Aeroelastic stability of a sandwich shell supported by annular ribs and a cylinder

Full Text

Перспективность применения трехслойных оболочек в конструкциях современной техники, и в первую очередь в летательных аппаратах, обусловлена высокими показателями весовой эффективности, изгибной жесткости, тепловой защиты, звукоизоляции, вибропоглощения, а также возможностью регулирования этих и других важных характеристик [1, 2]. У трехслойных оболочек можно расположить между несущими слоями в слое заполнителя различные конструктивные элементы, в том числе подкрепления в виде ребер, и добиться высокого качества внешней и внутренней поверхностей, что очень важно с точки зрения обтекания и актуально для современных высокоскоростных летательных аппаратов и особенно твердотопливных двигателей [3]. Эффективным является использование высокопрочных термостойких композиционных материалов (КМ) при создании твердотопливных двигателей [4, 5].

Одним из наиболее дорогостоящих и наиболее нагруженных элементов твердотопливного двигателя является корпус. Во время полета помимо аэродинамических и инерционных нагрузок на него действуют осевые силы и изгибающие моменты от соединительных отсеков. Так как одной из основных функций корпуса является предотвращение попадания внутрь внешнего тепла, то его оптимальной конструкцией является трехслойная оболочка.

Наружный слой такой оболочки, часто более прочный, служит для защиты двигателя от внешних механических и частично тепловых факторов. Внутренний слой более толстый, удерживает внутреннее давление при работе двигателя. Заполнитель между слоями обычно имеет низкие коэффициент теплопроводности и модуль упругости и защищает внутренний слой от воздействия тепла.

Для повышения устойчивости корпуса от действия внешнего давления стенки оболочки усиливают кольцевыми ребрами (шпангоутами).

К настоящему времени имеется ряд работ, посвященных аэроупругой устойчивости (флаттеру) однослойных цилиндрических и подкрепленных оболочек [6–8]. Обзор публикаций [9 и др.] показал, что класс трехслойных оболочек, подкрепленных шпангоутами и внутренним пустотелым цилиндром, оказался практически неизученным. Этот факт оказывает сдерживающее влияние на применение трехслойных оболочек в качестве перспективных элементов конструкций современной техники, и в первую очередь летательных аппаратов. Поэтому разработка методологии построения таких моделей является остроактуальной.

Математическая модель

Рассмотрим шарнирно опертую трехслойную цилиндрическую оболочку с несимметричными ортотропными слоями и легким заполнителем, подкрепленную шпангоутами и внутренним пустотелым цилиндром, обтекаемую по внешней поверхности сверхзвуковым потоком газа. Шпангоуты могут быть расположены между несущими слоями в слое заполнителя. Учет в расчетной схеме пустотелого цилиндра в зависимости от толщины свода и модуля упругости материала может как повысить, так и понизить критическую скорость обтекания.

В качестве аэродинамической модели внешнего воздействия на исследуемую конструкцию используется простейшая модель “поршневой” теории, разработанная и впервые опубликованная в статье [10] и широко используемая в работах [11, 12 и др.], в том числе в настоящее время [9 и др.].

Будем считать, что ребра связывают оба несущих слоя в окружном и радиальном направлениях и расположены сравнительно редко. При этом взаимным влиянием тангенциальных контактных усилий и радиальных инерционных сил можно пренебречь. Цилиндр представляется упругим основанием Винклера, коэффициент постели которого определяется из уравнений трехмерной теории упругости. Инерционные свойства учитываются путем приведения массы цилиндра к массе корпуса [13]. По торцам оболочка нагружена осевыми сжимающими силами.

Введем безразмерную систему цилиндрических координат, в которой за координатную поверхность принята срединная поверхность заполнителя. Тогда уравнения движения оболочки можно представить в виде

$\begin{array}{c}{L}_{i1}{u}_{\alpha }+L_{i2}{v}_{\alpha }+L_{i3}w+L_{i4}{u}_{\beta }+L_{i5}{v}_{\beta }+\\ +\left({\delta }_{i2}+{\delta }_{i3}+{\delta }_{i5}\right)\sum _{j=1}^N\left[l_{i2}^{\left(j\right)}{v}_{\alpha j}+l_{i3}^{\left(j\right)}{w}_j+l_{i5}^{\left(j\right)}{v}_{\beta j}\right]\delta \left(\alpha -{\alpha }_j\right)=\mathrm{0,}\\ \left(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,5\right),\end{array}$ (1)

где L_ij, l_ij – дифференциальные операторы, имеющие вид

$L_{11}=B_{11}\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+B_{33}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2};$

$L_{12}=L_{21}=\left(B_{12}+B_{33}\right)\frac{{\partial }^2}{\partial \alpha \partial \beta };$

$L_{13}=L_{31}=B_{12}\frac{\partial }{\partial \alpha };$

$L_{14}=L_{41}=B_{11}\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+B_{33}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2};$

$L_{15}=L_{51}=\left({\overline{B}}_{12}+{\overline{B}}_{33}\right)\frac{{\partial }^2}{\partial \alpha \partial \beta };$

$L_{22}=B_{33}\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+B_{22}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2};$

$L_{23}=L_{32}=B_{22}\frac{\partial }{\partial \beta };$

$L_{24}=L_{42}=\left({\overline{B}}_{12}+{\overline{B}}_{33}\right)\frac{{\partial }^2}{\partial \alpha \partial \beta };$

$L_{25}=L_{52}={\overline{B}}_{33}\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+{\overline{B}}_{22}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2};$

$\begin{array}{c}{L}_{33}=\frac{D_{11}}{R^2}\frac{{\partial }^4}{\partial {\alpha }^4}+\frac{2\left(D_{12}+D_{33}\right)}{R^2}\frac{{\partial }^4}{\partial {\alpha }^2\partial {\beta }^2}+\frac{D_{22}}{R^2}\frac{{\partial }^4}{\partial {\beta }^4}-\\ -\frac{h_0^2}{h}\left(G_{13}\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+G_{23}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2}\right)+ж{р}_{0}MR\frac{\partial }{\partial \alpha }+T_{\alpha }\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+\\ +{П}^2+B_{22}+\frac{ж{р}_0{R}^2}{c_0}\frac{\partial }{\partial t}+F_0{R}^2\frac{{\partial }^2}{\partial t^2};\end{array}$

$L_{34}=L_{43}=\left({\overline{B}}_{12}-2\frac{R{h}_0}{h}{G}_{13}\right)\frac{\partial }{\partial \alpha };$

$L_{35}=L_{53}=\left({\overline{B}}_{22}-2\frac{R{h}_0}{h}{G}_{23}\right)\frac{\partial }{\partial \beta };$

$L_{44}=B_{11}\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+B_{33}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2}-4\frac{R^2}{h}{G}_{13};$

$L_{45}=L_{54}=\left(B_{12}+B_{33}\right)\frac{{\partial }^2}{\partial \alpha \partial \beta };$

$L_{55}=B_{33}\frac{{\partial }^2}{\partial {\alpha }^2}+B_{22}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2}-4\frac{R^2}{h}{G}_{23};$

$l_{22}^{\left(j\right)}=\frac{E_j{F}_j}{R}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2};$

$l_{23}^{\left(j\right)}=l_{32}^{\left(j\right)}=\frac{E_j{F}_j}{R}\frac{\partial }{\partial \beta };$

$l_{25}^{\left(j\right)}=l_{52}^{\left(j\right)}=-2\frac{{\epsilon }_j{E}_j{F}_j}{R{h}_0}\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2};$

$l_{33}^{\left(j\right)}=\frac{1}{R}\left(E_j{F}_j-a_j\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2}\right)+{\rho }_j{F}_{j}R\frac{{\partial }^2}{\partial t^2};$

$l_{35}^{\left(j\right)}=l_{53}^{\left(j\right)}=-\frac{2}{R{h}_0}\left({\epsilon }_j{E}_j{F}_j+R{a}_j\right)\frac{\partial }{\partial \beta };$

$l_{55}^{\left(j\right)}=-\frac{4}{R{h}_0^2}\left[a_j{R}^2-E_j\left({\epsilon }_j^2{F}_j+I_j\right)\frac{{\partial }^2}{\partial {\beta }^2}\right];$

$F_0={\rho }_1{h}_1+{\rho }_2{h}_2+h{\rho }_0+{\rho }_{3}R\left(1-z_0^2\right)/6;$

$B_{ss}=B_s^B+B_s^H;{\overline{B}}_{ss}=B_s^B-B_s^H;$

$B_{12}=B_1^B{\nu }_2^B+B_1^H{\nu }_2^H;$

${\overline{B}}_{12}=B_1^B{\nu }_2^B-B_1^H{\nu }_2^H;$

$B_1^B=E_1^B{h}_1/{\eta }^B;B_2^B=E_2^B{h}_1/{\eta }^B;B_3^B=G_{12}^B{h}_1;$

$D_{12}=D_1^B{\nu }_2^B+D_1^H{\nu }_2^H;D_1^B=E_1^B{h}_1^3/12{\eta }^B;$

$D_2^B=E_2^B{h}_1^3/12{\eta }^B;D_3^B=G_{12}^B{h}_1^3/6;$

$z_0=R_0\text{/}R;T_{\alpha }=T\text{/}2\pi R;$

${\eta }^B=1-{\nu }_1^B{\nu }_2^B;h_0=h+\left(h_1+h_2\right)/2;$

$2{\epsilon }_i=r_i^B+r_i^H;a_i=5G_i{F}_i/\mathrm{6,}$

α, β – безразмерные координаты вдоль образующей и в окружном направлении срединной поверхности заполнителя, принятой за координатную поверхность; w, u_α, u_β, v_α, v_β – нормальное и приведенные осевые и тангенциальные перемещения соответственно верхнего и нижнего несущих слоев; R, R₀ – радиусы срединной поверхности заполнителя и канала цилиндра соответственно; h₁, h₂, h – соответственно толщины верхнего, нижнего и среднего слоев; $E_1^B,E_2^B,G_{12}^B,{\nu }_1^B,{\nu }_2^B-$ соответственно осевой и окружной модули упругости, модуль сдвига и коэффициенты Пуассона верхнего слоя (обозначения для нижнего слоя с индексом “Н” имеют аналогичный смысл); G₁₃, G₂₃ – модули поперечного сдвига заполнителя; ρ₁, ρ₂, ρ₀, ρ₃ – плотности материалов верхнего, нижнего и среднего слоев и материала цилиндра; E_j, G_j, ρ_j – модуль упругости, модуль сдвига и плотность материала j-го ребра; F_j, I_j – площадь и момент инерции ребра; N – количество ребер; П – коэффициент постели; æ, p₀, c₀ – показатель политропы, давление и скорость звука невозмущенного потока; M – число Маха; T – начальная осевая сила; δ(α) – дельта-функция; δ_kj – символ Кронекера; $r_j^B,r_j^H-$ соответственно расстояния от оси ребра до срединной поверхности верхнего и нижнего слоев, причем эта величина считается положительной, если ось ребра лежит ниже срединной поверхности несущего слоя.

Решение уравнений (1) будем искать в виде

$$\begin{gathered} \left\{u_{\alpha },u_{\beta }\right\}=\cos n\beta \sum _{m=0}^{\infty }\left\{A_{1m},A_{4m}\right\}\cos {\gamma }_m\alpha e^{\omega t}, \\ \left\{v_{\alpha },v_{\beta }\right\}=\sin n\beta \sum _{m=1}^{\infty }\left\{A_{2m},A_{5m}\right\}\sin {\gamma }_m\alpha e^{\omega t}, \\ w=\cos n\beta \sum _{m=1}^{\infty }{A}_{3m}\sin {\gamma }_m\alpha e^{\omega t}, \end{gathered}$$  (2)

где γ_m = mπ / α₀; α₀ = L / R; L – длина оболочки; ω – комплексная частота; A_1m,...,A_5m – постоянные коэффициенты; m – количество полуволн в осевом направлении; n – количество волн в окружном направлении.

Раскладывая дельта-функцию в тригонометрический ряд, подставим (2) в (1) и, используя метод Бубнова–Галёркина, получим бесконечную систему алгебраических уравнений относительно постоянной A_3m:

$\sum _{m=1}^{\infty }\left[{\delta }_{km}({\xi }_{1k}-\lambda )+\sum _{j=1}^N{H}_{km}^{\left(j\right)}+b_1{Q}_{km}\right]A_{3m}=0$   $\left(k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\dots \right),$  (3)

где

${\xi }_{1k}={\Delta }_k\text{/}{D}_{33}^{\left(k\right)};$

${\xi }_{2k}=D_{23}^{\left(k\right)}/D_{33}^{\left(k\right)};$

${\xi }_{3k}=D_{53}^{\left(k\right)}/D_{33}^{\left(k\right)};$

$\begin{array}{c}{H}_{km}^{\left(j\right)}=\frac{2}{R{\alpha }_0}\left\{\right.E_j{F}_j\left[1+n\left(\frac{2{\xi }_{3k}{\epsilon }_j}{h_0}-{\xi }_{2k}\right)\right]+\\ +\left.a_{j}n\left(n+2{\xi }_{3k}\frac{R}{h_0}\right)\right\}\sin {\gamma }_k{\alpha }_j\sin {\gamma }_m{\alpha }_j;\end{array}$

$-\lambda =b_2{\omega }^2+b_3\omega ;$

$b_1=\kappa p_{0}RM;$  $b_2=F_0{R}^2+\frac{2R}{{\alpha }_0}\sum _{j=1}^N{F}_j{\rho }_j{\sin }^2\frac{\pi {\alpha }_j}{{\alpha }_0};$  $b_3=\kappa p_0{R}^2/c_0;$

$Q_{km}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4}{{\alpha }_0}\frac{mk}{k^2-m^2},& \left(k\pm m\right)-нечетноечисло,\\ \mathrm{0,}& \left(k\pm m\right)-четноечисло,\end{array}\right.$  

$D_{23}^{\left(k\right)},D_{33}^{\left(k\right)},D_{53}^{\left(k\right)},{\Delta }_k-$ алгебраические дополнения и определитель матрицы, элементы которой имеют вид

$a_{11}=-B_{11}{\gamma }_k^2-B_{33}{n}^2; a_{12}=a_{21}=\left(B_{12}+B_{33}\right){\gamma }_{k}n; a_{13}=-a_{31}=B_{12}{\gamma }_k;$  

$a_{14}=a_{41}=-{\overline{B}}_{11}{\gamma }_k^2-{\overline{B}}_{33}{n}^2; a_{15}=a_{51}=\left({\overline{B}}_{12}+{\overline{B}}_{33}\right){\gamma }_{k}n;$

$a_{22}=-B_{33}{\gamma }_k^2-B_{22}{n}^2-\frac{2n^2}{R{\alpha }_0}\sum _{j=1}^N{E}_j{F}_j{\sin }^2{\gamma }_k{\alpha }_j;$

$a_{23}=-B_{22}n; a_{24}=a_{42}=\left({\overline{B}}_{12}+{\overline{B}}_{33}\right){\gamma }_{k}n;$

$a_{25}=a_{52}=-{\overline{B}}_{33}{\gamma }_k^2-{\overline{B}}_{22}{n}^2+\frac{4n^2}{R{h}_0{\alpha }_0}\sum _{j=1}^N{\epsilon }_j{E}_j{F}_j{\sin }^2{\gamma }_k{\alpha }_j;$

$a_{25}=a{}_{52}=-{\overline{B}}_{33}{\gamma }_k^2-{\overline{B}}_{22}{n}^2+\frac{4n^2}{R{h}_0{\alpha }_0}\sum _{j=1}^N{\epsilon }_j{E}_j{F}_j{\sin }^2{\gamma }_k{\alpha }_j;$

$a_{32}=B_{22}n+\frac{2n}{R{\alpha }_0}\sum _{j=1}^N{E}_j{F}_j{\sin }^2{\gamma }_k{\alpha }_j;$

$\begin{array}{c}{a}_{33}=\frac{D_{11}}{R^2}{\gamma }_k^4+\frac{2\left(D_{12}+D_{33}\right)}{R^2}{\gamma }_k^2{n}^2+\\ +\frac{D_{22}}{R^2}{n}^4+\frac{h_0^2}{h}\left(G_{13}{\gamma }_k^2+G_{33}{n}^2\right)-\\ -T_{\alpha }{\gamma }_k^2+B_{22}+R^2Ï;\end{array}$

$a_{34}=-a_{43}=-\left({\overline{B}}_{12}-\frac{2R{h}_0}{h}{G}_{13}\right){\gamma }_k;$

$a_{35}=\left({\overline{B}}_{22}-\frac{2R{h}_0}{h}{G}_{23}\right)n-\frac{4n}{R{h}_0{\alpha }_0}\sum _{j=1}^N\left({\epsilon }_j{E}_j{F}_j+R{a}_j\right){\sin }^2{\gamma }_k{\alpha }_j$

$a_{35}=\left({\overline{B}}_{22}-\frac{2R{h}_0}{h}{G}_{23}\right)n-\frac{4n}{R{h}_0{\alpha }_0}\sum _{j=1}^N\left({\epsilon }_j{E}_j{F}_j+R{a}_j\right){\sin }^2{\gamma }_k{\alpha }_j;$

$a_{44}=-B_{11}{\gamma }_k^2-B_{33}{n}^2-\frac{4R^2}{h}{G}_{13}; a_{45}=a_{54}=\left(B_{12}+B_{33}\right){\gamma }_{k}n;$

$a_{53}=-\left({\overline{B}}_{22}-\frac{2R{h}_0}{h}{G}_{23}\right)n; a_{55}=-B_{33}{\gamma }_k^2-B_{22}{n}^2-\frac{4R^2}{h}{G}_{23}-$

$-\frac{8}{R{h}_0^2{\alpha }_0}\sum _{j=1}^N\left[a_j{R}^2+E_j\left({\epsilon }_j^2{F}_j+I_j\right)n^2\right]{\sin }^2{\gamma }_k{\alpha }_j.$

Коэффициент постели П будет иметь вид

$\Pi =\frac{2\mu }{R}\frac{\Delta }{\psi };\psi =\sum _{j=1}^6{\Phi }_j{D}_{6j};\xi ={\gamma }_k;x=z_0{\gamma }_k;$

${\Phi }_1=-\frac{n^2}{\xi }{I}_n\left(\xi \right); {\Phi }_3=-\frac{(\lambda +\mu )}{2(\lambda +2\mu )}\xi \left(\frac{n^2}{{\xi }^2}+1\right)I_n\left(\xi \right);$

${\Phi }_5=-I{\text{'}}_n\left(\xi \right);$

D_6j, ∆ – соответственно дополнение и определитель матрицы, элементы которой имеют вид

$C_{11}=\frac{n^2}{x}{I}_n\left(x\right);$

$C_{13}=-{I^{\text{'}}}_n\left(x\right)-\frac{\lambda +\mu }{\lambda +2\mu }\left(\frac{n^2}{x^2}+1\right)x{I}_n\left(x\right);$

$C_{15}=2{I^{\text{'}}}_n\left(x\right);$

$C_{21}=\left(\frac{n^2}{x^2}+\frac{1}{2}\right)I_n\left(x\right)-\frac{1}{x}{I^{\text{'}}}_n\left(x\right);$

$C_{23}=\frac{\lambda +\mu }{2(\lambda +2\mu )}\left[\frac{1}{x}{I^{\text{'}}}_n\left(x\right)-\left(\frac{n^2}{x^2}+1\right)I_n\left(x\right)\right];$

$C_{25}=\frac{1}{x}\left[{I^{\text{'}}}_n\left(x\right)-\frac{1}{x}{I}_n\left(x\right)\right];$

$C_{31}=\frac{n^2}{x}\left[\frac{1}{x}{I}_n\left(x\right)-{I^{\text{'}}}_n\left(x\right)\right];$

$C_{33}=\frac{\lambda +\mu }{2(\lambda +2\mu )}\left[\left(\frac{n^2}{x^2}+1\right)x{I^{\text{'}}}_n\left(x\right)-\left(\frac{n^2}{x^2}-\frac{\mu }{\lambda +\mu }\right)I_n\left(x\right)\right];$

$C_{35}=\frac{1}{x}{I^{\text{'}}}_n\left(x\right)-\left(\frac{n^2}{x^2}+1\right)I_n\left(x\right); C_{41}=\frac{n^2}{\xi }{I}_n\left(\xi \right);$

$C_{43}=-{I^{\text{'}}}_n\left(\xi \right)-\frac{\lambda +\mu }{\lambda +2\mu }\left(\frac{n^2}{x^2}+1\right)\xi I_n\left(\xi \right);$

$C_{45}=2{I^{\text{'}}}_n\left(\xi \right);$

$C_{51}=\left(\frac{n^2}{{\xi }^2}+\frac{1}{2}\right)I_n\left(\xi \right)-\frac{1}{\xi }{I^{\text{'}}}_n\left(\xi \right);$

$C_{53}=\frac{\lambda +\mu }{2(\lambda +2\mu )}\left[\frac{1}{\xi }{I^{\text{'}}}_n\left(\xi \right)-\left(\frac{n^2}{{\xi }^2}+1\right)I_n\left(\xi \right)\right];$

$C_{55}=\frac{1}{\xi }\left[{I^{\text{'}}}_n\left(\xi \right)-\frac{1}{\xi }{I}_n\left(\xi \right)\right];$

$C_{61}=n^2\left[\frac{1}{\xi }{I}_n\left(\xi \right)-{I^{\text{'}}}_n\left(\xi \right)\right];$

$C_{63}=\frac{\lambda +\mu }{2(\lambda +2\mu )}\xi \left[\left(\frac{n^2}{{\xi }^2}+1\right)\xi {I^{\text{'}}}_n\left(\xi \right)-\left(\frac{n^2}{{\xi }^2}-\frac{\mu }{\lambda +\mu }\right)I_n\left(\xi \right)\right];$

$C_{65}=\xi \left[\frac{1}{\xi }{I^{\text{'}}}_n\left(\xi \right)-\left(\frac{n^2}{{\xi }^2}+1\right)I_n\left(\xi \right)\right];$

$\mu =\frac{E_3}{2(1+{\nu }_3)}; \lambda =\frac{E_3{\nu }_3}{(1+{\nu }_3)(1-2{\nu }_3)},$

где E₃, ν₃ – модуль упругости и коэффициент Пуассона материала цилиндра; штрихом обозначена производная по соответствующему аргументу.

Для получения четных столбцов матрицы C_ij и Φ_j необходимо в предыдущих элементах заменить функцию I_n(x) на модифицированную функцию Бесселя K_n(x) с тем же аргументом.

Редуцируя систему уравнений (3) с помощью метода Данилевского [14], приведем исходную матрицу к матрице Фробениуса. В результате получим характеристическое уравнение в следующем виде:

${\lambda }^q-A_{q-1}{\lambda }^{q-1}+A_{q-2}{\lambda }^{q-2}-\mathrm{...}-A_1\lambda +A_0=\mathrm{0,}$ (4)

где A_q – известные вещественные коэффициенты.

Полагая λ = λ₁ + iλ₂ в виде комплексного числа и отделяя в (4) действительную часть комплексных собственных значений от мнимой, получим систему уравнений относительно λ₁ и λ₂. Понижая порядок уравнения для λ₁ с помощью алгебраических операций и используя уравнение параболы устойчивости [12]

$\theta {\lambda }_1={\lambda }_2^2, \theta =b_3^2/b_2,$

получим систему двух уравнений. Для n = 8 она имеет вид

$C_0{\lambda }_1^7+C_1{\lambda }_1^6+C_2{\lambda }_1^5+C_3{\lambda }_1^4+C_4{\lambda }_1^3+C_5{\lambda }_1^2+C_6{\lambda }_1+C_7=\mathrm{0,}$

$S_0{\lambda }_1^7+S_1{\lambda }_1^6+S_2{\lambda }_1^5+S_3{\lambda }_1^4+S_4{\lambda }_1^3+S_5{\lambda }_1^2+S_6{\lambda }_1+S_7=\mathrm{0,}$     (5)

где C₀ = 8; C₁ = 7A₇ − 56θ; C₂ = 6A₆ − 35A₇θ + 56θ²;

$C_3=5A_5-20A_6\theta +21A_7{\theta }^2-8{\theta }^3; C_4=4A_4-10A_5\theta +6A_6{\theta }^2-A_7{\theta }^3;$

$C_5=3A_3-4A_4\theta +A_5{\theta }^2; C_6=2A_2-A_3\theta ; C_7=A_1;$  

$S_0=A_7-168\theta ;$

$S_1=2A_6-133A_7\theta +504{\theta }^2;$

$S_2=3A_5-100A_6\theta +259A_7{\theta }^2-216{\theta }^3;$

$S_3=4A_4-70A_5\theta +114A_6{\theta }^2-55A_7{\theta }^3+8{\theta }^4;$

$S_4=5A_3-44A_4\theta +39A_5{\theta }^2-8A_6{\theta }^3;$

$S_5=6A_2-23A_3\theta +8A_4{\theta }^2;$

$S_6=7A_1-8A_3\theta ; S_7=8A_0.$

Используя критерий Рауса–Гурвица [15], приравняем нулю результант уравнений (5).

$\left|\begin{array}{cccccccccccccc}{C}_0& C_1& C_2& C_3& C_4& C_5& C_6& C_7& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& C_0& C_1& C_2& C_3& C_4& C_5& C_6& C_7& 0& 0& 0& 0& 0\\ .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& C_0& C_1& C_2& C_3& C_4& C_5& C_6& C_7\\ S_0& S_1& S_2& S_3& S_4& S_5& S_6& S_7& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& S_0& S_1& S_2& S_3& S_4& S_5& S_6& S_7& 0& 0& 0& 0& 0\\ .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .& .\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& S_0& S_1& S_2& S_3& S_4& S_5& S_6& S_7\end{array}\right|=0$   (6)

Выражение (6) позволяет определить критическую скорость потока в зависимости от конструктивных параметров оболочки.

Пример

Рассмотрим трехслойную оболочку, подкрепленную одинаковыми прямоугольными шпангоутами и пустотелым цилиндром, имеющую параметры:

$L/R=9;$   $h_1/R=0.002;$ $h_2/R=0.006;$  $h/R=0.01;$

$\left(E_1^B,E_1^H\right)/E_3=3000; \left(E_2^B,E_2^H\right)/E_3=4800; E/E_3=4800;$  

$\left(G_{12}^B,G_{12}^H\right)/E_3=480; G/E_3=480; G_{i3}=\left(G_{13},G_{23}\right)/E_3=7;$  

${\nu }_1^B={\nu }_1^H=0.15; {\nu }_2^B={\nu }_2^H=0.24; {\nu }_3=0.49; \left({\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3,\rho \right)/{\rho }_0=5;$   

$F/R^2=2\cdot {10}^{-4}; I/F{R}^2=8\cdot {10}^{-6}; z_0=0.5;$  

$\kappa =1.4; p_0\text{/}{E}_3={10}^{-2}; c_0^2{\rho }_0\text{/}{E}_3=0.36; T_{\alpha }\text{/}\left(R{E}_3\right)=\mathrm{0.1.}$   

На рис. 1 представлены зависимости критической скорости обтекания потоком в числах Маха от безразмерной толщины свода цилиндра $\overline{z}=10(1-z_0)$ при однореберном и трехреберном подкреплении, где N – число шпангоутов. Для сравнения штриховой линией представлена зависимость критической скорости оболочки при отсутствии шпангоутов. Оболочки нагружены осевой сжимающей силой, величина которой составляет 70% от критической (T_кр – критическая сила потери устойчивости неподкрепленной оболочки).

Рис. 1. Зависимость критического числа Маха (М) от толщины свода цилиндра ($\overline{\mathbf{z}}$).

На рис. 2 показаны зависимости критической скорости обтекания от длины оболочки, подкрепленной шпангоутами и цилиндром и нагруженной осевой сжимающей силой. Для сравнения штриховой линией представлена аналогичная зависимость для оболочки с удвоенной толщиной ребер.

Рис. 2. Зависимость критического числа Маха от длины оболочки.

Из проведенного анализа полученных результатов расчетов следует, что:

при толщине свода цилиндра, равной $\overline{z}=1.0$, оболочки имеют самую низкую критическую скорость;

увеличение толщины свода цилиндра $\overline{z}>5.0$ не приводит к увеличению критической скорости обтекания;

наличие цилиндра увеличивает критическую скорость на 4М;

наличие одного шпангоута увеличивает критическую скорость на ≈ 2М, а наличие трех шпангоутов увеличивает скорость на ≈ 4М;

увеличение длины оболочки в 2 раза снижает критическую скорость в ≈ 1.8 раза;

увеличение площади шпангоутов в 2 раза увеличивает критическую скорость на ≈ 4М во всем диапазоне изменения длины оболочки.

Разработанная методология расчета позволяет на этапе проектирования трехслойных корпусов летательных аппаратов определить влияние параметров конструкции на величину критической скорости полета, при которой возникает панельный флаттер, и принять меры по его устранению.

Выводы

Представлена математическая модель по исследованию аэроупругой устойчивости перспективных для применения в конструкциях современной техники, и в первую очередь в летательных аппаратах, трехслойных оболочек, подкрепленных шпангоутами и внутренним пустотелым цилиндром. Приведены уравнения и рассмотрены основные этапы решения задачи c помощью представленной комбинации методов. С помощью построенных зависимостей исследовано влияние безразмерной толщины свода цилиндра, числа шпангоутов и длины оболочки на критическую скорость обтекания потоком, при которой возникает панельный флаттер. Разработанная математическая модель позволяет провести исследования одновременного влияния шпангоутов и внутреннего цилиндра на аэроупругую устойчивость трехслойных цилиндрических оболочек.

Источник финансирования

Работа выполнена в рамках государственного задания Института прикладной механики РАН.

About the authors

V. N. Bakulin

Author for correspondence.
Email: vbak@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

A. Ya. Nedbai

Email: vbak@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Dependence of the critical Mach number (M) on the thickness of the cylinder arch ( ).

Download (90KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Dependence of the critical Mach number on the shell length.

Download (107KB)

Indexing metadata

Presented by Academician of the RAS A.M. Lipanov