Using Okhotsimsky–Egorov’s method for solving the Euler–Lambert’s problem

Толық мәтін

Задача Эйлера–Ламберта имеет большое значение для механики космического полета. Поясним, в чем заключается эта задача. Пусть дана центральная материальная точка O, порождающая (без учета возмущений) вокруг себя центральное ньютоновское гравитационное поле и моделирующая, например, Солнце. Рассмотрим материальную точку P (моделирующую некоторое небесное тело малой массы, например, планету, астероид, комету, космический аппарат (КА)), которая движется у центра O в центральном ньютоновском гравитационном поле. Например, космический аппарат движется в гелиоцентрическом пространстве. Известны два положения этой точки p₁ и p₂ в моменты времени t₁, t₂, им соответствуют радиус-векторы OP₁ = r₁ и OP₂ = r₂, t₂ > t₁. Задача состоит в том, что надо определить такую орбиту перелета точки P, чтобы в момент времени t₁ точка находилась в положении P₁, а в момент t₂ – в P₂, т.е. надо осуществить перелет между точками P₁ и P₂ за заданное время ∆t_дан = t₂ – t₁.

Эта задача впервые была поставлена еще Л. Эйлером в 1743 г. Oн сформулировал ее так [1]: “По двум заданным радиусам-векторам, углу между ними и промежутку времени, в течение которого планета или комета этот угол описывает, найти всю орбиту”. Л. Эйлер решил эту задачу для случая, когда орбита перелета – параболическая. Затем развили эти результаты на эллиптические и гиперболические орбиты И. Ламберт в 1761–1771 гг., Лагранж в 1788 г. [1, 2]. Часто эта задача называется задачей Ламберта. На рис. 1 дана схема перелета между заданными точками Р₁, Р₂. Эта задача Эйлера–Ламберта важна для астрономии – для предварительного (без учета возмущений) определения орбит естественных небесных тел (астероидов, комет), а также для космонавтики, механики космического полета – для предварительного проектного построения орбиты космического аппарата при перелете на временном отрезке (t₁, t₂) с орбиты одного небесного тела на орбиту другого небесного тела. Ввиду этой важности задачи было разработано много методов ее решения ([1–13] и др.). Сравнительный анализ некоторых методов дан в работах М.Ф. Субботина, П. Эскобала, Р. Бэттина [1–3]. Сейчас популярны “универсальные” методы (например, [4, 9, 12]).

 

Рис. 1. Схема перелета между заданными точками пространства.

 

Большинство из разработанных методов решения задачи обычно основано на том, что множество орбит перелета между двумя точками в центральном поле образует однопараметрическое семейство орбит с перелетом между заданными точками за разное время (t₂́ – t₁). В зависимости от выбора параметра этого семейства получаем разные методы решения задачи Эйлера–Ламберта. В “классическом” методе за этот параметр, в соответствии с теоремой Эйлера–Ламберта, принята большая полуось орбиты перелета a [1–5, 7, 9 и др.]. Итерационно находится значение a*, для которого время перелета Δt(a*), вычисленное по теореме Эйлера–Ламберта, равно заданному времени Δt_дан. В.А. Егоров, по-видимому, впервые обратил внимание, что результаты Д.Е. Охоцимского по анализу баллистических перелетов могут быть использованы для построения несложного, очень наглядного метода решения задачи Эйлера–Ламберта. Рассмотрим кратко этот метод, который будем называть методом Охоцимского–Егорова, следуя духу идей В.А. Егорова. Рассмотрим идеи метода, основы и примеры алгоритмов численного решения задачи.

ИДЕИ МЕТОДА ОХОЦИМСКОГО–ЕГОРОВА

Пусть O – притягивающий центр, который порождает центральное ньютоновское гравитационное поле притяжения в пространстве у O. Обозначим через φ угол между OP₁ и OP₂. Будем считать, что sin φ ≠ 0. Построим плоскость, проходящую через этот центр O и точки P₁, P₂. Все орбиты перелета между данными точками P₁, P₂ также будут лежать в этой плоскости. Рассмотрим некоторую произвольную орбиту этого семейства (рис. 1, 2). Пусть V₁ – вектор скорости в начальной точке на данной орбите. Возьмем в качестве параметра x указанного семейства перелетов между двумя точками угол θ₁ наклона скорости V₁ к начальной трансверсали, на расстоянии r₁ до центра притяжения:

x = θ₁. (1)

 

Рис. 2. Семейство орбит перелета между заданными точками с углом θ1 как параметром семейства.

 

Определим время ∆t(θ₁) перелета из P₁ в P₂ для данного значения этого угла θ₁. Как показал Д.Е. Охоцимский [6, 8], задание угла θ₁ вместе с центральным углом перелета φ и расстояниями r₁ и r₂, определяет однозначно величину этой скорости V₁ для прилета на конечное расстояние r₂ от центра притяжения – по формуле:

 (2)

здесь величина β₁ есть безразмерное отношение квадратов начальной скорости V₁ и начальной параболической скорости ,

β₁ = V₁² / V_p1² = V₁² /(2μ / r₁), (3)

μ – гравитационный параметр центрального тела O. После определения параметра β₁ однозначно определяется и величина начальной скорости

, (4)

а также все параметры орбиты и время перелета. Действительно, Кеплеровская константа энергии h и большая полуось a орбиты:

 (5)

Константа площадей с, фокальный параметр p и эксцентриситет e:

 (6)

Определяются также кинематические параметры граничных точек орбиты перелета, в частности, истинные аномалии ϑ₁, ϑ₂, эксцентрические аномалии E₁, E₂ (для эллиптической орбиты, Гудерманианы H₁, H₂ для гиперболической орбиты) и средние аномалии M₁, M₂. Радиальная и трансверсальная компоненты начальной скорости:

 (7)

Отсюда, учитывая, что

 (8)

получим

 (9)

и начальное значение истинной аномалии ϑ₁.

С учетом центрального угла перелета φ (0 < φ < 2π) и возможного (для случая эллиптической орбиты перелета) некоторого числа дополнительных витков k (k = 0, 1, 2, 3,…) конечное значение истинной аномалии

 (10)

(при k = 0 перелет осуществляется на одном витке). Для случая гиперболической орбиты, после определения этих углов ϑ₁, ϑ₂ делаем также проверку возможности физической реализации перелета на гиперболической орбите. Если ϑ₂ – ϑ₁ > ∆ϑ_max, то перелет нельзя реализовать на данной орбите (здесь ∆ϑ_max задается асимптотами гиперболической орбиты). Получаем, как обычно, по значениям истинной аномалии в начале и конце перелета, время перелета ∆t(θ₁) и сравниваем его с данным временем ∆t_дан. Невязка

δt(θ₁) = ∆t(θ₁) – ∆t_дан. (11)

Получаем решение, меняя угол θ₁ в диапазоне

 (12)

где при φ < π: θ_1min = – π / 2 + 2θ₁₀ + ε₁, θ_1max = = π / 2 – δθ_1п – ε₁; при φ > π: θ_1min = – π / 2 + ε₁, θ_1max = π / 2 – 2 | θ₁₀ | – δθ_1п – ε₁; θ₁₀ минимизирует начальную скорость [8]; δθ_1п отклоняет скорость от гиперболы к параболе; поправка ε₁ (~ 10^–6) уменьшает скорость от параболической. Находим значение θ₁* угла, для которого время полета равно заданному и невязка равна нулю с заданной точностью, δt(θ₁*) = 0:

 (13)

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Основы алгоритма решения задачи Эйлера–Ламберта с помощью метода Охоцимского–Егорова в целом соответствуют описанным выше идеям (1)–(13). Укажем некоторые особенности алгоритма:

а) при заданных радиусах-векторах точки r₁(t₁), r₂(t₂) есть два варианта угла перелета, соответствующих возможным направлениям движения;

б) параметром семейства орбит перелета является угол наклона начальной скорости точки к трансверсали;

в) задача определения орбиты перелета с заданным временем решается итерационно. Важно хорошо задать начальное приближение;

г) при перелете на одном витке множество времен перелета есть диапазон (0, ∞), при заданном угле перелета решение существует, оно единственное, аналогично [14].

ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ C ПОМОЩЬЮ ДАННОГО МЕТОДА

Идеи метода были положены в основу нескольких алгоритмов решения задачи Эйлера–Ламберта, в частности:

а) А.К. Платоновым и Р.К. Казаковой – в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, при расчете некоторых межпланетных перелетов [10];

б) В.В. Ивашкиным – в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, при расчете траекторий перелета к опасному астероиду;

в) в МГТУ им. Баумана – в учебном процессе;

г) в МАИ, в НИИ прикладной механики и электродинамики (НИИ ПМЭ МАИ) – для анализа свойств метода.

ВЫВОДЫ

Результаты Д.Е. Охоцимского по баллистическому движению и идеи В.А. Егорова можно положить в основу метода решения задачи Эйлера–Ламберта.

Этот метод решения задачи Эйлера–Ламберта предлагаем назвать методом Охоцимского– Егорова.

Метод Охоцимского–Егорова привлекает своей наглядностью и хорошей сходимостью.

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа доложена на XIII Всероссийском Съезде по механике в августе 2023 г. Автор признателен А.В. Королевой за помощь в построении рисунков.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 22-79-10206, https://rscf.ru/project/22-79-10206/).

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Автор данной работы заявляет, что у него нет конфликта интересов.

Авторлар туралы

V. Ivashkin

M.V. Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences; Scientific Research Institute of Applied Mechanics and Electric Dynamics of Moscow Aviation Institute

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: ivashkin@keldysh.ru
Ресей, Moscow; Moscow

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар