Cooperative Motion of Electrons on the Graphene Surface

Full Text

Введение

Графен – первый и наиболее известный двумерный кристалл, полученный из обычного графита. Интерес к двумерным объектам появился достаточно давно; существуют теоретические исследования по изучению двумерного газа. Л. Д. Ландау предполагал, что двумерный кристалл в принципе не может быть устойчивым. Однако в 2004 г. в университете Манчестера выпускники МФТИ А. Гейм и К. Новоселов получили образцы графена – двумерной модификации углерода [1–4].

Наличие образцов двумерного кристалла позволило вести целенаправленные экспериментальные и теоретические исследования. На данный момент известны свойства графена, делающие его действительно уникальным материалом. Графен обладает высокой механической прочностью, хорошо проводит электрический ток и тепло и т. д. [5–10]. Естественно, подобные свойства нуждаются в теоретическом описании.

В статье основное внимание будет уделено линейному закону дисперсии электронов в графене. Линейный закон дисперсии действует для безмассовых частиц; следовательно, квазичастицы, возникающие при прохождении тока в графене, имеют нулевую эффективную массу. Кроме того, считается, что квазичастицы в графене являются фермионами. Линейный закон дисперсии позволяет моделировать в графене процессы, аналогичные процессам в квантовой электродинамике, без привлечения высоких энергий. На наш взгляд, изучение и объяснение линейного закона дисперсии являются ключевыми вопросами для построения законченной теории графена. К настоящему времени объяснению линейного закона дисперсии посвящено достаточно большое число работ.

В представленной статье предложено подойти к изучению линейного закона дисперсии электронов в графене с использованием универсального метода моделирования, предложенного в исследованиях по синергетике [11]. Авторами предложена макроскопическая модель движения электронов в графене; после ее анализа будет рассмотрена микроскопическая модель. В результате исследования должна быть получена простая и адекватная модель распространения электронной волны по поверхности графена, а также рассмотрено парное взаимодействие электронов.

Обзор литературы

Кристаллическая решетка графена представляет собой гексагональные соты (рис. 1).

 

 

 

Рис. 1. Строение решетки графена

Fig. 1. The graphene lattice structure

 

 

Сама элементарная ячейка состоит из двух видов атомов. Расстояние между ближайшими атомами углерода a = 0,142 Нм; расстояние между двумя одинаковыми атомами a = 0,246 Нм. Из четырех электронов, находящихся на внешней оболочке атома, три «жестко» зафиксированы связью sp²-гибридизированных орбиталей с соседними атомами. Оставшийся электрон располагается перпендикулярно основной плоскости кристалла, находясь в 2p_z состоянии. Именно данный электрон отвечает за электронные свойства графена [12]. С учетом требований минимума энергии для устойчивого состояния объемная модель сотовой ячейки имеет вид, представленный на рис. 2.

 

 

 

Рис. 2. Объемная модель сотовой ячейки

Fig. 2. The solid model of the cell

 

 

Одной из основополагающих работ, посвященных изучению дисперсионного закона электронов в углероде, считается статья П. Р. Уоллеса, опубликованная в 1947 г. [13]. Автором было показано, что энергетическая щель между валентной зоной и зоной проводимости отсутствует. Это приводит к выводу о линейности закона дисперсии, то есть линейной зависимости энергии от импульса квазичастицы:

$E=\hslash k{v}_F$ .                      (1)

Здесь v_F – скорость Ферми; E – энергия квазичастицы.

Линейный закон дисперсии соответствует безмассовым частицам; следовательно, эффективная масса электрона в графите равна нулю. Обнаружить такое свойство в многослойном объемном кристалле экспериментально было практически невозможно. Однако после получения графена линейный закон дисперсии был обнаружен. Рассчитаны значимые характеристики, например, фазовая скорость электронов Дирака; изучен квантовый эффект Холла, который оказался дробным [14].

Успешные эксперименты привели к появлению теоретических работ, посвященных поведению электронов в графене. К настоящему времени построена достаточно обширная теория. Приведем необходимые для дальнейшего исследования сведения.

Построена зонная теория графена. В частности, на основе линейного закона дисперсии было составлено уравнение Дирака [2; 12]; точнее, уравнение, аналогичное уравнению Дирака, следующего вида:

$H=i\hslash \left(\begin{array}{cc}\sigma \nabla & 0\\ 0& {\sigma }^{*}\nabla \end{array}\right)$       (2)

где σ – двумерный вектор, составленный из матриц Паули.

Общий вид решения уравнения (2) представлен формулой:

$\Psi =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -i\exp (i\theta )\end{array}\right)\exp (k_{x}x+k_{y}y)$ (3)

где k – квазиимпульс электрона в графене.

Подробно изучена система «электрон – дырка» [2]; сделан вывод о возможности образования электронно-дырочных пар, аналогичных парам Бардина – Купера – Шифера¹; исследованы свойства указанных пар.

В данной статье продолжено исследование электронных явлений в графене, при этом основное внимание уделено построению достаточно простой, но вполне адекватной модели распространения электронных волн, а также гипотезы об образовании системы «электрон – электрон».

Материалы и методы

Построение макроскопической модели

Если рассматривать макроскопический образец графена, то распределение электронов сверху и снизу кристалла можно считать непрерывным.

Предложим следующую модель.

1. Графен представляет собой двумерную плоскость с поверхностной плотностью заряда +σ. Сверху и снизу кристалла расположены плоскости, состоящие из электронов с зарядовой плотностью ‒σ/2 (рис. 3).

 

Рис. 3. Макроскопическая модель графена

Fig. 3. The macroscopic model of graphene

 

2. Будем считать, что электроны в верхней и нижней плоскости представляют собой двумерный идеальный газ.

В пользу последнего положения говорит высокая проводимость графена.

Пусть под воздействием внешнего электрического поля в верхней и нижней проводящих плоскостях графена возникло изменение плотности и давления электронов. Будем считать данные изменения достаточно малыми в сравнении с начальными давлением и плотностью.

Введем следующие обозначения:

  $\begin{array}{l}\sigma ={\sigma }_0+\Delta \sigma ,\\ \text{P}={\text{P}}_0+\Delta \text{P}.\end{array}$                 (4)

Здесь P – давление; σ – плотность.

Проведем исследование предложенной модели, используя известные методы гидродинамики².

Результаты исследования

Запишем уравнение непрерывности для поверхностной плотности электронов.

 $\frac{\partial \sigma }{\partial t}+div\sigma v=0.$              (5)

Отметим, что данное уравнение справедливо и для поверхностной плотности заряда.

Запишем теперь уравнение Эйлера:

$\frac{\partial v}{\partial t}+(v\nabla )v=-\frac{1}{\sigma }\nabla P.$          (6)

Воспользуемся тем, что изменения плотности и давления малы; получим, что:

 $\frac{\partial \Delta \sigma }{\partial t}+{\sigma }_{0}divv=\mathrm{0,}$              (7)

$\frac{\partial v_F}{\partial t}=-\frac{1}{\sigma }\nabla P.$

Поскольку, согласно предположению, электронный газ является идеальным, то все макроскопические процессы в нем адиабатические. Воспользуемся известным соотношением:

 $\Delta P=\left(\frac{\partial P}{\partial {\sigma }_0}\right)\Delta \sigma .$                (8)

Из уравнений (7; 8) получим:

$\frac{\partial \Delta \sigma }{\partial t}+\left(\frac{\partial P}{\partial {\sigma }_0}\right){\sigma }_0.divv=0.$         (9)

Уравнение (9) является волновым уравнением. Для придания ему более удобного вида введем потенциал векторного поля скоростей:

$v=grad\varphi$ .                   (10)

Получим, что:

$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}+v_F^2\Delta \varphi =0.$                (11)

Здесь

 $v_F^2=\frac{\partial \text{P}}{\partial \sigma }.$                     (12)

Рассмотрим монохроматическую волну. В данном случае потенциал волны имеет вид:

$\varphi =\text{Re}[{\varphi }_0{e}^{-i\omega t}].$               (13)

Функция φ₀ удовлетворяет следующему условию:

$\frac{{\partial }^2{\varphi }_0}{\partial t^2}+\frac{{\omega }^2}{v_F^2}\Delta {\varphi }_0=0.$

Если предположить, что волна распространяется в направлении x, то:

$\varphi {}_0=\text{Re}[A\text{exp}(i\omega x/v_F)],$

 $\varphi =\text{Re}[A{e}^{-i\omega (t-x/v{}_F)}].$         (14)

Из (14) получим дисперсионный закон:

$\omega /v_F=k.$                    (15)

Закон дисперсии является линейным; следовательно, квант электронных волн в графене является безмассовым.

Вопрос о том, фермионом или бозоном является данный квант, в рамках представленной модели не рассматривается.

Выскажем гипотезу, отличную от принятой на данный момент [15]. Предположим, что квазичастица электронной волны в графене является бозоном, но достаточно необычной структуры: он состоит из двух электронов, как известные в теории сверхпроводимости куперовские пары.

При анализе макроскопической модели мы рассматривали только одну плоскость электронного облака, но такое же облако находится с противоположной стороны кристалла. С точки зрения симметрии по ней также должна распространяться волна. Возможно, что при этом образуются пары отрицательно заряженных частиц. Наиболее вероятны пары, состоящие из соседних электронов, находящихся с противоположных сторон кристалла. В таком случае две пары будут образованы внутри одной ячейки, еще два электрона будут связаны с электронами двух соседних ячеек. Каждая такая пара будет иметь две степени свободы.

Для качественного описания данного явления вновь обратимся к рис. 2. В случае образования пары в сотовой ячейке графена расположение отрицательного заряда в верхнем электроне смещено в противоположную сторону от среднего положительного заряда ячейки по сравнению с нижним электроном. Схематично распределение зарядов представлено на рис. 4.

 

 

Рис. 4. Схематичное распределение зарядов в элементарной ячейке графена

Fig. 4. The scheme of the charge distribution in the graphene elementary cell

 

 

При движении такой конструкции положительный заряд будет, к примеру, ускорять верхнюю часть и тормозить нижнюю. При этом эффективная масса связанных между собой электронов станет равна нулю, что согласуется с линейным законом дисперсии. Суммарный спин электронов при этом будет целым, то есть квант электронной волны окажется бозоном.

Определим скорость распространения электронной волны v_F. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением:

$v_F\approx \sqrt{\gamma \frac{RT}{M}},$                   (16)

где $\gamma =\frac{c_p}{c_V},$  R – универсальная газовая постоянная; M – молярная масса электронного газа; Т – температура.

Коэффициент $\gamma$  можно считать постоянным. Определим его по формуле:

$\gamma =\frac{i+2}{i}.$

Пусть квантом электронной волны является электрон Ферми. Учитывая двумерность графена, получим, что $\gamma =2$ . При определении температуры следует учитывать, что за электропроводимость отвечают только электроны, находящиеся на уровне Ферми. Температура Ферми составляет ~5 · 10⁴ K. Таким образом, v_F ~ 1,29 · 10⁶ м/с.

Предположим также, что квантом электронной волны является пара связанных электронов, зафиксированных в одном направлении. В таком случае v_F ~ 0,92 · 10⁶ м/с.

Экспериментальные данные показывают, что скорость Ферми в графене составляет ~ 10⁶ м/с. Это говорит о том, что предложенная в статье математическая модель в целом адекватно описывает электропроводные свойства графена.

Аномальный эффект Холла

Напомним, что квантовые эффекты при воздействии магнитного поля на проводник с током становятся существенными при низкой температуре в том случае, когда толщина проводника мала [16; 17]. Для экспериментального исследования квантового эффекта Холла используется система, схожая с плоским конденсатором (рис. 5).

 

 

 

Рис. 5. Пример двумерной электронной системы (МДП-структура)

Fig. 5. A two-dimensional electron system (MIS structure)

 

 

Сам квантовый эффект Холла состоит в том, что при определенных значениях сопротивления

$R_H=\frac{h}{k{e}^2}$  (k = 0, 1…)      (17)

ток в проводнике отсутствует. Здесь h – постоянная Планка; e – заряд электрона; k – число полностью заполненных уровней Ландау. Данное явление связано с тем, что на плоскости проводника может разместиться конечное число электронов, совершающих вращательное движение.

В графене как в истинно двумерном кристалле также наблюдается квантовый эффект Холла. Однако значения запирающего сопротивления оказываются в два раза меньше, чем это следует из формулы (17). Поэтому эффект Холла в графене называют аномальным. Объясним данный эффект, исходя из предположения о существовании электронных пар, аналогичных куперовским парам.

Введем следующие обозначения: S₀ – площадь проводника; B – вектор магнитной индукции; m – масса электрона. Пара электронов, естественно, будет обладать вдвое бóльшими массой и зарядом.

Воспользуемся принципом неопределенности Гейзенберга в следующей форме³:

$\Delta E\Delta t~h$ ,                 (18)

где E – энергия частицы; t – время.

Поскольку при наблюдении квантового эффекта Холла происходит контакт макроскопического наблюдателя с микроскопической системой, оправданным является использование квазиклассического уровня описания. Учитывая то, что электроны совершают под воздействием постоянного магнитного поля вращательное движение, получим:

$\Delta E~\frac{1}{2}2m{\omega }^2{R}^2$ ;             (19)

$\Delta t~\frac{2\pi }{\omega }$ .                   (20)

Циклическую частоту определим с использованием формулы для силы Лоренца:

$\omega =\frac{eB}{m}$ .                    (21)

Из формул (18–21) получим выражение для минимальной площади, занимаемой парой электронов:

$S_e=\frac{h}{2eB}$ .                   (22)

Максимальное число электронов, способных разместиться на одном энергетическом уровне Ландау, равно:

$N_0=\frac{S_0}{S_e}=\frac{2S_{0}eB}{h}$ .

Следовательно, величина запирающего сопротивления будет равна:

$R_H=\frac{S_{0}B}{ek{N}_0}=\frac{h}{2k{e}^2}$ .           (23)

Таким образом, можно предположить, что аномальный эффект Холла в графене связан с образованием электронных пар, схожих с куперовскими парами.

Микромодель графена

В данном случае не будем строить достаточно точную модель графена на микроуровне: такая задача достаточно сложна. Графен по сути является гигантской двумерной молекулой, схожей со сложными ароматическими соединениями. В перспективе возможно использование численных методов, разработанных для расчетов сложных ароматических соединений (например, [18]), по отношению к графену.

Предложим приближенную модель, которая описывает только реакцию пары электронов на возмущение в виде электрического поля.

Выскажем следующие предположения.

1. Возмущение достаточно слабо по сравнению с взаимодействием электронов с основным кристаллом.
2. На выбранную пару электронов существенное влияние оказывают только ближайшие к ней узлы решетки.

В данном случае воздействие электрического поля можно представить следующим образом (рис. 6).

 

 

 

Рис. 6. Смещение пары электронов в результате внешнего воздействия

Fig. 6. The dislocation of the electron pair as the result of the external effects

 

 

Запишем выражение, отражающее изменение потенциальной энергии пары электронов в результате возмущения, учитывая взаимодействие только с ближайшими узлами решетки.

$W=W_1+W_2\approx -\frac{2k{e}^2}{r_0+\Delta x}+\frac{k{e}^2}{a_0+\Delta x}+\frac{k{e}^2}{a_0-\Delta x}-\frac{2k{e}^2}{a_0}+2eU.$ (24)

Здесь a₀ – расстояние между соседними атомами углерода; r₀ – радиус орбиты sp_z электрона; U – разность потенциалов внешнего электрического поля, вызвавшего возмущение.

Второе и третье слагаемое в правой части выражения (24) характеризуют энергию, с которой один электрон из пары «подтягивает» другой электрон. Выстроим данные слагаемые в ряд и ограничимся линейным приближением:

 $\frac{k{e}^2}{a_0+\Delta x}+\frac{k{e}^2}{a_0-\Delta x}\approx \frac{k{e}^2}{a_0}(1+\frac{\Delta x}{a_0}+1-\frac{\Delta x}{a_0})=\frac{2k{e}^2}{a_0}.$ (25)

Из выражений (24; 25) следует, что пара электронов при небольшом возмущении будет двигаться в поле с почти постоянным потенциалом. Отсюда непосредственно следует равенство эффективной массы нулю.

В случае постоянной потенциальной энергии решение уравнения Шредингера имеет вид:

 $\Psi (x,y,t)=A\exp (-iEt/h).$  (26)

Здесь А – некоторая константа.

Воспользуемся принципом неопределенности Гейзенберга:

$\Delta E\Delta t~\Delta p{}_0\Delta x_0~h.$

Получим, что:

$\Psi (x,y,t)=A\exp (-i{p}_0{x}_0/h).$   (27)

Выражение (27) формально совпадает с выражением для волновой функции свободного фотона⁴. В данном смысле графен действительно можно использовать для моделирования некоторых процессов в квантовой электродинамике [19].

Уравнение Шредингера неприменимо к спинам частиц, поскольку является нерелятивистским. Оценим возможные значения спина для предполагаемой квазичастицы, образованной парным взаимодействием электронов, исходя из ее безмассовости.

Для векторной частицы, находящейся в четырехмерном пространстве-времени, справедливо представление:

$k_{\mu }{e}_{\mu }=k_0{e}_0-k_1{e}_1-k_2{e}_2-k_3{e}_3.$    (28)

Для двумерного пространства один из единичных ортогональных векторов отсутствует; допустим, что это вектор е₃. Для безмассовых частиц справедливо соотношение:

$k_0{e}_0=k_1{e}_1+k_2{e}_2.$            (29)

Таким образом, у квазичастицы в графене будет всего две возможных независимых поляризации.

Обсуждение и заключение

Основным результатом исследования является макроскопическая модель двумерного кристалла, согласно которой графен можно рассматривать как три плоскости. Одна из них является основным телом кристалла и заряжена положительно, две другие представляют собой почти свободный электронный газ. С использованием предложенной модели в статье описано распространение электронной волны, при этом получен линейный закон дисперсии и проведена оценка фазовой скорости электронной волны. Полученные результаты подтверждены экспериментальными данными, что говорит об адекватности модели.

Наличие двух электронных плоскостей позволяет предположить, что в графене, помимо взаимодействия «электрон – дырка», возможно образование системы «электрон – электрон». Наличие таких пар объясняет аномальный эффект Холла в графене.

Также в статье построена микромодель воздействия электрического поля на графен. Показано, что пара электронов имеет нулевую эффективную массу. При этом отмечено, что указанный эффект возможен, если вызванное полем возмущение невелико.

Из предположения о наличии электронных пар следует, что безмассовая квазичастица электронной волны является бозоном. Данное положение отличается от общепризнанной теории, согласно которой квазичастица является фермионом.

Из двумерности электронных плоскостей и равенства эффективной массы электронной пары нулю следует, что спин может иметь только два независимых значения.

Статья имеет в основном теоретическую направленность; ее практическая значимость состоит в следующем. Простота основной модели позволяет использовать ее для проведения расчетов макроскопических характеристик графена. Если гипотеза о существовании электронных пар верна, то можно регулировать проводимость графена посредством воздействия на пары, то есть разрушения их или создания условий для их образования. Это можно осуществить, например, с помощью внешнего монохроматического электромагнитного излучения.

 

¹           Киттель Ч. Введение в физику твердого тела : учеб. пособ. по физике. М. : Книга по требованию, 2012. 789 с.

²           Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : учеб. пособ. : в 10 т. Т. 6. Гидродинамика. ‒ 4-е изд., испр. М. : Наука, 1989. 626 с. URL: http://www.immsp.kiev.ua/postgraduate/Biblioteka_trudy/GidrodinamikaLanday1986.pdf

³           Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : учеб. пособ. : в 10 т. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория). ‒ 4-е изд., испр. М. : Наука, 1989. 768 с. URL: https://www.math.purdue.edu/~eremenko/dvi/LL.pdf

⁴           Грибов В. Н. Квантовая электродинамика. Ижевск : РХД, 2001. 288 с.

 

About the authors

Aleksey V. Yudenkov

Smolensk State Academy of Physical Culture, Sport and Tourism

Email: aleks-ydenkov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-8329-1146

Head, Chair of Management, Sciences and Humanities, D.Sc. (Physics and Mathematics), Professor

Russian Federation, 23 Prospekt Gagarina, Smolensk 214000

Aleksandr M. Volodchenkov

Smolensk Branch of Plekhanov Russian University of Economics

Author for correspondence.
Email: alexmw2012@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-9314-7324

Head, Chair of Humanities and Sciences, Ph.D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

Russian Federation, 21 Normandia-Neman St., Smolensk 214030

Maria A. Iudenkova

Moscow Institute of Physics and Technology

Email: mayudenkova@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3226-2403

Student

Russian Federation, 9 Institutskiy Pereulok lane, Dolgoprudnyy 141701

References

Supplementary files