Математическое моделирование основных классов стохастических продуктивных систем
- Авторы: Бутов А.А.1, Волков М.А.1, Голованов В.Н.1, Коваленко А.А.1, Костишко Б.М.1, Самойлов Л.М.1
-
Учреждения:
- ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет»
- Выпуск: Том 29, № 4 (2019)
- Страницы: 496-509
- Раздел: Информатика, вычислительная техника и управление
- Статья получена: 01.10.2025
- Статья одобрена: 01.10.2025
- Статья опубликована: 10.10.2025
- URL: https://journals.rcsi.science/2658-4123/article/view/316485
- DOI: https://doi.org/10.15507/2658-4123.029.201904.496-509
- ID: 316485
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Введение. В статье рассматриваются математические модели двух основных классов процессов в стохастических продуктивных системах. Для многостадийной системы определены условия принадлежности классу «точно в срок» или классу с бесконечным носителем функции распределения времени выполнения продуктивных операций.
Материалы и методы. Описания и исследования моделей осуществляются траекторными (мартингальными) методами. Для систем «точно в срок» и многостадийных стохастических продуктивных систем используются термины и методы процессов случайного блуждания в случайной среде и процессов размножения и гибели. Результаты сформулированы в описаниях характеристик интенсивностей компенсаторов точечных считающих процессов.
Результаты исследования. Приведены и доказаны две теоремы, обосновывающие предложенную классификацию математических моделей продуктивных систем. Даны критерии принадлежности стохастической продуктивной системы классу «точно в срок». Доказана теорема о несовместности групп систем «точно в срок» и систем с бесконечным носителем распределения времени выполнения операций.
Обсуждение и заключение. Полученные результаты показывают целесообразность анализа стохастических продуктивных систем мартингальными методами. Описания в терминах интенсивностей компенсаторов продуктивных процессов допускают обобщения.
Полный текст
Введение
В настоящей работе предлагается метод описания стохастических продуктивных систем и соответствующих процессов выполнения операций в достаточно общих случаях. В современном промышленном производстве, как и при высокотехнологичной организации сельскохозяйственного производства, наблюдается определенная общность подходов и методов организации продуктивных процессов, обусловленная возможностями планирования. Методами построения формальных математических моделей обосновывается простая классификация стохастических продуктивных систем и соответствующих процессов выполнения операций в достаточно общих случаях.
В работе решается проблема построения и исследования математической модели стохастической (то есть подверженной случайным возмущениям) продуктивной системы. Важнейшим частным случаем таких объектов является система выполнения операций «точно в срок». Возникший первоначально для задач промышленного производства, этот метод организации жизненного цикла распространился в последнее десятилетие на методы программирования, обучения и тренировок, лечения и многое другое. При этом остаются неразработанными и неисследованными математические модели, отвечающие задачам оптимального управления, планирования оценивания параметров и уровней рисков. В задачах практической реализации таких систем ряд авторов создавал описания, сводящиеся к задачам логистики. Однако случайные возмущения (например, возврат «забракованных» операций разработки конструкторской документации на переработку, изменения в урожайностях или в скорости роста деревьев в лесоводстве, отклонения в интенсивностях выполнения операций и многое другое) авторы до настоящего времени пытались свести к простым аддитивным добавкам, как правило, с гауссовским законом распределения.
Темой исследования является построение в общих траекторных терминах такого математического описания, которое могло бы соответствовать принципу «точно в срок» и отклонениям от него. Также описание должно позволять разброс в интенсивности («скорости») выполнения операций с известными номерами и таким образом использовать метод случайной среды, которая и является набором этих интенсивностей. Описания, следовательно, должны опираться на разработанные авторами траекторные (известные также как мартингальные) методы построения моделей. Наряду с целью формирования модели, в работе необходимо решить следующие принципиальные задачи: определить условия, при которых система может являться «точно в срок» и решить задачу о возможности «совмещения» такого описания с моделью, не имеющей финитного носителя (когда с положительной вероятностью операции могут быть не выполнены за большое время). Эта последняя задача не является такой уж абстрактной, ведь, по существу, это иная формулировка проблемы о совместимости большинства теорий старения с теорией запрограммированной смерти.
Методы при построении и исследовании моделей использовались траекторные (мартингальные) в терминах точечных считающих процессов.
Обзор литературы
Анализу продуктивных систем посвящено большое количество работ. В последние годы возрастает роль моделирования и различных описаний систем, подвергающихся случайным возмущениям, то есть стохастическим системам, которым и посвящена настоящая работа. Необходимо это, прежде всего, для задач управления, прогнозирования и оценивания параметров таких систем.
Прежде всего необходимо отметить, что используемый здесь термин «продуктивная система» не является устоявшимся в русскоязычной научной литературе, посвященной вопросам моделирования. Это объясняется тем, что он восходит к широко используемым в англоязычных источниках двум близким терминам: production system и productive system. Первый из них – production system – используется преимущественно для рассмотрения систем производства (систем мануфактуры), конструирования, технологических процессов, инженерных систем. Следует отметить (в качестве примеров стохастического описания моделей) работы, которые выполнили С. Пань и Ш. Ли [1], а также А. Фазлирад и Т. Фрайхайт [2]. При этом термин production system, как правило, сочетается со словами inventory или manufacturing. Второй англоязычный термин – productive system – имеет более широкое применение. Так, он, включая перечисленные объекты моделирования, используется еще и при анализе вопросов эффективности, сельскохозяйственных систем, в лесоводстве, при анализе критических состояний систем. Ц. Чжэнь [3] и С. Гупта [4] провели исследования, которые стали примерами стохастических описаний соответствующих систем. Стоит заметить, что все сказанное выше так же относится и к популярному современному объекту научных исследований «точно в срок», прообразом которого служит англоязычный термин just in time (just-in-time).
Перед тем как обсудить методы выполнения операций в продуктивных системах, организованных по принципу «точно в срок», укажем, что приведенные здесь (а также иных моделях) случайные возмущения (стохастичность) рассматриваются как простые аддитивные (и, как правило, гауссовские) «добавки» к стандартным детерминистским описаниям. Такого рода описания доминируют, как хорошо известно, в анализе логистических задач (например, в транспортных задачах). Однако возмущения, присущие даже системам производства, не сводятся к логистическим проблемам. Продуктивные системы подвержены ограничениям на интенсивности выполнения операций, случайным явлениям возвращений на переработку и доработку, случайным отказам, стохастическим процедурам восстановления и многому другому. Также оказывается заведомо стохастическим описание прохождения многостадийных фаз жизненного цикла биологических объектов. Еще один подход, реализованный в упомянутых работах, сводится к описанию продуктивной системы как простой марковской цепи, что также далеко не всегда соответствует реальным объектам (и в силу отсутствия марковского свойства, и ввиду непрерывности времени выполнения операций).
Для того чтобы преодолеть указанные трудности моделирования, разрабатывались модели в траекторных терминах (называемых также мартингальными), в терминах точечных или считающих процессов. Необходимо отметить работу, выполненную А. А. Бутовым и А. А. Коваленко [5]. Эта работа построена на принципах, развитых А. А. Бутовым [6]. Упомянутые модели прохождения многостадийного жизненного цикла биологическими объектами разрабатывалось А. А. Бутовым в соавторстве с рядом ученых [7; 8].
Описание и математическое моделирование систем «точно в срок», являющихся важнейшим классом продуктивных систем, восходят к основополагающим (но не «математизированным» и не вероятностным) работам Й. Сугимори и других [9], а также М. Йаявуза и Э. Ачкали [10]. Наряду с инженерными, производственными и технологическими системами, организованными по принципу «точно в срок», в последние годы возникли системы обучения «точно в срок», представленные в работе С. Килли, Э. Моррисона [11], в сфере программирования – в работе Т. Папе, К. Ф. Больца, Р. Хиршфельда [12].
Отметим, что представленные в настоящей работе описания позволяют математически формализовать известную проблему – существует ли в системе биологических объектов программируемое прохождение стадий жизненного цикла в форме программируемого старения и программируемой смерти. Работы на эту тему, как правило, носят описательный характер и плохо поддаются математическому моделированию. Укажем лишь отдельные из них, посвященные рассуждениям о программируемой смерти – Б. Т. Вайнерт и П. С. Тимирас [13], Дж. Миттельдорф [14; 15], М. В. Благосклонный [16], А. Ковальд, Т. Б. Л. Кирквуд [17], Дж. Ван Раамсдонк [18]. При этом существенной особенностью рассматриваемых на основе терминологии процессов выполнения операций в продуктивной системе является многостадийность процессов, модели которой разработаны А. А. Бутовым и соавторами [19; 20]. Настоящая работа исходит из возможности описания многостадийных процессов выполнения операций в терминах случайных блужданий и процессов размножения и гибели, описанных в работах А. А. Бутова [6; 21], Л. С. Т. Хо [22] и П. Янга [23].
Материалы и методы
Рассмотрим модели продуктивных систем следующих двух типов:
(a) апериодического производства за ограниченное время;
(b) апериодического производства за время с неограниченным носителем функции распределения.
При этом как система (a), так и (b) могут допускать (I) циклическое производство, (II) непрерывное производство. Целью данной работы является обоснование выделения двух непересекающихся классов моделей: (a) и (b).
Математическим обоснованием данной классификации служат приведенные ниже теоремы. Представим формальное математическое описание стохастической модели выполнения операций. Работа выполнена в мартингальных терминах, траекторными методами.
Рассмотрим стохастический базис (то есть вероятностное пространство , снабженное неубывающим непрерывным справа потоком σ-алгебр , пополненным по мере P [5; 6; 21; 24]). На определим продуктивный процесс , заключающийся в выполнении конечного положительного и целого числа K операций. Траектории процесса X предполагаются регулярными (то есть непрерывными справа при t ≥ 0 и имеющими предел слева при t > 0). В качестве процесса выполнения рассмотрим невозрастающий процесс случайного блуждания в случайной среде , где неотрицательные случайные функции являются -измеримыми при всех i ≥ 1 и t ≥ 0 [6]. Пусть случайная величина является числом еще не выполненных операций продуктивного процесса . Тогда для процесса случайного блуждания (рассматриваемого в качестве модели выполнения K операций) справедливы соотношения: при t ≥ 0, и при t > 0 (где ). Процесс выполнения может быть представлен в виде:
, (1)
где и неубывающий процесс равен где – индикаторная функция, то есть , . При последовательном выполнении процесс A является точечным считающим процессом и, следовательно, скачкообразным неубывающим субмартингалом со скачками . Следовательно, в разложении Дуба – Мейера для компенсатора Ã [6; 24] справедливо равенство:
, (2)
где интенсивность скачков определяется случайной средой :
. (3)
На базисе для каждого последовательного номера марковский момент является временем начала выполнения i-й операции: и для :
. (4)
Момент завершения всего продуктивного процесса (несоответствующий началу выполнения операции) определяется аналогично:
. (5)
Для момента также имеет место равенство .
Для марковских моментов P – почти наверное (то есть с единичной вероятностью) справедливы неравенства:
. (6)
Если , то процесс выполнения конечен. Тогда – моменты остановки на . В этом случае при всех определена функция распределения и для всех – условные функции распределения . Из (6) следует, что P – почти наверное для всех выполняются равенства:
. (7)
Заметим, что в случае K > 1, не совпадает со случайной функцией , поскольку при .
Определение
Конечный процесс выполнения называется «точно в срок» (или процесс «точно в срок T»), если существует такое число что:
и
. (8)
В модели мы предполагаем, что распределение процесса X определяется случайной средой . Следовательно, случайные функции и при всех и функция распределения абсолютно непрерывны, то есть существуют плотности распределения моментов. Наряду с процессом X в модели рассмотрим вспомогательный процесс одного скачка с . Разложения Дуба – Мейера для N на стохастическом базисе (с ) по теореме Деллашери [24] имеют вид:
,(9)
где
,(10)
а – квадратично интегрируемый мартингал.
Результаты исследования
Предложение
Условие (8) «точно в срок T» для процесса X эквивалентно (11):
при , и (11)
Доказательство
Как следует из (7) и (10), , что и доказывает (8).
Предложение доказано
Обозначим и при .
Модель с финитным носителем процессов выполнения операций в случайной среде
Теорема 1 (критерий «точно в срок»)
Процесс X в случайной среде является «точно в срок T» тогда и только тогда, когда P – почти наверное выполняются условия (12) и (13):
при ,(12)
. (13)
Доказательство
Аналогично рассмотрим для всех номеров вспомогательные процессы с на стохастических базисах с . Разложения Дуба – Мейера процессов N(i) на имеют вид:
,(14)
где при всех :
, а – соответствующие квадратично интегрируемые мартингалы. Отметим, что в случае K>1, , поскольку Поэтому .
Из (1), (2), (3) и (12) получаем, что при всех :
.(15)
Покажем достаточность условий теоремы. Из (6) и (13) следует, что для каждого номера P – почти наверное выполняется соотношение
(16)
Пусть – условное математическое ожидание .
Тогда из (14) и (15) следует, что при и при :
(17)
Решением (17) является случайный процесс:
.(18)
Из чего следует, что P – почти наверное. Из (16) получаем, что для всех P – почти наверное, откуда и получаем, что . Из (6), (12) и (18) также получаем, что при любых . Достаточность доказана. Покажем необходимость условий теоремы. Условие (12) очевидно необходимо (в противном случае из (18) следовало бы, что при каком-то значении ).
Доказательство необходимости (13) проводится от противного. Определим для каждого номера и для каждого числа множество . Заметим, что . Если (13) не выполнено, то существуют такой номер и конечное число n, что .
Рассмотрим процесс с , а также .
Из (18) получаем, что , что противоречит (8), поскольку на множестве значения и совпадают. Теорема доказана.
Несовместность моделей
Рассмотрим семейство моделей с процессами выполнения операций «точно в срок T». Пусть время является строго положительной -измеримой случайной величиной. Возникает вопрос, существует ли такое распределение моментов времени T, с некоторой плотностью , , что результирующая модель соответствует процессу с плотностью вероятности моментов завершения выполнения операций, обладающей бесконечным носителем (а не финитным, как в случае с «точно в срок»)? Например, могут ли моменты смерти в гипотезе программируемой смерти быть так распределены, чтобы результирующая кривая дожития соответствовала схеме Гомпертца или ее аналогам? В рассмотрении мы предполагаем, что определяемая в (10) функция отвечает «точно в срок T». Не ограничивая общности мы предполагаем, что переходная функция – плотность вероятности – является гладкой функцией. Заметим, что результирующему процессу соответствуют момент завершения аналогично в схеме (4) – (5). Для него определим процесс одного скачка с . Разложения Дуба – Мейера для на стохастическом базисе (с ) аналогично (9) – (10):
,
,
а – квадратично интегрируемый мартингал на . Таким образом, задача сводится к вопросу о существовании такой, что конечная функция интегрируема на любом конечном интервале.
Теорема 2 (о несовместности моделей)
Не существует гладкой функции плотности с финитным носителем такой, чтобы функция была интегрируема на любом конечном интервале с .
Доказательство
Покажем справедливость утверждения от противного. Пусть при любом значении s, s > 0 момента модель отвечает условию (8) «точно в срок s». Следовательно, выполняются соотношения (11)
. (19)
Из того, что функция плотности распределения ρ(s) гладкая, следует, что существуют числа r и u такие, что 0 ≤ r < u < ∞ и для некоторого ɛ > 0 выполняется ρ(s) ≥ ɛ при всех .
Тогда:
.(20)
Из (20) следует, что при любом u > 0,
.
Меняем порядок интегрирования и получаем из (19) неравенство:
,
что противоречит предположению об интегрируемости ht на [0, u].
Теорема доказана
Обсуждение и заключение
В работе дано общее определение систем «точно в срок» общего вида. В Предложении и Теореме 1 сформулированы условия принадлежности продуктивных систем классу «точно в срок». Как показано в Теореме 2, модели таких систем оказываются в определенном смысле несовместными с моделями систем с бесконечными носителями распределения моментов завершения процессов выполнения операций. В частности, модели для процессов с заведомо сезонным режимом выполнения (например, в зерноводстве) несовместимы с моделями с потенциально сколько угодно долго живущими объектами (например, в лесоводстве). Заметим, что также несовместны модели программируемого старения в геронтологии с моделями износа (например, Гомпертца – Мейкхама).
Предлагаемый метод математического описания и исследования достаточно легко может быть распространен на общий случай процессов случайного блуждания в случайной среде (в том числе для процессов размножения и гибели).
В ряде случаев также целесообразно рассматривать как процесс размножения и гибели в детерминированной среде [21–23]. Для процесса выполнения значения при t ≥ 0 и при t > 0. Тогда, вместо (1) имеем:
,(21)
где и неубывающие процессы и равны и . Компенсаторы субмартингалов A и B, аналогично (2), представим как:
, .(22)
Интенсивности скачков и для процессов размножения и гибели в общем детерминированном случае определяются равенствами (27):
, (23)
. (24)
Тогда выполнение (8) в требовании «точно в срок T» определяется решением уравнения (29) для математического ожидания :
(25)
При этом, как следует из Предложения и Теоремы 1, даже в скалярном случае функция (а также в отдельных случаях ) не интегрируема. Для (21), (22), (23) и (24), как и для уравнения (25), естественно, актуальны многомерные обобщения, что представимо в форме линейного операторного уравнения (см. [25]). Определение условий существования и единственности неотрицательного решения линейного интегрального уравнения в настоящее время остается актуальной задачей, поскольку представления условий в терминах собственных значений операторов в соответствующих Банаховых пространствах [25] даже в простых (в том числе скалярных) случаях характеризуют траекторное поведение функций и опосредованно.
Полезными и интересными представляются дальнейшие исследования и для управляемых продуктивных систем, в том числе для управляемых процессов случайного блуждания.
Об авторах
Александр Александрович Бутов
ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет»
Email: butov.a.a@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8322-9892
ResearcherId: E-4654-2014
заведующий кафедрой прикладной математики, доктор физико-математических наук, профессор
Россия, 432017, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, д. 42Максим Анатольевич Волков
ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет»
Автор, ответственный за переписку.
Email: volkovmax1977@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5780-5155
ResearcherId: A-9869-2019
декан факультета математики, информационных и авиационных технологий, кандидат физико-математических наук, доцент
Россия, 432017, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, д. 42Виктор Николаевич Голованов
ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет»
Email: golovanov_vn@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5023-4727
проректор по научной работе, физико-математических наук, профессор
Россия, 432017, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, д. 42Анатолий Александрович Коваленко
ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет»
Email: anako09@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3820-9785
ResearcherId: N-5877-2019
аспирант кафедры прикладной математики
Россия, 432017, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого,д. 42Борис Михайлович Костишко
ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет»
Email: kost@ulsu.ru
ORCID iD: 0000-0003-0041-2753
ResearcherId: J-8125-2014
ректор, доктор физико-математических наук, профессор
Россия, 432017, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, д. 42Леонид Михайлович Самойлов
ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет»
Email: samoilov_l@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0001-8464-4628
ResearcherId: N-6040-2019
профессор кафедры прикладной математики, доктор физико-математических наук, доцент
Россия, 432017, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, д. 42Список литературы
- Pan X., Li Sh. Optimal Control of a Stochastic Production–Inventory System under Deteriorating Items and Environmental Constraints // International Journal of Production Research. 2015. Vol. 53, Issue 2. Pp. 607–628. DOI: https://doi.org/10.1080/00207543.2014.961201
- Fazlirad A., Freiheit T. Application of Model Predictive Control to Control Transient Behavior in Stochastic Manufacturing System Models // Journal of Manufacturing Science and Engineering. 2016.Vol. 138, Issue 8. Article 081007. DOI: https://doi.org/10.1115/1.4031497
- Stochastic Frontier Analysis of Productive Efficiency in China's Forestry Industry / J. Chen [et al.] //Journal of Forest Economics. 2017. Vol. 28, Issue 1. Pp. 87–95. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfe.2017.05.005
- Gupta S. Stochastic Modelling and Availability Analysis of a Critical Engineering System // International Journal of Quality & Reliability Management. 2019. Vol. 36, Issue 5. Pp. 782–796. DOI: https://doi.org/10.1108/IJQRM-07-2018-0167
- Butov A. A., Kovalenko A. A. Stochastic Models of Simple Controlled Systems Just-in-Time //Journal of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2018. Vol. 22,no. 3. Pp. 518–531. DOI: http://doi.org/10.14498/vsgtu1633
- Butov A. A. Random Walks in Random Environments of a General Type // Stochastics and Stochastics Reports. 1994. Vol. 48, Issue 3–4. Pp. 145–160. DOI: https://doi.org/10.1080/17442509408833904
- Бутов А. А., Шабалин А. С., Коваленко А. А. Математическая модель многостадийного старения адаптивных систем // Фундаментальные исследования. 2015. № 9. С. 219–222. URL: http://www.fundamental-research.ru/pdf/2015/9-2/39077.pdf (дата обращения: 06.11.2019).
- Бутов А. А., Шабалин А. С., Чибрикова Т. С. Математическая модель многостадийного старения с восстановлением // Ученые записки УлГУ. Сер. Математика и информационные технологии. УлГУ. Электрон. журн. 2018. № 1. C. 34–37. URL: https://www.ulsu.ru/media/uploads/anako09%40mail.ru/2018/06/13/ButovAA_ShabalinAS_ChibrikovaTS.pdf (дата обращения:06.11.2019).
- Sugimori Y., Kusunoki K., Cho F., Uchikawa S. Toyota Production System and Kanban System Materialization of Just-in-Time and Respect-for-Human System // International Journal of Production Research. 1977. Vol. 15, Issue 6. Pp. 553–564. DOI: https://doi.org/10.1080/00207547708943149
- Yavuz M., Akcali E. Production Smoothing in Just-in-Time Manufacturing Systems: A Review of the Models and Solution Approaches // International Journal of Production Research. 2007. Vol. 45,Issue 16. Pp. 3579–3597. DOI: https://doi.org/10.1080/00207540701223410
- Killi S., Morrison A. Just-in-time Teaching, Just-in-Need Learning: Designing towards Optimized Pedagogical Outcomes // Universal Journal of Educational Research. 2015. Vol. 3, Issue 10. Pp. 742–750.DOI: https://doi.org/10.13189/ujer.2015.031013
- Pape T., Bolz C. F., Hirschfeld R. Adaptive Just-in-Time Value Class Optimization for Lowering Memory Consumption and Improving Execution Time Performance // Science of Computer Programming.2017. Vol. 140. Pp. 17–29. DOI: https://doi.org/10.1016/j.scico.2016.08.003
- Weinert B. T., Timiras P. S. Invited Review: Theories of Aging // Journal of Applied Physiology.2003. Vol. 95, Issue 4. Pp. 1706–1716. DOI: https://doi.org/10.1152/japplphysiol.00288.2003
- Mitteldorf J. Programmed and Non-Programmed Theories of Aging // Russian Journal of General Chemistry. 2010. Vol. 80, no. 7. Pp. 1465–1475. DOI: https://doi.org/10.1134/S107036321007042X
- Mitteldorf J. Can Aging Be Programmed? // Biochemistry (Moscow). 2018. Vol. 83, no. 12.Pp. 1524–1533. DOI: https://doi.org/10.1134/S0006297918120106
- Blagosklonny M. V. Aging Is not Programmed Genetic Pseudo-Program Is a Shadow of Developmental Growth // Cell Cycle. 2013. Vol. 12, Issue 24. Pp. 3736–3742. DOI: https://doi.org/10.4161/cc.27188
- Kowald A., Kirkwood T. B. L. Can Aging Be Programmed? A Critical Literature Review // Aging Cell. 2016. Vol. 15, Issue 6. Pp. 986–998. DOI: https://doi.org/10.1111/acel.12510
- Van Raamsdonk J. M. Mechanisms Underlying Longevity: A Genetic Switch Model of Aging //Experimental Gerontology. 2018. Vol. 107. Pp. 136–139. DOI: https://doi.org/10.1016/j.exger.2017.08.005
- Butov A. A., Shabalin A. S. Stochastic Simulation Model for Matching the Ages of Laboratory Animals (Mammals) and Humans // Advances in Gerontology. 2016. Vol. 6, Issue 2. Pp. 88–90. DOI:https://doi.org/10.1134/S2079057016020028
- Бутов А. А., Коваленко А. А., Шабалин А. С. Математическая модель изменений в компенсации износа при старении // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований.2018. № 4. C. 14–17. URL: https://applied-research.ru/pdf/2018/4/12175.pdf (дата обращения: 06.11.2019)
- Butov A. A. On the Problem of Optimal Instant Observations of the Linear Birth and Death Process //Statistics and Probability Letters. 2015. Vol. 101. Pp. 49–53. DOI: https://doi.org/10.1016/j.spl.2015.02.021
- Birth/Birth-Death Processes and Their Computable Transition Probabilities with Biological Applications / L. S. T. Ho [et al.] // Journal of Mathematical Biology. 2018. Vol. 76, Issue 4. Pp. 911–944.DOI: https://doi.org/10.1007/s00285-017-1160-3
- A Birth and Death Process Model with Blocking Growth and Its Numerical Simulation Research /P. Yang [et al.] // Advances in Intelligent Systems Research (AISR). Proceedings of 3rd International Conference on Modelling, Simulation and Applied Mathematics (MSAM 2018). 2018. Vol. 160. Pp. 16–19.DOI: https://doi.org/10.2991/msam-18.2018.4
- Dellacherie C. Capacites et Processus Stochastiques. Berlin, Heidelberg: Springer, 1972. 155 p.DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-59107-9
- Jang R.-J., Victory Jr H. D. On Nonnegative Solvability of Linear Integral Equations // Linear Algebra and its Applications. 1992. Vol. 165. Pp. 197–228. DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(92)90238-6
Дополнительные файлы
