Mathematical Modeling of Main Classes of Stochastic Productive Systems

Texto integral

Введение

В настоящей работе предлагается метод описания стохастических продуктивных систем и соответствующих процессов выполнения операций в достаточно общих случаях. В современном промышленном производстве, как и при высокотехнологичной организации сельскохозяйственного производства, наблюдается определенная общность подходов и методов организации продуктивных процессов, обусловленная возможностями планирования. Методами построения формальных математических моделей обосновывается простая классификация стохастических продуктивных систем и соответствующих процессов выполнения операций в достаточно общих случаях.

В работе решается проблема построения и исследования математической модели стохастической (то есть подверженной случайным возмущениям) продуктивной системы. Важнейшим частным случаем таких объектов является система выполнения операций «точно в срок». Возникший первоначально для задач промышленного производства, этот метод организации жизненного цикла распространился в последнее десятилетие на методы программирования, обучения и тренировок, лечения и многое другое. При этом остаются неразработанными и неисследованными математические модели, отвечающие задачам оптимального управления, планирования оценивания параметров и уровней рисков. В задачах практической реализации таких систем ряд авторов создавал описания, сводящиеся к задачам логистики. Однако случайные возмущения (например, возврат «забракованных» операций разработки конструкторской документации на переработку, изменения в урожайностях или в скорости роста деревьев в лесоводстве, отклонения в интенсивностях выполнения операций и многое другое) авторы до настоящего времени пытались свести к простым аддитивным добавкам, как правило, с гауссовским законом распределения.

Темой исследования является построение в общих траекторных терминах такого математического описания, которое могло бы соответствовать принципу «точно в срок» и отклонениям от него. Также описание должно позволять разброс в интенсивности («скорости») выполнения операций с известными номерами и таким образом использовать метод случайной среды, которая и является набором этих интенсивностей. Описания, следовательно, должны опираться на разработанные авторами траекторные (известные также как мартингальные) методы построения моделей. Наряду с целью формирования модели, в работе необходимо решить следующие принципиальные задачи: определить условия, при которых система может являться «точно в срок» и решить задачу о возможности «совмещения» такого описания с моделью, не имеющей финитного носителя (когда с положительной вероятностью операции могут быть не выполнены за большое время). Эта последняя задача не является такой уж абстрактной, ведь, по существу, это иная формулировка проблемы о совместимости большинства теорий старения с теорией запрограммированной смерти.

Методы при построении и исследовании моделей использовались траекторные (мартингальные) в терминах точечных считающих процессов.

Обзор литературы

Анализу продуктивных систем посвящено большое количество работ. В последние годы возрастает роль моделирования и различных описаний систем, подвергающихся случайным возмущениям, то есть стохастическим системам, которым и посвящена настоящая работа. Необходимо это, прежде всего, для задач управления, прогнозирования и оценивания параметров таких систем.

Прежде всего необходимо отметить, что используемый здесь термин «продуктивная система» не является устоявшимся в русскоязычной научной литературе, посвященной вопросам моделирования. Это объясняется тем, что он восходит к широко используемым в англоязычных источниках двум близким терминам: production system и productive system. Первый из них – production system – используется преимущественно для рассмотрения систем производства (систем мануфактуры), конструирования, технологических процессов, инженерных систем. Следует отметить (в качестве примеров стохастического описания моделей) работы, которые выполнили С. Пань и Ш. Ли [1], а также А. Фазлирад и Т. Фрайхайт [2]. При этом термин production system, как правило, сочетается со словами inventory или manufacturing. Второй англоязычный термин – productive system – имеет более широкое применение. Так, он, включая перечисленные объекты моделирования, используется еще и при анализе вопросов эффективности, сельскохозяйственных систем, в лесоводстве, при анализе критических состояний систем. Ц. Чжэнь [3] и С. Гупта [4] провели исследования, которые стали примерами стохастических описаний соответствующих систем. Стоит заметить, что все сказанное выше так же относится и к популярному современному объекту научных исследований «точно в срок», прообразом которого служит англоязычный термин just in time (just-in-time).

Перед тем как обсудить методы выполнения операций в продуктивных системах, организованных по принципу «точно в срок», укажем, что приведенные здесь (а также иных моделях) случайные возмущения (стохастичность) рассматриваются как простые аддитивные (и, как правило, гауссовские) «добавки» к стандартным детерминистским описаниям. Такого рода описания доминируют, как хорошо известно, в анализе логистических задач (например, в транспортных задачах). Однако возмущения, присущие даже системам производства, не сводятся к логистическим проблемам. Продуктивные системы подвержены ограничениям на интенсивности выполнения операций, случайным явлениям возвращений на переработку и доработку, случайным отказам, стохастическим процедурам восстановления и многому другому. Также оказывается заведомо стохастическим описание прохождения многостадийных фаз жизненного цикла биологических объектов. Еще один подход, реализованный в упомянутых работах, сводится к описанию продуктивной системы как простой марковской цепи, что также далеко не всегда соответствует реальным объектам (и в силу отсутствия марковского свойства, и ввиду непрерывности времени выполнения операций).

Для того чтобы преодолеть указанные трудности моделирования, разрабатывались модели в траекторных терминах (называемых также мартингальными), в терминах точечных или считающих процессов. Необходимо отметить работу, выполненную А. А. Бутовым и А. А. Коваленко [5]. Эта работа построена на принципах, развитых А. А. Бутовым [6]. Упомянутые модели прохождения многостадийного жизненного цикла биологическими объектами разрабатывалось А. А. Бутовым в соавторстве с рядом ученых [7; 8].

Описание и математическое моделирование систем «точно в срок», являющихся важнейшим классом продуктивных систем, восходят к основополагающим (но не «математизированным» и не вероятностным) работам Й. Сугимори и других [9], а также М. Йаявуза и Э. Ачкали [10]. Наряду с инженерными, производственными и технологическими системами, организованными по принципу «точно в срок», в последние годы возникли системы обучения «точно в срок», представленные в работе С. Килли, Э. Моррисона [11], в сфере программирования – в работе Т. Папе, К. Ф. Больца, Р. Хиршфельда [12].

Отметим, что представленные в настоящей работе описания позволяют математически формализовать известную проблему – существует ли в системе биологических объектов программируемое прохождение стадий жизненного цикла в форме программируемого старения и программируемой смерти. Работы на эту тему, как правило, носят описательный характер и плохо поддаются математическому моделированию. Укажем лишь отдельные из них, посвященные рассуждениям о программируемой смерти – Б. Т. Вайнерт и П. С. Тимирас [13], Дж. Миттельдорф [14; 15], М. В. Благосклонный [16], А. Ковальд, Т. Б. Л. Кирквуд [17], Дж. Ван Раамсдонк [18]. При этом существенной особенностью рассматриваемых на основе терминологии процессов выполнения операций в продуктивной системе является многостадийность процессов, модели которой разработаны А. А. Бутовым и соавторами [19; 20]. Настоящая работа исходит из возможности описания многостадийных процессов выполнения операций в терминах случайных блужданий и процессов размножения и гибели, описанных в работах А. А. Бутова [6; 21], Л. С. Т. Хо [22] и П. Янга [23].

Материалы и методы

Рассмотрим модели продуктивных систем следующих двух типов:

(a) апериодического производства за ограниченное время;

(b) апериодического производства за время с неограниченным носителем функции распределения.

При этом как система (a), так и (b) могут допускать (I) циклическое производство, (II) непрерывное производство. Целью данной работы является обоснование выделения двух непересекающихся классов моделей: (a) и (b).

Математическим обоснованием данной классификации служат приведенные ниже теоремы. Представим формальное математическое описание стохастической модели выполнения операций. Работа выполнена в мартингальных терминах, траекторными методами.

Рассмотрим стохастический базис $B=(\Omega ,F,F={(F_t)}_{t\ge 0},P)$  (то есть вероятностное пространство $\left(\Omega ,F,P\right)$  , снабженное неубывающим непрерывным справа потоком σ-алгебр $F={(F_t)}_{t\ge 0}$ , пополненным по мере P [5; 6; 21; 24]). На $B$ определим продуктивный процесс $X={(X_t)}_{t\ge 0}$ , заключающийся в выполнении конечного положительного и целого числа K операций. Траектории процесса X предполагаются регулярными (то есть непрерывными справа при t ≥ 0 и имеющими предел слева при t > 0). В качестве процесса выполнения рассмотрим невозрастающий процесс случайного блуждания в случайной среде $Е=\left\{{\left({\lambda }_t\left(1\right)\right)}_{t\ge 0},\dots ,{\left({\lambda }_t(K-1)\right)}_{t\ge 0}\right\}$  , где неотрицательные случайные функции ${\lambda }_t(i)$  являются $F_0$ -измеримыми при всех i ≥ 1 и t ≥ 0 [6]. Пусть случайная величина $X_t=X_t(\omega ),\omega \in \Omega ,$  является числом еще не выполненных операций продуктивного процесса $\forall t\ge 0$ . Тогда для процесса случайного блуждания (рассматриваемого в качестве модели выполнения K операций) справедливы соотношения: $X_t\in \{\mathrm{0,1,}\dots ,K\}$  при t ≥ 0, $X_0=K\in \{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \}$  и $\Delta X_t=X_t-X_{t-}\in {\displaystyle \{}{\displaystyle -}{\displaystyle \mathrm{1,0}}{\displaystyle \}}$   при t > 0 (где $X_{t-}=\underset{s\to t-0}{\lim }{X}_s$ ). Процесс выполнения может быть представлен в виде:

$X_t=K-A_t$ ,                (1)

где $A_0=0$  и неубывающий процесс $A={(A_t)}_{t\ge 0}$  равен $A_t={\displaystyle \sum _{0<s\le t}I\{\Delta X_s=-1\},}$   где $I\{\cdot \}$  – индикаторная функция, то есть $I\left\{true\right\}=1$ ,$I\left\{false\right\}=0$ . При последовательном выполнении процесс A является точечным считающим процессом и, следовательно, скачкообразным неубывающим субмартингалом со скачками $\Delta A_t\in \{\mathrm{0,}I(1\le X_{t-})\}$ . Следовательно, в разложении Дуба – Мейера для компенсатора Ã [6; 24] справедливо равенство:

${\tilde{A}}_t={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{a}_s·I\{1\le X_s\}ds}$ ,       (2)

где $a_t\ge 0$  интенсивность скачков  определяется случайной средой $E$ :

$a_t={\displaystyle \sum _{i=1}^K{\lambda }_t(i)\cdot I\{X_t\text{}=i\}}$ .     (3)

На базисе $B$  для каждого последовательного номера $i\in \{K,K-\mathrm{1,}\dots ,1\}$  марковский момент $\tau (i)$  является временем начала выполнения i-й операции: $\tau (K)=0$   и  $i\in \{K-\mathrm{1,}\dots ,1\}$ для :

$\tau (i)=\inf \{t>\tau (i+1):X_t=i\}$ .   (4)

Момент завершения всего продуктивного процесса $\tau (0)$  (несоответствующий началу выполнения операции) определяется аналогично:

$\tau (0)=\inf \{t>\tau (1):X_t=0\}$ .     (5)

Для момента $\tau (0)$  также имеет место равенство $\tau (0)=\inf \{t>0:X_t=0\}$ .
Для марковских моментов $\tau (i)$  P – почти наверное (то есть с единичной вероятностью) справедливы неравенства:

$\tau (K)<\tau (K-1)<\cdots <\tau (1)<\tau (0)$ . (6)

Если $P\{\tau (0)<\infty \}=1$ , то процесс выполнения конечен. Тогда $\tau (i)$  – моменты остановки на $B$  . В этом случае при всех $x\in (-\infty ,\infty )$  определена функция распределения $F_{\tau (0)}(x)=P\{\tau (0)\le x\}$  и для всех $i\in \{K,\dots ,1\}$  – условные функции распределения $F_{\tau (i-1)}^{(i)}(x)=P\left\{\tau (i-1)\le x|F_{\tau (i)}\right\}$ . Из (6) следует, что P – почти наверное для всех $i\in \{K,\dots ,1\}$  выполняются равенства:

$F_{\tau (0)}(0)=F_{\tau (i-1)}^{(i)}(\tau (i))=0$ .   (7)

Заметим, что в случае K > 1, $F_{\tau (0)}(x)$  не совпадает со случайной функцией $F_{\tau (0)}^{(1)}(x)$ , поскольку$F_{\tau (0)}^{(1)}(x)=0$   при $x\le \tau (1)$ .

Определение

Конечный процесс выполнения $X={(X_t)}_{t\ge 0}$  называется «точно в срок» (или процесс «точно в срок T»), если существует такое число $T\in (\mathrm{0,}\infty ),$  что:

$P\{\tau (0)\le T\}=1$  и $P\{\tau (0)>T-\epsilon \}>0$ 

$\forall \epsilon >0$ .                       (8)

В модели мы предполагаем, что распределение процесса X определяется случайной средой $E$ . Следовательно, случайные функции и $F_{\tau (i-1)}^{(i)}(x)$  при всех $i\in \{K,\dots ,1\}$ и функция распределения $F_{\tau (0)}(x)$  абсолютно непрерывны, то есть существуют плотности распределения моментов. Наряду с процессом X в модели рассмотрим вспомогательный процесс одного скачка $N={(N_t)}_{t\ge 0}$  с $N_t=I\{X_t\ge 1\}=$$I\{t<\tau (0)\}$  . Разложения Дуба – Мейера для N на стохастическом базисе $B^N=(\Omega ,F,F^N={(F_t^N)}_{t\ge 0},P)$ (с $F_t^N=\sigma (N_s;s\le t)$ ) по теореме Деллашери [24] имеют вид:

$N_t=1-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{N}_s\cdot \text{}{\mu }_{s}ds+m_t^N}$ ,(9)

где

${\mu }_t=\raisebox{1ex}{$d{F}_{\tau (0)}(t)/dt$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(1-F_{\tau (0)}(t))$}\right.$ ,(10)

а ${(m_t^N)}_{t\ge 0}$  – квадратично интегрируемый мартингал.

Результаты исследования

Предложение

Условие (8) «точно в срок T» для процесса X эквивалентно (11):

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_{s}ds<\infty }$ при  $t<T$ , и ${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\mu }_{s}ds=\infty }.$(11)

Доказательство

Как следует из (7) и (10),${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_{s}ds=\log \left(1-F_{\tau (0)}(t)\right)}$ , что и доказывает (8).

Предложение доказано

Обозначим ${\phi }_t(i)={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\lambda }_s(i)ds}$ и$\Phi (t)=\underset{1\le i\le K}{\min }\left\{{\phi }_t(i)\right\}$ при $\Phi (t)=\underset{1\le i\le K}{\min }\left\{{\phi }_t(i)\right\}$ .

Модель с финитным носителем процессов выполнения операций в случайной среде

Теорема 1 (критерий «точно в срок»)

Процесс X в случайной среде $E$  является «точно в срок T» тогда и только тогда, когда P – почти наверное выполняются условия (12) и (13):

$\Phi (t)<\infty$ при $t<T$ ,(12)

$\Phi (T)=\infty$ .  (13)

Доказательство

Аналогично $N={(N_t)}_{t\ge 0}$ рассмотрим для всех номеров $i\in \{K,\dots ,1\}$ вспомогательные процессы $N\left(i\right)={\left(N_t\right(i\left)\right)}_{t\ge 0}$ с $N_t(i)=I\{X_t\ge i\}=I\{t<\tau (i-1)\}$ на стохастических базисах ${\overline{B}}^{\left(i\right)}=(\Omega ,F,{\overline{F}}^{\left(i\right)}={\left({\overline{F}}_t^{\left(i\right)}\right)}_{t\ge 0},P)$  с ${\overline{F}}_t^{\left(i\right)}=\sigma \left\{\tau \left(i\right),\left(N_s\left(i\right);s\le t\right)\right\}$ . Разложения Дуба – Мейера процессов N(i) на ${\overline{B}}^{(i)}$ имеют вид:

$N_t\left(i\right)=1-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{N}_s\left(i\right)\cdot {\overline{\mu }}_s\left(i\right)ds+m_t^{N\left(i\right)}}$ ,(14)

где при всех $i\in \{K,\dots ,1\}$  :

${\overline{\mu }}_t(i)=\raisebox{1ex}{$d{F}_{\tau (i-1)}^{(i)}(t)/dt$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(1-F_{\tau (i-1)}^{(i)}(t))$}\right.$ , а  ${(m_t^{N(i)})}_{t\ge 0}$ – соответствующие квадратично интегрируемые мартингалы. Отметим, что в случае K>1,$B^N\ne {\overline{B}}^{\left(1\right)}$ , поскольку $F_t^N\ne {\overline{F}}_t^{\left(1\right)}.$  Поэтому ${\mu }_t\ne {\overline{\mu }}_t\left(1\right)$ .
Из (1), (2), (3) и (12) получаем, что при всех $i\in \{K,\dots ,1\}$ :

${\overline{\mu }}_t\left(i\right)={\lambda }_t\left(i\right)\cdot I\{X_t=i\}$ .(15)

Покажем достаточность условий теоремы. Из (6) и (13) следует, что для каждого номера $i\in \{K,\dots ,1\}$   P – почти наверное выполняется соотношение

$\underset{t\to T}{\lim }\left\{{\phi }_t(i)-{\phi }_{\tau (i)}(i)\right\}=\infty .$ (16)

Пусть ${\nu }_t(i)={\rm E}\left\{N_t(i)|F_{\tau (i)}\right\}$  – условное математическое ожидание $N_t(i)$  .
Тогда из (14) и (15) следует, что при $t\le \tau (i)$ ${\nu }_t(i)=1$  и при $t\in (\tau (i),T)$ :

${\nu }_t(i)=1-{\displaystyle \underset{\tau (i)}{\overset{t}{\int }}{\nu }_s(i)\cdot \text{}{\lambda }_s(i)ds}$(17)

Решением (17) является случайный процесс:

${\nu }_t(i)=I\{t>\tau (i)\}\cdot \exp \left\{-({\phi }_t(i)-{\phi }_{\tau (i)}(i))\right\}$ .(18)

Из чего следует, что ${\nu }_T(i)=\underset{t\to T}{\lim }\exp \left\{-({\phi }_t(i)-{\phi }_{\tau (i)}(i))\right\}$  P – почти наверное. Из (16) получаем, что для всех $i\in \{K,\dots ,1\}$ ${\nu }_T(i)=0$ P – почти наверное, откуда и получаем, что $P\{X_T\ge 1\}=P\{N_T\ge 1\}=N_T={\rm E}\left\{N_T(1)\right\}=0$ . Из (6), (12) и (18) также получаем, что $N_t>0$  при любых $t<T$ . Достаточность доказана. Покажем необходимость условий теоремы. Условие (12) очевидно необходимо (в противном случае из (18) следовало бы, что $P\{X_u=0\}=I\left\{true\right\}=1$  при каком-то значении $u<T$  ).
Доказательство необходимости (13) проводится от противного. Определим для каждого номера $i\in \{K,\dots ,1\}$  и для каждого числа $n\ge 1$ ${\Gamma }^n\left(i\right)=\left\{\omega \in \Omega :{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{\lambda }_s\left(i\right)ds}\le n\right\}$  множество . Заметим, что ${\Gamma }^n(i)\in F_0$ . Если (13) не выполнено, то существуют такой номер $i\in \{K,\dots ,1\}$  и конечное число n, что $P\{{\Gamma }^n(i)\}>0$ .
Рассмотрим процесс $\overline{X}={\left({\overline{X}}_t\right)}_{t\ge 0}$ с ${\overline{X}}_t=X_t\cdot I\left\{{\Gamma }^n\right(i\left)\right\}$ , а также $x_t={\rm E}\left\{X_t|F_{\tau \left(i\right)}\right\}$ .
Из (18) получаем, что $x_T\left(i\right)=i\cdot I\left\{{\Gamma }^n\right(i\left)\right\}\cdot \underset{t\to T}{\lim }\exp \left\{-\left({\phi }_t\right(i)-{\phi }_{\tau \left(i\right)}(i\left)\right)\right\}\ge I\left\{{\Gamma }^n\right(i\left)\right\}\cdot \exp \left\{-n\right\}>0$ , что противоречит (8), поскольку на множестве${\Gamma }^n(i)$   значения $X_T$  и ${\overline{X}}_T$  совпадают. Теорема доказана.

Несовместность моделей

Рассмотрим семейство моделей с процессами выполнения операций  $X(T)={(X_t(T))}_{t\ge 0}$ «точно в срок T». Пусть время $T=T(\omega ),\omega \in \Omega ,$  является строго положительной $F_0$  -измеримой случайной величиной. Возникает вопрос, существует ли такое распределение моментов времени T, с некоторой плотностью $\rho (t)={\rho }_T(t)$  , $t\ge 0$ , что результирующая модель соответствует процессу с плотностью вероятности моментов завершения выполнения операций, обладающей бесконечным носителем (а не финитным, как в случае с «точно в срок»)? Например, могут ли моменты смерти в гипотезе программируемой смерти быть так распределены, чтобы результирующая кривая дожития соответствовала схеме Гомпертца или ее аналогам? В рассмотрении мы предполагаем, что определяемая в (10) функция ${\mu }_t={\mu }_t(T)$  отвечает «точно в срок T». Не ограничивая общности мы предполагаем, что переходная функция – плотность вероятности $\rho (t)$  – является гладкой функцией. Заметим, что результирующему процессу $X(T)$  соответствуют момент завершения $\varsigma (0)=\inf \{t>0:X_t(T)=0\}$  аналогично $\tau (0)$  в схеме (4) – (5). Для него определим процесс одного скачка $N(T)={(N_t(T))}_{t\ge 0}$  с $N_t=I\{X_t(T)\ge 1\}=I\{t<\varsigma (0)\}$ . Разложения Дуба – Мейера для $N(T)$  на стохастическом базисе  $B^{N(T)}=(\Omega ,F,F^{N(T)}={(F_t^{N(T)})}_{t\ge 0},P)$ (с $F_t^{N(T)}=\sigma (N_s(T);s\le t)$ ) аналогично (9) – (10):

$N_t\left(T\right)=1-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{N}_s\left(T\right)\cdot h_{s}ds+{\overline{m}}_t^{N\left(T\right)}}$ ,

$h_t=\raisebox{1ex}{$d{F}_{\varsigma \left(0\right)}\left(t\right)/dt$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(1-F_{\varsigma \left(0\right)}(t\left)\right)$}\right.$ ,

а ${\left({\overline{m}}_t^{N\left(T\right)}\right)}_{t\ge 0}$  – квадратично интегрируемый мартингал на $B^{N(T)}$  . Таким образом, задача сводится к вопросу о существовании $\rho (t)$  такой, что конечная функция $h_t$  интегрируема на любом конечном интервале.

Теорема 2 (о несовместности моделей)

Не существует гладкой функции плотности $\rho (t)$  с финитным носителем такой, чтобы функция $h_t$  была интегрируема на любом конечном интервале $[\mathrm{0,}u]$  с $0<u<\infty$  .

Доказательство

Покажем справедливость утверждения от противного. Пусть при любом значении s, s > 0 момента $T=T(\omega ),\omega \in \Omega ,$  модель отвечает условию (8) «точно в срок s». Следовательно, выполняются соотношения (11) $\forall s,s>0:$ 

${\displaystyle \underset{0}{\overset{s}{\int }}{\mu }_t\left(s\right)dt}=\infty$ . (19)

Из того, что функция плотности распределения ρ(s) гладкая, следует, что существуют числа r и u такие, что 0 ≤ r < u < ∞ и для некоторого ɛ > 0 выполняется ρ(s) ≥ ɛ при всех $s\in [r,u]$ .
Тогда:

$h_t={\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\rho \left(s\right)\cdot {\mu }_t\left(s\right)ds}\ge \epsilon \cdot {\displaystyle \underset{r}{\overset{u}{\int }}{\mu }_t\left(s\right)\cdot I\{t<s\}ds}$ .(20)

Из (20) следует, что при любом u > 0,

 

${\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{h}_{t}dt}\ge {\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}\left(\underset{r}{\overset{u}{\int }}\epsilon \cdot {\mu }_t\left(s\right)\cdot I\{t<s\}ds\right)dt}={\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}\underset{0}{\overset{u}{\int }}\epsilon \cdot I\{r<s\}\cdot {\mu }_t\left(s\right)\cdot I\{t<s\}dsdt}$ .

Меняем порядок интегрирования и получаем из (19) неравенство:

 

${\displaystyle \underset{0}{\overset{u}{\int }}{h}_{t}dt}\ge \epsilon \cdot {\displaystyle \underset{r}{\overset{u}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{u}{\int }}I\{t<s\}\cdot {\mu }_t\left(s\right)dt\right)ds}=\epsilon \cdot {\displaystyle \underset{r}{\overset{u}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{s}{\int }}{\mu }_t\left(s\right)dt\right)ds}=\infty$ ,

что противоречит предположению об интегрируемости h_t на [0, u].

Теорема доказана

Обсуждение и заключение

В работе дано общее определение систем «точно в срок» общего вида. В Предложении и Теореме 1 сформулированы условия принадлежности продуктивных систем классу «точно в срок». Как показано в Теореме 2, модели таких систем оказываются в определенном смысле несовместными с моделями систем с бесконечными носителями распределения моментов завершения процессов выполнения операций. В частности, модели для процессов с заведомо сезонным режимом выполнения (например, в зерноводстве) несовместимы с моделями с потенциально сколько угодно долго живущими объектами (например, в лесоводстве). Заметим, что также несовместны модели программируемого старения в геронтологии с моделями износа (например, Гомпертца – Мейкхама).

Предлагаемый метод математического описания и исследования достаточно легко может быть распространен на общий случай процессов случайного блуждания в случайной среде (в том числе для процессов размножения и гибели).

В ряде случаев также целесообразно рассматривать $X={(X_t)}_{t\ge 0}$  как процесс размножения и гибели в детерминированной среде [21–23]. Для процесса выполнения значения $X_t\in \{\mathrm{0,1,}2\dots \}$  при t ≥ 0 $X_0=K\in \{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \}$  и  $\Delta X_t=X_t-X_{t-}\in \{-\mathrm{1,0,1}\}$  при t > 0. Тогда, вместо (1) имеем:

$X_t=K-A_t+B_t$ ,(21)

где $A_0=B_0=0$  и неубывающие процессы $A={(A_t)}_{t\ge 0}$  и $B={(B_t)}_{t\ge 0}$  равны $A_t={\displaystyle \sum _{0<s\le t}I\{\Delta X_s=-1\}}\cdot I\{X_{s-}\ge 1\}$ и  $B_t={\displaystyle \sum _{0<s\le t}I\{\Delta X_s=1\}}$ . Компенсаторы субмартингалов A и B, аналогично (2), представим как:

${\tilde{A}}_t={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{a}_s\cdot I\{1\le X_s\}ds}$ , ${\tilde{B}}_t={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{b}_s\cdot I\{1\le X_s\}ds}\left(\right)$ .(22)

Интенсивности скачков $a_t\ge 0$  и $b_t\ge 0$  для процессов размножения и гибели в общем детерминированном случае определяются равенствами (27):

$a_s=\alpha (s)\cdot X_s+\eta (s)\cdot I\{1\le X_s\}$ ,     (23)

$b_s=\beta (s)\cdot X_s+\gamma (s)\cdot I\{1\le X_s\}$ .     (24)

Тогда выполнение (8) в требовании «точно в срок T» определяется решением уравнения (29) для математического ожидания $R_t(i)={\rm E}\left\{X_t\right\}$ :

$R_t=K+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}({\beta }_s-{\alpha }_s)\cdot R_{s}ds}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}({\gamma }_s-{\eta }_s)\cdot P\{1\le X_s\}ds}$    (25)

При этом, как следует из Предложения и Теоремы 1, даже в скалярном случае функция ${\alpha }_s$  (а также в отдельных случаях ${\beta }_s$  ) не интегрируема. Для (21), (22), (23) и (24), как и для уравнения (25), естественно, актуальны многомерные обобщения, что представимо в форме линейного операторного уравнения (см. [25]). Определение условий существования и единственности неотрицательного решения линейного интегрального уравнения в настоящее время остается актуальной задачей, поскольку представления условий в терминах собственных значений операторов в соответствующих Банаховых пространствах [25] даже в простых (в том числе скалярных) случаях характеризуют траекторное поведение функций ${\alpha }_s,{\beta }_s,{\gamma }_s$  и ${\eta }_s$  опосредованно.

Полезными и интересными представляются дальнейшие исследования и для управляемых продуктивных систем, в том числе для управляемых процессов случайного блуждания.

Sobre autores

Alexander Butov

Ulyanovsk State University

Email: butov.a.a@gmail.com
ORCID ID: 0000-0002-8322-9892
Researcher ID: E-4654-2014

Head of Chair of Applied Mathematics, D.Sc. (Physics and Mathematics), Professor

Rússia, 42 Lev Tolstoy St., Ulyanovsk 432017

Maxim Volkov

Ulyanovsk State University

Autor responsável pela correspondência
Email: volkovmax1977@gmail.com
ORCID ID: 0000-0002-5780-5155
Researcher ID: A-9869-2019

Dean of Faculty of Mathematics, Information and Aviation Technology, Ph.D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

Rússia, 42 Lev Tolstoy St., Ulyanovsk 432017

Viktor Golovanov

Ulyanovsk State University

Email: golovanov_vn@mail.ru
ORCID ID: 0000-0001-5023-4727

Vice Rector for Research, D.Sc. (Physics and Mathematics), Professor

Rússia, 42 Lev Tolstoy St., Ulyanovsk 432017

Anatoly Kovalenko

Ulyanovsk State University

Email: anako09@mail.ru
ORCID ID: 0000-0003-3820-9785
Researcher ID: N-5877-2019

Postgraduate Student of Chair of Applied Mathematics

Rússia, 42 Lev Tolstoy St., Ulyanovsk 432017

Boris Kostishko

Ulyanovsk State University

Email: kost@ulsu.ru
ORCID ID: 0000-0003-0041-2753
Researcher ID: J-8125-2014

Rector, D.Sc. (Physics and Mathematics), Professor

Rússia, 42 Lev Tolstoy St., Ulyanovsk 432017

Leonid Samoilov

Ulyanovsk State University

Email: samoilov_l@rambler.ru
ORCID ID: 0000-0001-8464-4628
Researcher ID: N-6040-2019

Professor of Chair of Applied Mathematics, D.Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor

Rússia, 42 Lev Tolstoy St., Ulyanovsk 432017

Bibliografia

Arquivos suplementares