положительная аномалия давления, в противном случае (рис. 6б) имеет место депрессия давления. Отметим, что во втором случае при некоторых значениях входных параметров давление внутри включения может формально получиться отрицательным, что лишено физического смысла. Это будет означать, что в данном случае вся влага из полупроницаемого включения будет вытянута. Из рис. 6 с учетом рис. 5 следует, что перепад солености в 10 г/л вызывает аномалию давления порядка 1 МПа. Согласно [2], аномалии, вызванные осмосом, в глинистых породах осадочного бассейна могут достигать 20 МПа. Таким образом, в рассматриваемом случае мы имеем аномалию давления, которая может быть значительной.

 

Рис. 6. Распределение безразмерного давления в растворе при k_i/k_e = 0.3 и Ra_о = 0 (1); Ra_о = 30 (2); p₀ = 1.2 МПа: a – включение содержит сильно концентрированный раствор, избыточная концентрация равна С₀–с₀ = 36 г/л; б – включение содержит аномально слабо концентрированный раствор.

 

Рассмотрим одно из возможных приложений полученных результатов. Случай, когда внутри включения имеется положительная аномалия солености раствора и соответственно положительная аномалия давления, в упрощенном виде рассматривался в работе [20] в связи с приложением к криопэгам. Из-за сделанных упрощений наличие полученной выше конвекции в цитированной работе осталось незамеченным, однако аномалия давления в связи с аномалией солености была количественно оценена. В этой работе показано, что значительный объем поверхностной талой воды может мигрировать вниз под действием осмотического давления, связанного с криопэгом (линзой рассола). Показано, что достигаемое на глубине избыточное давление, вызванное скоплением воды в пласте, может превышать предел прочности и вызывать растрескивание мерзлого грунта. Если такие трещины распространяются на поверхность, быстрое снижение давления на глубине может привести к разложению гидрата метана, выделению газа метана и механическому взрыву. Данный механизм рассматривается как возможная причина образования кратеров в Сибири. Предполагается, что это описанное явление также может быть причиной образования покмарков на морском дне в мелкозернистых отложениях, таких как ил и глина. Отмечается, что рассмотренный механизм способен значительно ускорить разложение гидратов метана, и перенос выделенного метана с глубины на поверхность в качестве парникового газа может влиять на потепление климата. Полученное выше более строгое решение задачи (см. рис. 5a–6a) подтверждает реалистичность данной гипотезы.

Рассмотрим теперь второй случай, когда внутри включения имеется отрицательная аномалия солености раствора и соответственно отрицательная аномалия давления (рис. 5б–6б). Если внутри рассматриваемого включения имеются газогидраты, то депрессия давления может привести к их быстрому разложению, сопровождаемому последующим ростом давления в пласте, вызванном скоплением освободившегося газа. Это может привести к растрескиванию мерзлого грунта и даже к механическому взрыву [20]. Разница между обоими случаями заключается в том, что в первом случае депрессия давления как триггер разложения газогидратов появляется после первичного образования трещин и разломов из-за повышенного давления на первом этапе, а во втором случае депрессия давления вызвана изначально осмосом из-за аномально низкой солености внутри полупроницаемой области. Таким образом, оба сценария выбросов метана имеют схожий характер на поздней стадии.

С другой стороны, возможно объяснение возникновения “сухих” покмарков и без наличия газогидратов – просто в результате схлопывания геосреды из-за значительного уменьшения давления в опресненных зонах слабой солености. В этом случае на поверхности над опресненными зонами должны возникнуть воронки — “сухие” покмарки, которые наблюдаются в большом количестве на Чукотском плато Восточно-Арктического шельфа [18, 19].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе сформулированной математической модели рассмотрена осмотическая фильтрация соленой воды в осадочном слое, содержащем полупроницаемую область, насыщенную сильно или слабо концентрированным, по сравнению с окружающей средой, раствором. Показано, что в обоих случаях может возникнуть осмотическая конвекция с замкнутыми линиями тока наподобие гравитационной конвекции. Эта конвекция, если она развитая, приводит к выравниванию концентрации соли, т.е. к уменьшению разности концентрации соли над и под полупроницаемым включением. Показано, что в рассматриваемых условиях может возникнуть значительная депрессия давления в полупроницаемой области. Это может вызвать разложение газогидратов, при их наличии, с последующим повышением давления в пласте с возможным растрескиванием пласта и механическим взрывом с образованием кратеров.

Рассмотренный осмотический механизм разрушения осадочной толщи имеет два важных следствия:

1. Он не связан с обязательной разгрузкой флюидов или газов, что, как правило, подразумевается при анализе покмарков или кратеров. Этот важный вывод позволяет правильно интерпретировать “сухие” покмарки, которые наблюдаются в разных местах, например, в южной части Чукотского плато [18, 19].
2. Достаточно часто встречаются поля покмарков в тектонически пассивных областях коры (например, Чукотское плато), где отсутствовали деформации коры на протяжении достаточно продолжительных периодов времени (миллионы лет и больше). Поэтому осмотический механизм разрушения представляет собой альтернативный подход к интерпретации генезиса покмарков по отношению к традиционному тектоническому подходу, который основывается на существовании так называемой полигональной системы разломов [18].

ИСТОЧНИКИ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена в рамках государственного задания Института проблем геотермии и возобновляемой энергетики – филиала ОИВТ РАН; в рамках государственного задания Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН (проект № FMWE-2024-0018); частично при поддержке РНФ № 22-67-00025, № 21-77-30001.

About the authors

M. M. Ramazanov

Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences; Sadovsky Institute of Geosphere Dynamics

Author for correspondence.
Email: mukamay-ipg@mail.ru

Institute for Geothermal Research and Renewable Energy

Russian Federation, Makhachkala; Moscow

L. I. Lobkovsky

Shirshov Institute of Oceanology of Russian Academy of Sciences; V.I. Il’ichev Pacific Oceanological Institute, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: llobkovsky@ocean.ru

Academician of the RAS

Russian Federation, Moscow; Vladivostok

N. S. Bulgakova

Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences; Dagestan State Institute of National Economy

Email: ipgnatali@mail.ru

Institute for Geothermal Research and Renewable Energy

Russian Federation, Makhachkala; Makhachkala

S. R. Gadzhimagomedova

Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences; Dagestan State Institute of National Economy

Email: salikhat.g@gmail.com

Institute for Geothermal Research and Renewable Energy

Russian Federation, Makhachkala; Makhachkala

References

Supplementary files