Многостадийный псевдоспектральный метод (метод коллокаций) приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Рассмотрен классический псевдоспектральный метод коллокации, основанный на разложении решения по базису из полиномов Чебышева. Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и с начальными (и/или граничными) условиями позволяет значительно упростить структуру матриц, приводя её к диагональной форме. Решение системы сводится к умножению матрицы значений полиномов Чебышева на выбранной сетке коллокации на вектор значений функции, описывающей заданную производную в точках коллокации. Следующее за этой операцией умножение полученного вектора на двухдиагональную спектральную «обратную» по отношению к матрице дифференцирования Чебышева приводит к получению всех коэффициентов разложения искомого решения за исключением первого. Этот первый коэффициент определяется на втором этапе исходя из заданного начального (и/или граничного) условия. Новизна подхода заключается в том, чтобы сначала выделить класс (множество) функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению, с помощью устойчивого и простого с вычислительной точки зрения метода интерполяции (коллокации) производной будущего решения. Затем рассчитать коэффициенты (кроме первого) разложения будущего решения по вычисленным коэффициентам разложения производной с помощью матрицы интегрирования. И лишь после этого выделять из этого множества решений те, которые соответствуют заданным начальным условиям.