Optimal harvesting vs. chaos in population dynamics

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Аннотация

The dynamics of fish populations, even for simple classes of reproduction functions, can be quite complex (up to the emergence of chaotic regimes). The problem arises: how will the population behavior change when optimal long-term fishing is imposed on it? Here the properties of the corresponding annual catch are defined and justified. On their basis, for the first time, an unexpected result was strictly substantiated: with optimal fishing, population dynamics are greatly simplified, and, in particular, chaos is transformed into a monotonous tendency of fish numbers to balance.

Толық мәтін

Согласно наблюдениям, динамика численности природных популяций (например, рыб) может быть довольно сложной (вплоть до возникновения хаотических режимов). Это подтверждают и многие модели, используемые в математической экологии [1]. Многие гидробилоги и зоологи полагают, что такого сорта негативные явления связаны с гиперпродукцией природных популяций. Так, при благоприятной температуре возникает бурный рост сине-зеленых водорослей, который порождает экологическую катастрофу – цветение воды.

В связи с этим актуальна проблема влияния оптимального многолетнего промысла на долговременное (= асимптотическое) поведение численности популяций. Так, если промысел еще более “запутывает” динамику рыбных популяций, то это сильно осложняет разработку стратегии вылова. В ряде работ рассмотрены простейшие стратегии промысла (= вылов с фиксированной квотой), и обнаружено: имеет место определенная стабилизация поведения рыбных популяций [2]. Разумеется, такой вылов далек от оптимального, кроме того, выводы получены для конкретных моделей с привлечением компьютерных экспериментов, и поэтому поставленная выше проблема остается открытой.

В наших статьях и работах других авторов [3–7] разработаны фундаментальные подходы к теории оптимизации долголетнего промысла. В конечном счете удалось обнаружить, что стабилизация хаоса при оптимальном промысле имеет место для широкого класса моделей. Веские основания этого результата приведены в данной статье.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОМЫСЛА

В этом вводном разделе представлены результаты, полученные ранее в работах [8, 9]. Для удобства читателей приводимые свойства, кроме нумерации, снабжены большими буквами, означающими: M – математика, У – промысел, Э – экономика.

Обсудим эти свойства на примере одномерной дискретной модели динамики численности рыб (с шагом в 1 год):

x t+1 =f x t . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaWG0bGaey4kaSIaaGymaaqabaGccqGH9aqp caWGMbWaaeWaaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaadshaaeqaaaGccaGLOa GaayzkaaGaaiOlaaaa@41FA@  (1)

Здесь x t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaWG0baabeaaaaa@39FC@  – численность рыбы в год t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiDaaaa@38D3@ . Естественно полагать f(0)=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaaIWaGaaiykaiabg2da9iaaicdaaaa@3C98@  с условием, что функция воспроизводства f MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaaaa@38C5@  является положительной и одновременно гладкой функцией. Рассмотрим типичные варианты таких моделей.

Монотонная модель. Считаем, что функция f(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3B1B@  строго возрастает и строго вогнута вверх. В таких моделях процессы гибели и размножения сбаласированны при любых x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@ . Кроме того, выполняются условия:

  1. f (0)>1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GabmOzayaafaGaaiikaiaaicdacaGGPaGaeyOpa4JaaGymaaaa@3CA7@  – сильный рост при малой численности;
  2. f(x)/x<1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiaac+cacaWG4bGaeyipaWJaaGym aaaa@3E8A@  – слабый рост при большой численности.

Например, данным ограничениям удовлетворяют функции f(x)=3x/(1+x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaaiodacqGHflY1caWG 4bGaai4laiaacIcacaaIXaGaey4kaSIaamiEaiaacMcaaaa@44CB@  и f(x)=ln(1+2x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iGacYgacaGGUbGaaiik aiaaigdacqGHRaWkcaaIYaGaamiEaiaacMcaaaa@42B4@ . Геометрически при малых x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@  график f MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaaaa@38C5@  находится выше биссектриссы первого октанта, а при больших – ниже. Поэтому сразу устанавливаем следующее.

Свойство М-1. В модели (1) имеется единственное положительное и устойчивое равновесие (с).

Из монотонности f MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaaaa@38C5@  получаем: при x 0 <c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgYda8iaadogaaaa@3BB3@  рекурсия (1) порождает возрастающую последовательность { x t } MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadIhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccaGG9baaaa@3C06@ , которая сходится к точке c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaaaa@38C2@ . Аналогично, при c< x 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaiabgYda8iaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaaaa@3BA9@  находим: убывающая рекурсия { x t } MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadIhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccaGG9baaaa@3C06@  стремится к той же точке c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaaaa@38C2@ . Поэтому в такой модели (1) реализуется простая динамика.

Унимодальная модель, в которой правая часть f(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3B1B@  является “одногорбой”. Например, f(x)=4x(1x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaaisdacqGHflY1caWG 4bGaeyyXICTaaiikaiaaigdacqGHsislcaWG4bGaaiykaaaa@466E@  для x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@  из [0,1] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4waiaaicdacaGGSaGaaGymaiaac2faaaa@3BBF@ . Здесь в точке x=1/2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaiabg2da9iaaigdacaGGVaGaaGOmaaaa@3C07@  возникает горб, а другая точка x=3/4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaiabg2da9iaaiodacaGGVaGaaGinaaaa@3C0B@  является неустойчивым равновесием. Такая ситуация свойственна популяциям, склонным к гиперпродукции. После вспышки численности наступает дефицит корма или самоотравления, а затем происходит падение численности. Тогда в зависимости от выбора начального значения x 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaa@39BD@  реализуются разнообразные динамические режимы (периодические, апериодические и даже хаотические). Аналогично, горбатым является и график функции f(x)=23xexp(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaaikdacaaIZaGaeyyX ICTaamiEaiabgwSixlGacwgacaGG4bGaaiiCaiaacIcacqGHsislca WG4bGaaiykaaaa@4949@ .

Теперь дополнительно учтем и ежегодный вылов рыбы ( u t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDamaaBaaaleaacaWG0baabeaaaaa@39F9@  ), тогда прежняя модель (1) модифицируется к виду:

x t+1 =f x t u t . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaWG0bGaey4kaSIaaGymaaqabaGccqGH9aqp caWGMbWaaeWaaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaadshaaeqaaOGaeyOeI0 IaamyDamaaBaaaleaacaWG0baabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiaac6ca aaa@4510@  (2)

Здесь естественно потребовать ограничение на вылов (= допустимый вылов): 0 u t x t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaaGimaiabgsMiJkaadwhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccqGHKjYO caWG4bWaaSbaaSqaaiaadshaaeqaaaaa@4049@  для всех t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiDaaaa@38D3@ .

Для оценки экономической эффективности определим так называемую функцию полезности ( p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaaaa@38CF@ ) каждого вылова. Согласно стандартным экономическим представлениям, считаем: p(0)=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaiaacIcacaaIWaGaaiykaiabg2da9iaaicdaaaa@3CA2@ , p / (0)=1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCamaaCaaaleqajeaqbaGaai4laaaakiaacIcacaaIWaGaaiyk aiabg2da9iaaigdaaaa@3DD7@  и p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaaaa@38CF@  является гладкой, монотонно возрастающей и вогнутой (= выпуклой вверх) функцией. Например, p(u)=u/(1+u) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaiaacIcacaWG1bGaaiykaiabg2da9iaadwhacaGGVaGaaiik aiaaigdacqGHRaWkcaWG1bGaaiykaaaa@41C5@  или p(u)=ln(1+u) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaiaacIcacaWG1bGaaiykaiabg2da9iGacYgacaGGUbGaaiik aiaaigdacqGHRaWkcaWG1bGaaiykaaaa@41FC@ . В простейшем случае p(u)=cu MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaiaacIcacaWG1bGaaiykaiabg2da9iaadogacqGHflY1caWG 1baaaa@4054@ , где c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaaaa@38C2@  – рыночная цена рыбы (полагаем c=1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaiabg2da9iaaigdaaaa@3A83@  ). Рыночную цену иногда называют внешней ценой.

Разумеется, общий доход за все время промысла зависит от начального значения численности популяции ( x 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaa@39BD@ ) и определяется как супремум бесконечного ряда:

B x 0 = t=0 β t p u t sup MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOqamaabmaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOGaayjk aiaawMcaaiabg2da9maaqahabaGaeqOSdi2aaWbaaSqabeaacaWG0b aaaOGaeyyXICTaamiCamaabmaabaGaamyDamaaBaaaleaacaWG0baa beaaaOGaayjkaiaawMcaaaWcbaGaamiDaiabg2da9iaaicdaaeaacq GHEisPa0GaeyyeIuoakiabgkziUkGacohacaGG1bGaaiiCaaaa@5228@  (3)

по всем допустимым { u t } MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadwhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccaGG9baaaa@3C03@ . Здесь через β обозначен так называемый коэффициент дисконтирования (= банковская ставка). При выборе β из диапазона (0,1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaaiikaiaaicdacaGGSaGaaGymaiaacMcaaaa@3B58@  обеспечивается, как правило, сходимость ряда (3).

Теперь следует потребовать более сильное условие невымирания f (0)>1/β MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GabmOzayaafaGaaiikaiaaicdacaGGPaGaeyOpa4JaaGymaiaac+ca cqaHYoGyaaa@3EFB@ . В этом случае при x>0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaiabg6da+iaaicdaaaa@3A99@  гарантируется выполнение u(x)<x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabgYda8iaadIhaaaa@3D2B@ . А при f (0)<1/β MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GabmOzayaafaGaaiikaiaaicdacaGGPaGaeyipaWJaaGymaiaac+ca cqaHYoGyaaa@3EF7@  ситуация не столь однозначная. В ряде случаев при малых x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@  возможно u(x)=x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaadIhaaaa@3D2D@ .

Пусть задано начальное значение x 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaa@39BD@ . Тогда основная проблема долгосрочного промысла – это выбор бесконечного семейства управлений { u t } MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadwhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccaGG9baaaa@3C03@ , когда достигается цель (3). Здесь в духе теории динамического программирования [10] следует построить следующую последовательность “укороченных” сумм (3):

B n x 0 = t=0 n β t p u t . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOqamaaBaaaleaacaWGUbaabeaakmaabmaabaGaamiEamaaBaaa leaacaaIWaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maaqahabaGaeq OSdi2aaWbaaSqabeaacaWG0baaaOGaeyyXICTaamiCamaabmaabaGa amyDamaaBaaaleaacaWG0baabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaWcbaGaam iDaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGUbaaniabggHiLdGccaGGUaaaaa@4EB2@  (4)

И тогда имеет место основное рекурентное соотношение:

B n+1 (x)=max[p(u)+β B n (f(xu)] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOqamaaBaaaleaacaWGUbGaey4kaSIaaGymaaqabaGccaGGOaGa amiEaiaacMcacqGH9aqpciGGTbGaaiyyaiaacIhacaGGBbGaamiCai aacIcacaWG1bGaaiykaiabgUcaRiabek7aIjabgwSixlaadkeadaWg aaWcbaGaamOBaaqabaGccaGGOaGaamOzaiaacIcacaWG4bGaeyOeI0 IaamyDaiaacMcacaGGDbaaaa@532F@  по всем u MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaaaa@38D4@  из [0,x] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4waiaaicdacaGGSaGaamiEaiaac2faaaa@3C01@ .

В работе [11] установлено, что при n MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOBaiabgkziUkabg6HiLcaa@3C2B@ предел такой последовательности существует и является “хорошей” функцией: непрерывно дифференцируема и монотонно возрастает. Данная предельная т.н. функция Беллмана (= суммарный доход) удовлетворяет ключевому соотношению

B x =max p u +βB f xu MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOqamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iGac2ga caGGHbGaaiiEamaadmaabaGaamiCamaabmaabaGaamyDaaGaayjkai aawMcaaiabgUcaRiabek7aIjabgwSixlaadkeadaqadaqaaiaadAga daqadaqaaiaadIhacqGHsislcaWG1baacaGLOaGaayzkaaaacaGLOa GaayzkaaaacaGLBbGaayzxaaaaaa@50DF@  

по всем u MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaaaa@38D4@  из [0,x] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4waiaaicdacaGGSaGaamiEaiaac2faaaa@3C01@ . (5)

Дополнительно отметим: если f(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3B1B@  – вогнута, то и B(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOqaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3AF7@  – вогнута (рис. 1 а). Тогда B / (x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOqamaaCaaajeaqbeqaaiaac+caaaGccaGGOaGaamiEaiaacMca aaa@3C20@  оказывается убывающей функцией (рис. 1 б). В экономике принято трактовать производную от дохода как (внутреннюю) цену рыбы, когда ее численность равна x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@ . Справедливо естественное B / (+0)= MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOqamaaCaaaleqabaqcbaKaai4laaaakiaacIcacqGHRaWkcaaI WaGaaiykaiabg2da9iabg6HiLcaa@3F41@ , т.е. при отсутствии рыбы ее цена равна бесконечности.

 

Рис. 1. Конкретный пример функции Беллмана (а), внутренней цены (б), оптимального вылова (в).

 

Далее, из правой части (5) следует, что оптимальный промысел u MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaaaa@38D4@  в (2) зависит только от x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@  и никак не связан с переменной t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiDaaaa@38D3@ . Это хорошее свойство реализуется только при оптимизации на бесконечный период промысла.

Напротив, если суммируется доход от промысла за конечный промежуток времени, то u MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaaaa@38D4@  может зависеть и от переменной времени. Здесь, разумеется, в последний год следует изымать всю популяцию. Это неэкологично, поэтому рассматривать бесконечный промысел предпочтительнее.

Функцию Беллмана B(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOqaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3AF7@  можно трактовать как своеобразную глобальную функцию полезности, а p(u) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaiaacIcacaWG1bGaaiykaaaa@3B22@  – как локальную функцию полезности. Эти “полезности” взаимосвязаны.

Свойство Э-2. Для оптимального промысла u=u(x)>0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaiabg2da9iaadwhacaGGOaGaamiEaiaacMcacqGH+aGpcaaI Waaaaa@3EEC@  выполняется соотношение:

B (x)= p (u) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GabmOqayaafaGaaiikaiaadIhacaGGPaGaeyypa0JabmiCayaafaGa aiikaiaadwhacaGGPaaaaa@3F5D@  (6)

Иными словами, при оптимальном вылове внутренняя цена должна совпадать со внешней. Далее, имеет место (рис. 1 в) следующее.

Свойство У-3. Оптимальный промысел u(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3B2A@  – неубывающая функция. При малых x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@  оптимальный промысел u MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaaaa@38D4@  равен нулю, а затем монотонно возрастает.

Ниже такое критическое значение численности, при котором начинается реальный промысел, будем обозначать через N MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOtaaaa@38AD@ .

Далее выполняется важное свойство.

Свойство У-4. Функция xu(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaiabgkHiTiaadwhacaGGOaGaamiEaiaacMcaaaa@3D14@  монотонно возрастает.

Иными словами, с ростом численности рыбы в водоеме промысел также возрастает, но медленнее. Несколько неожиданно, что найденные математическим образом свойства промысла оказались экологосберегающими.

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ

Ниже будем опираться на простые геометрические представления с учетом прежних простых требований: f(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3B1B@  – монотонна, строго вогнута и слабо растет на бесконечности. Напомним, ранее такую модель называли монотонной.

Для упрощения изложения введем также вспомогательную функцию

g x =f xu x , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4zamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaadAga daWadaqaaiaadIhacqGHsislcaWG1bWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOa GaayzkaaaacaGLBbGaayzxaaGaaiilaaaa@4549@  (7)

в которой u(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3B2A@  – оптимальный промысел в точке x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@ . Теперь модель (2) равносильна следующей x t+1 =g( x t ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaWG0bGaey4kaSIaaGymaaqabaGccqGH9aqp caWGNbGaaiikaiaadIhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccaGGPaaaaa@411A@ . На основе свойства У-4 находим: g MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4zaaaa@38C6@  – монотонно возрастает, и выполняются прежние свойства g(0)=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4zaiaacIcacaaIWaGaaiykaiabg2da9iaaicdaaaa@3C99@  и g / (0)= f / (0)>1/β MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4zamaaCaaajeaqbeqaaiaac+caaaGccaGGOaGaaGimaiaacMca cqGH9aqpcaWGMbWaaWbaaKqaafqabaGaai4laaaakiaacIcacaaIWa Gaaiykaiabg6da+iaaigdacaGGVaGaeqOSdigaaa@4546@ . Здесь важную роль играют точки пересечения функции g MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4zaaaa@38C6@  с биссектрисой первого ортанта. Такие точки заведомо существуют, поскольку вблизи x=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaiabg2da9iaaicdaaaa@3A97@  график g MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4zaaaa@38C6@  располагается выше, а при больших x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEaaaa@38D7@  – ниже биссектрисы. Каждая возможная точка (с) такого пересечения удовлетворяет соотношению “равновесия” ( π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaeqiWdahaaa@3997@  -равновесие) g(c)=c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4zaiaacIcacaWGJbGaaiykaiabg2da9iaadogaaaa@3CF5@ .

Замечательно, когда траектория стартует из π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaeqiWdahaaa@3997@  -равновесной точки c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaaaa@38C2@ (т.е. x 0 =c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabg2da9iaadogaaaa@3BB5@  ), тогда возникает ситуация “самовоспроизведения”:

x t =c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaWG0baabeaakiabg2da9iaadogaaaa@3BF4@  и u t =u(c) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamyDamaaBaaaleaacaWG0baabeaakiabg2da9iaadwhacaGGOaGa am4yaiaacMcaaaa@3E44@  для всех t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiDaaaa@38D3@ . (8)

Здесь одновременно стабилизируются две последовательности { x t } MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadIhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccaGG9baaaa@3C06@  и { u t } MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadwhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccaGG9baaaa@3C03@ .

Формально таких равновесий может быть много. Ситуацию проясняет [9].

Утверждение М-1. π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaeqiWdahaaa@3997@  -равновесие с единственно.

Удивительно, но координата равновесной точки c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaaaa@38C2@  никак не зависит от вида функции полезности p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaaaa@38CF@ . Теперь совсем легко установить следующее.

Утверждение М-2. В монотонной модели (2)+(3) всякая положительная траектория стремится к π MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaeqiWdahaaa@3997@  -равновесию c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaaaa@38C2@ .

Действительно, в силу монотонности функции g MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4zaaaa@38C6@  при x 0 <c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgYda8iaadogaaaa@3BB3@  последовательность { x t } MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadIhadaWgaaWcbaGaamiDaaqabaGccaGG9baaaa@3C06@  монотонно возрастает и сходится к c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaam4yaaaa@38C2@ . Аналогично при выборе x 0 >c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabg6da+iaadogaaaa@3BB7@  возникает убывающая последовательность, стремящаяся к прежнему равновесию.

Таким образом, с учетом свойства М-1 показано, что оптимальный промысел “не портит” исходную стационарную динамику численности популяции.

Ниже рассмотрим более сложный случай, когда f(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaaa@3B1B@  – унимодальная (= горбатая) функция и достигает своего максимума в точке M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaamytaaaa@38AC@ . Считаем, что в интервале (0,M) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaaiikaiaaicdacaGGSaGaamytaiaacMcaaaa@3B6F@  данная трофическая функция вогнута. Например, f(x)=4x(1x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaaisdacqGHflY1caWG 4bGaeyyXICTaaiikaiaaigdacqGHsislcaWG4bGaaiykaaaa@466E@  или f(x)=23xexp(x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaaikdacaaIZaGaeyyX ICTaamiEaiabgwSixlGacwgacaGG4bGaaiiCaiaacIcacqGHsislca WG4bGaaiykaaaa@4949@ . Если последнюю зависимость [12] использовать в модели (2), то в ней возникают сложные режимы (хаотические и др.) [13]. Тем не менее имеет место следующее.

Утверждение М-3. В унимодальной модели (2)+(3) возникает устойчивый стационарный режим.

В самом деле, пусть задана начальная точка x 0 >0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabg6da+iaaicdaaaa@3B89@ . Обозначим через { u 0 , u 1 , u 2 ...} MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadwhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGSaGaamyDamaa BaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaWG1bWaaSbaaSqaaiaaikdaae qaaOGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaaiyFaaaa@4311@  последовательность оптимальных выловов, соответствующую траектории { x 0 , x 1 , x 2 ...} MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGSaGaamiEamaa BaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaae qaaOGaaiOlaiaac6cacaGGUaGaaiyFaaaa@431A@ . Теперь обсудим возможное расположение точки z= x 0 u 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOEaiabg2da9iaadIhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccqGHsisl caWG1bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa@3E99@  относительно точки M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaamytaaaa@38AC@ . Если M<z MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamytaiabgYda8iaadQhaaaa@3AAF@ , то построим другой допустимый ряд выловов {v, u 1 , u 2 ...} MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba Gaai4EaiaadAhacaGGSaGaamyDamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaa cYcacaWG1bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaaiOlaiaac6cacaGGUa GaaiyFaaaa@4222@ , в котором единственный новый элемент удовлетворяет условию f(z)=f(x 0 v) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaiaacIcacaWG6bGaaiykaiabg2da9iaadAgacaGGOaGaamiE amaaBeaaleaacaaIWaaabeaakiabgkHiTiaadAhacaGGPaaaaa@423D@ . Тогда x 1 =f(x 0 v) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiabg2da9iaadAgacaGGOaGa amiEamaaBeaaleaacaaIWaaabeaakiabgkHiTiaadAhacaGGPaaaaa@40E8@  и, значит, далее реализуется прежняя траектория. Самое главное, обязательно имеет место v> u 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamODaiabg6da+iaadwhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaaaa@3BBD@ , и поэтому доход для новой траектории будет больше. Это противоречит оптимальности прежней траектории. Значит, при t=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiDaiabg2da9iaaicdaaaa@3A93@  и, разумеется, для остальных моментов времени точка ( x t u t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiEamaaBaaaleaacaWG0baabeaakiabgkHiTiaadwhadaWgaaWc baGaamiDaaqabaaaaa@3D12@  ) находится на участке (0,M) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaaiikaiaaicdacaGGSaGaamytaiaacMcaaaa@3B6F@ , на котором функция f MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamOzaaaa@38C5@  вогнута и монотонна. Следовательно, согласно приведенному выше утверждению, должна возникать окончательная стабилизация динамики данной модели.

На рис. 3 приведен сравнительный анализ поведения до и после промысла с в модели со сложной динамикой при функции полезности p(u)=u/(1+u) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2Caerbov2D09 MBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharuavP1wzZbItLDhis9wB H5garqqtubsr4rNCHbGeaGqiFC0df9qqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpe ea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0Firpe peKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaaeaqbaaGcba GaamiCaiaacIcacaWG1bGaaiykaiabg2da9iaadwhacaGGVaGaaiik aiaaigdacqGHRaWkcaWG1bGaaiykaaaa@41C5@ .

 

Рис. 2. Замена малого вылова u большим выловом v. Здесь f (xu) = f (xv).

 

Рис. 3. Хаос в унимодальной модели xt+1 = 4 · xt · (1-xt) (а); стабилизация при добавлении оптимального промысла (б).

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОМЫСЛЕ

Многие “беды” экологических систем происходят от гиперпродукции некоторых популяций. Наличие промысла формально смягчает процессы роста популяции. Оказывается, оптимальный промысел достаточно сильно снижает численность, чтобы полностью “убить” хаос. Для более глубокого понимания данного явления следует провести модельные исследования системного характера. Например, рассмотреть взаимодействие двух популяций со сложным поведением (см. примеры в [14]), которые подвержены промыслу (одновременно или по отдельности). Происходит ли в этих ситуациях стабилизация динамики численности всей системы или только ее отдельных компонент?

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена по теме государственного задания ЮНЦ РАН № 122 011 900 153 9.

×

Авторлар туралы

G. Matishov

Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: matishov_ssc-ras@ssc-ras.ru

Academician of the RAS

Ресей, Rostov-on-Don

V. Il’ichev

Southern Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Email: vitaly369@yandex.ru
Ресей, Rostov-on-Don

Әдебиет тізімі

  1. May R. M. Biological populations obeying equations stable points, stable cycles and chaos // J. Theor. Biology. 1975. V. 51. № 2. P. 511–524.
  2. Фрисман Е. Я., Жданова О. А., Колбина Е. А. Влияние промысла на генетическое разнообразие и характер динамического поведения менделеевской лимитированной популяции // Генетика. 2010. Т. 46. № 2. С. 272–281.
  3. Clark C. W. Bioeconomic modelling and fisheries management. New York: Wiley, 1985. 320 p.
  4. Tyutyunov Y., Arditi R., Buttiker B., Dombrovsky Y., Staub E. Modelling fluctuations and optimal harvesting in perch populations // Ecological modeling. 1993. № 69. P. 19–42.
  5. Матишов Г. Г., Ильичев В. Г. Об оптимальной эксплуатации водных ресурсов. Концепция внутренних цен // ДАН. 2006. Т. 406. № 2. С. 249–251.
  6. Il’ichev V.G., Rokhlin D. B. Internal prices and Optimal Explotation of Natural Resources // Mathematics. 2022. V. 10. Article 1860. P. 1–14. https://doi.org/10.33390/math10111860
  7. Скалецкая Е. И., Фрисман Е. Я., Шапиро А. П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М.: Наука, 1979. 165 с.
  8. Ильичев В. Г., Рохлин Д. Б., Угольницкий Г. А. Об экономических механизмах управления биоресурсами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. № 4. С. 104–110.
  9. Ильичев В. Г. Устойчивость, адаптация и управление в экологических системах. М.: Физматлит, 2009. 192 с.
  10. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит. 1960. 400 c.
  11. Рохлин Д. Б. Производная решения функционального уравнения Беллмана и цена биоресурсов // Сиб. журн. индустр. математики. 2000. Т. 3. № 1 (5). С. 169–181.
  12. Ricker W. E. Stock and recruitment // J. Fish. Res. Board of Canada. 1954. V. 11. № 5. P. 569–623.
  13. Якобсон М. В. О свойствах однопараметрического семейства динамических cистем // УМН. 1976. Т. 3. № 2 (188). С. 239–240.
  14. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
2. Fig. 1. A specific example of the Bellman function (a), internal price (b), optimal catch (c).

Жүктеу (11KB)
3. Fig. 2. Replacing a small catch u with a large catch v. Here f (x − u) = f (x − v).

Жүктеу (7KB)
4. Fig. 3. Chaos in the unimodal model xt+1 = 4 xt (1-xt) (a); stabilization with the addition of optimal fishing (b).

Жүктеу (13KB)

© Russian Academy of Sciences, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».