Том 30, № 2 (2022)

Рассмотрена задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с решением, обладающим последовательностью кратных полюсов целого порядка. Предложен обобщённый метод обратной функции, который сводит вычисление кратного полюса к расчёту простого нуля соответственно выбранной функции. Преимущества такого подхода проиллюстрированы на численных примерах. Предложены сложные тестовые задачи, которые представляют интерес для проверки других численных методов для задач с полюсами.

Рассмотрен классический псевдоспектральный метод коллокации, основанный на разложении решения по базису из полиномов Чебышева. Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и с начальными (и/или граничными) условиями позволяет значительно упростить структуру матриц, приводя её к диагональной форме. Решение системы сводится к умножению матрицы значений полиномов Чебышева на выбранной сетке коллокации на вектор значений функции, описывающей заданную производную в точках коллокации. Следующее за этой операцией умножение полученного вектора на двухдиагональную спектральную «обратную» по отношению к матрице дифференцирования Чебышева приводит к получению всех коэффициентов разложения искомого решения за исключением первого. Этот первый коэффициент определяется на втором этапе исходя из заданного начального (и/или граничного) условия. Новизна подхода заключается в том, чтобы сначала выделить класс (множество) функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению, с помощью устойчивого и простого с вычислительной точки зрения метода интерполяции (коллокации) производной будущего решения. Затем рассчитать коэффициенты (кроме первого) разложения будущего решения по вычисленным коэффициентам разложения производной с помощью матрицы интегрирования. И лишь после этого выделять из этого множества решений те, которые соответствуют заданным начальным условиям.

Проведено исследование модели адиабатических волноводных мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода. В модели явно учтена зависимость от быстропеременной поперечной координаты и от медленно-переменных горизонтальных координат. Сформулированы уравнения для напряженностей полей АВМ в приближениях нулевого и первого порядка малости. Вклады первого порядка малости вносят в выражения электромагнитных полей АВМ деполяризацию и комлекснозначность, т.е. характерные черты вытекающих мод. Предложен устойчивый метод вычисления вертикального распределения электромагнитного поля направляемых мод регулярных многослойных волноводов, в том числе с переменным числом слоев. Описан устойчивый метод решения нелинейного уравнения в частных производных первого порядка (дисперсионного уравнения) для профиля толщины плавнонерегулярного интегрально-оптического волновода в моделях адиабатических волноводных мод нулевого и первого порядков малости. Описаны устойчивые регуляризованные методы вычисления напряженностей полей АВМ в зависимости от вертикальных и горизонтальных координат. В рамках перечисленных матричных моделей используются одинаковые методы и алгоритмы приближенного решения задач, возникающих в этих моделях. Предложена верификация приближенных решений моделей адиабатических волноводных мод первого и нулевого порядков; проведено сравнение их с результатами других авторов, полученных при исследовании более грубых моделей.