Dynamics of entangled Greenberger — Horne — Zeilinger states in three qubits thermal Tavis — Cummings model

Full Text

Введение

Перепутанные состояния в настоящее время являются основным ресурсом физики квантовых вычислений, квантовых коммуникаций и квантовой криптографии, квантовой метрологии и т. д. [1–10]. Используя различные классы перепутанных состояний, можно ускорить вычисления, обеспечить безопасность коммуникаций и преодолеть стандартные квантовые пределы при измерениях. Для многокубитных систем существуют несколько неэквивалентных классов перепутанных состояний [11–13]. В частности, для простейшего случая трехкубитной системы существуют всего два подлинно перепутанных состояния [14–19]. К последним относятся перепутанные состояния Гринбергера — Хорна — Цайлингера (GHZ-состояния) и перепутанные состояния Вернера (W-состояния). Среди всех классов перепутанных состояний GHZ-состояния являются одними из наиболее востребованных состояний для целей квантовой информатики и квантовой метрологии [20–23]. В последние годы многочастичные GHZ-состояния были реализованы для различных физических систем кубитов: ионов в ловушках [24–26], ридберговских атомов [67], фотонов [28–30], сверхпроводящих кубитов [31–33]. Указанные работы открыли новые возможности в развитии масштабируемых квантовых компьютеров, квантовой метрологии и квантовой связи. В работах [22; 23] осуществлено перепутывание до 20 кубитов с точностью (степенью совпадения) выше 0,5. Точность и технические сложности в реализации перепутанных состояний кубитов растут экспоненциально с увеличением числа кубитов. Сложности теоретического анализа динамики GHZ-состояний также существенно возрастают с увеличением числа кубитов в системе. Поэтому при теоретическом рассмотрении таких состояний особое внимание уделяется анализу трехкубитных систем (см. ссылки в [74]). Для генерации, управления, контроля и измерения состояний систем кубитов используют электромагнитные поля резонаторов. При этом резонаторы функционируют при конечных температурах от мК для систем сверхпроводящих кубитов до комнатных в случае примесных спинов. Это означает, что кубиты взаимодействуют с тепловыми полями резонаторов. Такое взаимодействие приводит к осцилляциям Раби параметров перепутывания кубитов и, соответственно, к уменьшению степени их начального перепутывания. Еще одним эффектом, приводящим к ошибкам при измерении состояний кубитов, является мгновенная смерть перепутывания [75]. Указанный эффект экспериментально наблюдался для кубитов различной физической природы [36–38]. Поэтому представляет значительный интерес изучение методов, предотвращающих эффект мгновенной смерти перепутывания кубитов, вызванной взаимодействием с тепловыми полями резонаторов. Изучение указанного эффекта для кубитов, взаимодействующих с тепловыми шумами резонаторов, особенно важно в связи с тем, что в резонаторах всех квантовых устройств обязательно присутствуют тепловые фотоны.

В нашей работе [79] мы детально исследовали динамику перепутывания в системе трех кубитов, резонансно взаимодействующих с модой теплового квантового электромагнитного поля в идеальном резонаторе, для сепарабельных, бисепарабельных и истинно перепутанных состояний W-типа. При этом было показано, что эффект мгновенной смерти перепутывания имеет место для любых интенсивностей теплового поля резонатора. Представляет большой интерес изучить динамику трехкубитной модели в резонаторе для истинно перепутанного состояния кубитов GHZ-типа.

В настоящей статье мы исследовали динамику системы, состоящей из трех идентичных кубитов, резонансно взаимодействующих с модой теплового квантового электромагнитного поля идеального резонатора посредством однофотонных переходов, для перепутанных состояний кубитов GHZ-типа. При этом в качестве количественной меры перепутывания подсистемы кубитов использовались не отрицательности пар кубитов, а cтепень совпадения (fidelity) состояния подсистемы кубитов в произвольный момент времени и начального GHZ-состояния.

1. Модель и решение временного уравнения Шредингера

Рассмотрим систему трех идентичных кубитов $Q_1,Q_2,Q_3$, резонансно взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля идеального резонатора. Гамильтониан взаимодействия такой модели в дипольном приближении и приближении вращающейся волны можно представить в виде

${\widehat{H}}_{\mathrm{int}}=\sum _{k=1}^3\hslash \gamma ({\widehat{\sigma }}_k^{+}\widehat{c}+{\widehat{\sigma }}_k^{-}{\widehat{c}}^{+}),$(1)

где ${\widehat{\sigma }}_k^{+}=|+{⟩}_{kk}⟨-|$ и ${\widehat{\sigma }}_k^{-}=|-{⟩}_{kk}⟨+|$ — повышающий и понижающий операторы в $k$-м кубите, $|-{⟩}_k$ – основное и $|+{⟩}_k$ — возбужденное состояние $k$-го кубита ($k=\mathrm{1,2,3}$), ${\widehat{c}}^{+}$ и $\widehat{c}$ — операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды и $\gamma$ — параметр кубит-фотонного взаимодействия.

Будем полагать, что в начальный момент времени кубиты приготовлены в истинно перепутанном состоянии $GHZ$-типа

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3}=\cos \theta |+,+,+\text{⟩}+\sin \theta |-,-,-\text{⟩}$(2)

или $GHZ$-подобном состоянии вида

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3}=\cos \phi |+,-,-\text{⟩}+\sin \phi |-,+,+\text{⟩},$ (3)

где $\theta$ и $\phi$ — параметры, определяющие степень начального перепутывания кубитов. Начальные состояния кубитов вида (2) и (3) в резонаторах можно получить с помощью импульсов электромагнитного поля определенной длительностью.

В качестве начального состояния поля выберем одномодовое тепловое состояние с матрицей плотности вида

${\varrho }_F\left(0\right)=\sum _n{p}_n|n⟩⟨n|.$ (4)

Здесь весовые функции $p_n$ в формуле (4) имеют вид

$p_n=\frac{{\overline{n}}^n}{{\left(1+\overline{n}\right)}^{n+1}},$

где $\overline{n}$ — среднее число тепловых фотонов, определяемое формулой Бозе–Эйнштейна

$\overline{n}={\left(\exp \left[\hslash \omega /k_{B}T\right]-1\right)}^{-1},$

здесь $k_B$ — постоянная Больцмана и $T$ — температура микроволнового резонатора.

Поставим перед собой задачу найти динамику рассматриваемой модели для начального состояния кубитов (2) и (3) и теплового поля резонатора (4). В качестве первого шага для решения поставленной задачи рассмотрим решение уравнения эволюции в случае фоковского начального состояния электромагнитного поля резонатора, а затем обобщим полученные результаты для теплового состояния поля резонатора (4).

В случае чистого фоковского состояния начальную волновую функцию поля резонатора выберем в виде

$\left|\varphi \right(0){⟩}_{F,n}=|n\text{⟩}(n=\mathrm{0,1,2,}\dots ).$ (5)

Найдем вначале временную волновую функцию системы для фоковского начального состояния поля (5), а потом обобщим результаты на случай теплового поля резонатора. Введем для нашей системы число возбуждений $N$, равное $N=q+n$, где $q$ — число кубитов, приготовленных в возбужденном состоянии. Для чисел возбуждения $N\ge 3$ оператор эволюции рассматриваемой системы имеет вид

$S\text{(n,t)}=\left(\begin{array}{ccc}{S}_{11}(n,t)& \cdots & S_{18}(n,t)\\ ⋮& & ⋮\\ S_{81}(n,t)& \cdots & S_{88}(n,t)\end{array}\right),$ (6)

где

$S_{11}(n,t)=\frac{(7+2n+{\Omega }_n)\cos \left({\theta }_1\gamma t\right)+(-7-2n+{\Omega }_n)\cos \left({\theta }_2\gamma t\right)}{2{\Omega }_n},$

$S_{22}(n,t)=\frac{4{\Omega }_n\cos \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right)+(-1-2n+{\Omega }_n)\cos \left({\theta }_1\gamma t\right)+(1+2n+{\Omega }_n)\cos \left({\theta }_2\gamma t\right)}{6{\Omega }_n},$

$S_{12}(n,t)=-i\frac{(7+2n+{\Omega }_n){\theta }_1\sin \left({\theta }_1\gamma t\right)+(-7-2n+{\Omega }_n){\theta }_2\sin \left({\theta }_2\gamma t\right)}{6\sqrt{1+n}{\Omega }_n},$

$S_{15}(n,t)=\frac{\sqrt{(1+n)(2+n)}(-\cos ({\theta }_1\gamma t)+\cos ({\theta }_2\gamma t\left)\right)}{\Omega },$

$S_{25}(n,t)=-i\frac{\sqrt{2+n}{\Omega }_n\sin \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right)-(2+n){\theta }_1\sin \left({\theta }_1\gamma t\right)+(2+n){\theta }_2\sin \left({\theta }_2\gamma t\right)}{3\sqrt{2+n}{\Omega }_n},$

$S_{58}(n,t)=-i\frac{(1+2n+{\Omega }_n){\theta }_1\sin \left({\theta }_1\gamma t\right)+(-1-2n+{\Omega }_n){\theta }_2\sin \left({\theta }_2\gamma t\right)}{6\sqrt{3+n}{\Omega }_n},$

$S_{18}(n,t)=-i\frac{\sqrt{2+n}\left(\sin \right({\theta }_2\gamma t){\theta }_1-\sin ({\theta }_1\gamma t\left){\theta }_2\right)}{{\Omega }_n},$

$S_{55}(n,t)=S_{22}(n,t)-\frac{1}{{\Omega }_n}\left(\cos \right({\theta }_1\gamma t)-\cos ({\theta }_2\gamma t\left)\right),S_{23}(n,t)=S_{22}(n,t)-\cos \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right),$

$S_{88}(n,t)=S_{11}(n,t)-\frac{3}{\Omega }\left(\cos \right({\theta }_1\gamma t)-\cos ({\theta }_2\gamma t\left)\right),S_{56}(n,t)=S_{55}(n,t)-\cos \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right),$

$S_{27}(n,t)=S_{25}(n,t)+i\sin \left(\sqrt{2+n}\gamma t\right),S_{28}(n,t)=\sqrt{\frac{n+3}{n+1}}{S}_{15}(n,t),$

$S_{22}=S_{33}=S_{44},S_{55}=S_{66}=S_{77},S_{12}=S_{13}=S_{14}=S_{21}=S_{31}=S_{41},$

$S_{15}=S_{16}=S_{17}=S_{51}=S_{61}=S_{71},S_{23}=S_{24}=S_{32}=S_{34}=S_{42}=S_{43},$

$S_{27}=S_{36}=S_{45}=S_{54}=S_{63}=S_{72},S_{56}=S_{57}=S_{65}=S_{67}=S_{75}=S_{76},$

$S_{25}=S_{26}=S_{35}=S_{37}=S_{46}=S_{47}=S_{52}=S_{53}=S_{62}=S_{64}=S_{73}=S_{74},$

$S_{28}=S_{38}=S_{48}=S_{82}=S_{83}=S_{84},S_{58}=S_{68}=S_{78}=S_{85}=S_{86}=S_{87},S_{18}=S_{81},$

где

${\Omega }_n=\sqrt{9+16{(n+2)}^2},{\theta }_1=\sqrt{5(n+2)-{\Omega }_n},{\theta }_2=\sqrt{5(n+2)+{\Omega }_n}.$

При записи оператора эволюции в матричной форме мы использовали базисные векторы вида

$|+,+,+,n⟩,|+,+,-,n+1⟩,|+,-,+,n+1⟩,|-,+,+,n+1⟩,$

$|+,-,-,n+2⟩,|-,+,-,n+2⟩,|-,-,+n+2⟩,|-,-,-,n+3⟩.$

В рассматриваемом случае волновую функцию можно найти как

$\left|{\Psi }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\right(t){⟩}_n=S(n,t\left)\right|\Psi \left(t\right){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3}|n⟩.$ (7)

В дальнейшем при обобщении результатов на случай теплового поля резонатора нам потребуются также волновые функции, соответствующие числам возбуждения $N=\mathrm{2,1,0}$. Для $N=2$ базис гильбертова пространства должен быть сужен до набора

$|+,+,-\mathrm{,0}⟩,|+,-,+\mathrm{,0}⟩,|-,+,+\mathrm{,0}⟩,$

$|+,-,-\mathrm{,1}⟩,|-,+,-\mathrm{,1}⟩,|-,-,+\mathrm{,1}⟩,|-,-,-\mathrm{,2}⟩.$

Соответствующая временная волновая функция есть

$\left|{\Psi }_1\right(t)⟩=Z_1(t\left)\right|+,+,-\mathrm{,0}⟩+Z_2\left(t\right)|+,-,+\mathrm{,0}⟩+Z_3(t\left)\right|-,+,+\mathrm{,0}⟩+$

$+Z_4\left(t\right)|+,-,-\mathrm{,1}⟩++Z_5(t\left)\right|-,+,-\mathrm{,1}⟩+Z_6\left(t\right)|-,-,+\mathrm{,1}⟩+Z_7(t\left)\right|-,-,-\mathrm{,2}⟩,$ (8)

где коэффициенты $Z_i\left(t\right)(i=\mathrm{1,2,3,4,5,6,7})$ есть

$Z_1\left(t\right)=\frac{1}{15}[3\left(C_1+C_2+C_3-\sqrt{2}{C}_7\right)+5\left(2C_1-C_2-C_3\right)\cos \gamma t+\left(2C_1+2C_2+2C_3+3\sqrt{2}{C}_7\right)\cos \sqrt{10}\gamma t-$

$-i\left(5(C_4+C_5-2C_6)\sin \gamma t+\sqrt{10}(C_4+C_5+C_6)\sin \sqrt{10}\gamma t\right)],$

$Z_2\left(t\right)=\frac{1}{15}[3\left(C_1+C_2+C_3-\sqrt{2}{C}_7\right)-5(C_1-2C_2+C_3)\cos \gamma t+(2C_1+2C_2+2C_3+3\sqrt{2}{C}_7)\cos \sqrt{10}\gamma t-$

$-i\left(5(C_4-2C_5+C_6)\sin \gamma t+\sqrt{10}(C_4+C_5+C_6)\sin \sqrt{10}\gamma t\right)],$

$Z_3\left(t\right)=\frac{1}{15}[3\left(C_1+C_2+C_3-\sqrt{2}{C}_7\right)-5(C_1+C_2-2C_3)\cos \gamma t+(2C_1+2C_2+2C_3+3\sqrt{2}{C}_7)\cos \sqrt{10}\gamma t+$

$+5i\left(2C_4-C_5-C_6\right)\sin \gamma t-i\sqrt{10}\left(C_4+C_5+C_6\right)\sin \sqrt{10}\gamma t],$

$Z_4\left(t\right)=\frac{1}{15}[5\left(2C_4-C_5-C_6\right)\cos \gamma t+5(C_4+C_5+C_6)\cos \sqrt{10}\gamma t-i(5(C1 + C2 - 2C3) \sin \gamma t +$

$+\sqrt{5}(\sqrt{2}{C}_1+\sqrt{2}{C}_2+\sqrt{2}{C}_3+3C_7)\sin \sqrt{10}\gamma t\left)\right],$

$Z_5\left(t\right)=\frac{1}{15}[-5(C_4-2C_5+C_6)\cos \gamma t+5(C_4+C_5+C_6)\cos \sqrt{10}\gamma t-i(5(C_1-2C_2+C_3)\sin \gamma t+$

$+\sqrt{5}(\sqrt{2}{C}_1+\sqrt{2}{C}_2+\sqrt{2}{C}_3+3C_7)\sin \sqrt{10}\gamma t)$

$Z_6\left(t\right)=\frac{1}{15}[-5(C_4+C_5-2C_6)\cos \gamma t+5(C_4+C_5+C_6)\cos \sqrt{10}\gamma t+5i(2C_1-C_2-C_3)\sin \gamma t-$

$-i\sqrt{5}\left(\sqrt{2}{C}_1+\sqrt{2}{C}_2+\sqrt{2}{C}_3+3C_7\right)\sin \sqrt{10}\gamma t],$

$Z_7\left(t\right)=\frac{1}{5}[\sqrt{2}{C}_1-\sqrt{2}{C}_2-\sqrt{2}{C}_3+2C_7+$

$+3C_7)\cos \sqrt{10}\gamma t-i\sqrt{5}(C_4+C_5+C_6\left)\sin \sqrt{10}\gamma t\right].$

Здесь использовано обозначение $C_i=Z_i\left(0\right)$.

Для $N=1$ выбираем базис гильбертова пространства в виде

$|+,-,-\mathrm{,0}⟩,|-,+,-\mathrm{,0}⟩,|-,-,+\mathrm{,0}⟩,|-,-,-\mathrm{,1}⟩.$

Соответствующая временная волновая функция есть

$\left|{\Psi }_2\right(t)⟩=Y_1(t\left)\right|+,-,-\mathrm{,0}⟩+Y_2\left(t\right)|-,+,-\mathrm{,0}⟩+Y_3(t\left)\right|-,-,+\mathrm{,0}⟩+Y_4\left(t\right)|-,-,-\mathrm{,1}⟩,$ (9)

где коэффициенты $Y_i\left(t\right)(i=\mathrm{1,2,3,4})$ имеют вид

$Y_1\left(t\right)=\frac{1}{3}\left[2F_1-F_2-F_3+(F_1+F_2+F_3)\cos \sqrt{3}\gamma t-i\sqrt{3}{F}_4\sin \sqrt{3}\gamma t\right],$

$Y_2\left(t\right)=\frac{1}{3}\left[-F_1+2F_2-F_3+(F_1+F_2+F_3)\cos \sqrt{3}\gamma t-i\sqrt{3}{F}_4\sin \sqrt{3}\gamma t\right],$

$Y_3\left(t\right)=\frac{1}{3}\left[-F_1-F_2+2F_3+(F_1+F_2+F_3)\cos \sqrt{3}\gamma t-i\sqrt{3}{F}_4\sin \sqrt{3}\gamma t\right],$

$Y_4\left(t\right)=F_4\cos \sqrt{3}\gamma t-\frac{i(F_1+F_2+F3)\sin \sqrt{3}\gamma t}{\sqrt{3}}.$

Здесь использованы обозначения $F_i=Y_i\left(0\right)(i=\mathrm{1,2,3,4}).$

Наконец, для $N=0$ базис гильбертова пространства состоявляет вектор $|-,-,-\mathrm{,0}⟩$. Соответствующая временная волновая функция есть

$\left|{\psi }_3\right(t)⟩=|-,-,-\mathrm{,0}⟩.$ (10)

2. Расчет степени совпадения состояний кубитов

Имея явный вид для временных волновых функций системы (7)–(10), мы можем вычислить временную матрицу плотности полной системы (три кубита+мода поля) в случае теплового состояния поля

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{p}_n\left|\Psi \right(t\left){{⟩}_n}_n\text{⟨}\Psi \right(t\left)\right|.$ (11)

Для вычисления параметра перепутывания кубитов нам потребуется редуцированная матрица плотности трех кубитов. Ее мы можем вычислить, усредняя выражение (11) по переменным поля

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\left(t\right)=S{p}_F{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\left(t\right).$ (12)

При исследовании перепутывания кубитов в рассматриваемой модели для сепарабельных, бисепарабельных и истинно перепутанных состояний $W$-типа в качестве количественного критерия перепутывания мы использовали отрицательности пар кубитов. В случае $GHZ$-состояний такой критерий малоинформативен, поскольку при усреднении трехкубитной матрицы плотности ${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\left(t\right)$ по переменным одного из кубитов два оставшихся кубита оказываются неперепутанными. Поэтому в настоящей работе мы в качестве количественного критерия перепутывания кубитов используем cтепень совпадения (fidelity) текущего состояния кубитов в момент времени t и их начального $GHZ$-состояния. В случае теплового поля резонатора состояние кубитов в произвольный момент времени является смешанным. Количественная мера степени совпадения для смешанных состояний кубитов предложена в работе [80]

$F(\rho ,{\rho }^{\text{'}})={\left(tr\sqrt{{\rho }^{\frac{1}{2}}{\rho }^{\text{'}}{\rho }^{\frac{1}{2}}}\right)}^2.$ (13)

В формуле (13) $\rho$ – начальная матрица плотности системы и ${\rho }^{\text{'}}$ – матрица плотности кубитов в момент времени $t>0$. Выражение (13) достаточно сложное, однако, если одна из матриц, допустим $\rho$, описывает чистое состояние ($\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$), то формула сильно упрощается:

$F(\rho ,{\rho }^{\text{'}})={\left(tr\sqrt{|\psi ⟩⟨\psi |{\rho }^{\text{'}}|\psi ⟩⟨\psi |}\right)}^2=⟨\psi \left|{\rho }^{\text{'}}\right|\psi ⟩=tr\left(\rho {\rho }^{\text{'}}\right).$ (14)

Выбранные начальные состояния кубитов (2) и (3) являются чистыми с матрицами плотности вида $\left|\Psi \right(0){⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3{Q}_1{Q}_2{Q}_3}⟨\Psi (0\left)\right|$.

Рассчитаем параметр степени совпадения для начального $GHZ$-состояния кубитов вида (2). В трехкубитном базисе

$|+,+,+⟩,|+,+,-⟩,|+,-,+⟩,|-,+,+⟩,$

$|+,-,-⟩,|-,+,-⟩,|-,-,+⟩,|-,-,-⟩$

матрица плотности кубитов для начального состояния вида (2) есть

$M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\text{(0)}=|\Psi \text{(0)}{⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3{Q}_1{Q}_2{Q}_3}⟨\Psi \text{(0)}|=\left(\begin{array}{ccccc}{M}_{11}& 0& \cdots & 0& M_{18}\\ 0& \ddots & & & 0\\ ⋮& & 0& & ⋮\\ 0& & & \ddots & 0\\ M_{81}& 0& \cdots & 0& M_{88}\end{array}\right),$ (15)

где элементы матрицы плотности задаются формулами:

$M_{11}=⟨+,+,+\left|M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(0\left)\right|+,+,+⟩={\cos }^2\theta , M_{88}=⟨-,-,-\left|M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(0\left)\right|-,-,-⟩={\sin }^2\theta ,$

$M_{18}=⟨+,+,+\left|M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(0\left)\right|-,-,-⟩=\cos \theta \sin \theta , M_{81}=⟨-,-,-\left|M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(0\left)\right|+,+,+⟩=\cos \theta \sin \theta .$

Запишем матрицу конечного смешанного состояния ${\rho }^{\text{'}}={\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\left(t\right)$ в произвольный момент времени t для состояния (3):

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\text{(t)}=\sum _{n=0}^{\infty }{p}_n|\Psi \text{(t)}{>}_{nn}<\Psi \text{(t)}|=\left(\begin{array}{cccccccc}{\rho }_{11}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& {\rho }_{18}\\ 0& {\rho }_{22}& {\rho }_{23}& {\rho }_{24}& 0& 0& 0& 0\\ 0& {\rho }_{32}& {\rho }_{33}& {\rho }_{34}& 0& 0& 0& 0\\ 0& {\rho }_{42}& {\rho }_{43}& {\rho }_{44}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\rho }_{55}& {\rho }_{56}& {\rho }_{57}& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\rho }_{65}& {\rho }_{66}& {\rho }_{67}& 0\\ 0& 0& 0& 0& {\rho }_{75}& {\rho }_{76}& {\rho }_{77}& 0\\ {\rho }_{81}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& {\rho }_{88}\end{array}\right).$ (16)

Тогда, подставляя матрицы (15) и (16) в формулу (14), получаем для степени совпадения следующее выражение:

$F={\cos }^2\theta {\rho }_{11}+\cos \theta \sin \theta \left({\rho }_{18}+{\rho }_{81}\right)+{\sin }^2\theta {\rho }_{88},$ (17)

где

${\rho }_{11}=⟨+,+,+\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(t\left)\right|+,+,+⟩=\sum _{n=3}^{\infty }{p}_n\left[{\cos }^2\theta \left|S_{11}\right(n,t){|}^2+{\sin }^2\theta |S_{18}(n-\mathrm{3,}t){|}^2\right]+$

$+p_2{\cos }^2\theta \left|S_{11}\right(\mathrm{2,}t){|}^2+p_1{\cos }^2\theta |S_{11}\left(\mathrm{1,}t\right){|}^2+p_0{\cos }^2\theta \left|S_{11}\right(\mathrm{0,}t){|}^2,$

${\rho }_{88}=⟨-,-,-\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(t\left)\right|-,-,-⟩=\sum _{n=3}^{\infty }{p}_n\left[{\cos }^2\theta \left|S_{81}\right(n,t){|}^2+{\sin }^2\theta |S_{88}(n-\mathrm{3,}t){|}^2\right]+$

$+p_2\left({\cos }^2\theta \left|S_{81}\right(\mathrm{2,}t){|}^2+|x_7\left(t\right){|}^2\right)+p_1\left({\cos }^2\theta \right|S_{81}\left(\mathrm{1,}t\right){|}^2+\left|y_4\right(t\left){|}^2\right)+p_0\left({\cos }^2\theta \left|S_{81}\right(\mathrm{0,}t){|}^2+{\sin }^2\theta \right),$

${\rho }_{18}=⟨+,+,+\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(t\left)\right|-,-,-⟩=\sum _{n=3}^{\infty }{p}_n\left[\cos \theta \sin \theta S_{11}(n,t)S_{88}^{*}(n-\mathrm{3,}t)\right]+$

$+p_2\cos \theta S_{11}\left(\mathrm{2,}t\right)x_7^{*}\left(t\right)+p_1\cos \theta S_{11}\left(\mathrm{1,}t\right)y_4^{*}\left(t\right)+p_0\cos \theta \sin \theta S_{11}\left(\mathrm{0,}t\right), {\rho }_{81}={\rho }_{18}^{*}.$

Трехкубитная матрица плотности в начальный момент времени для начального состояния (3) выражается формулой:

$M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\text{(0)}=|\Psi \text{(0)}{⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_3{Q}_1{Q}_2{Q}_3}⟨\Psi \text{(0)}|=\left(\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& M_{44}& M_{45}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& M_{54}& M_{55}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$ (18)

где элементы матрицы плотности задаются формулами:

$M_{44}=⟨-,+,+\left|M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(0\left)\right|-,+,+⟩={\sin }^2\phi ,M_{55}=⟨+,-,-\left|M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(0\left)\right|+,-,-⟩={\cos }^2\phi ,$

$M_{54}=⟨+,-,-\left|M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(0\left)\right|-,+,+⟩=\cos \phi \sin \phi ,M_{45}=⟨-,+,+\left|M_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(0\left)\right|+,-,-⟩=\sin \phi \cos \phi .$

Запишем матрицу конечного смешанного состояния ${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\left(t\right)$ в произвольный момент времени $t$ для начального состояния (3):

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\text{(t)}=\sum _{n=0}^{\infty }{p}_n|\Psi \text{(t)}{>}_{nn}<\Psi \text{(t)}|=\left(\begin{array}{cccccccc}{\rho }_{11}& {\rho }_{12}& {\rho }_{13}& {\rho }_{14}& 0& 0& 0& 0\\ {\rho }_{21}& {\rho }_{22}& {\rho }_{23}& {\rho }_{24}& {\rho }_{25}& {\rho }_{26}& {\rho }_{27}& 0\\ {\rho }_{31}& {\rho }_{32}& {\rho }_{33}& {\rho }_{34}& {\rho }_{35}& {\rho }_{36}& {\rho }_{37}& 0\\ {\rho }_{41}& {\rho }_{42}& {\rho }_{43}& {\rho }_{44}& {\rho }_{45}& {\rho }_{46}& {\rho }_{47}& 0\\ 0& {\rho }_{52}& {\rho }_{53}& {\rho }_{54}& {\rho }_{55}& {\rho }_{56}& {\rho }_{57}& {\rho }_{58}\\ 0& {\rho }_{62}& {\rho }_{63}& {\rho }_{64}& {\rho }_{65}& {\rho }_{66}& {\rho }_{67}& {\rho }_{68}\\ 0& {\rho }_{72}& {\rho }_{73}& {\rho }_{74}& {\rho }_{75}& {\rho }_{76}& {\rho }_{77}& {\rho }_{78}\\ 0& 0& 0& 0& {\rho }_{85}& {\rho }_{86}& {\rho }_{87}& {\rho }_{88}\end{array}\right).$ (19)

Теперь, подставляя матрицы (18) и (19) в формулу (14), получаем для степени совпадения:

$F={\sin }^2\phi {\rho }_{44}+\cos \phi \sin \phi \cdot ({\rho }_{45}+{\rho }_{54})+{\cos }^2\phi {\rho }_{55},$ (20)

где элементы матрицы плотности задаются выражениями:

${\rho }_{44}=⟨-,+,+\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(t\left)\right|-,+,+⟩=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\cos }^2\phi \left|S_{45}\right(n-\mathrm{2,}t){|}^2+{\sin }^2\phi |S_{44}(n-\mathrm{1,}t){|}^2\right]+$

$+p_1\cdot \left[\left|Z_3\right(t){|}^2+{\sin }^2\phi |S_{44}\left(\mathrm{0,}t\right){|}^2\right]+p_0\left|x_3\right(t){|}^2,$

${\rho }_{55}=⟨+,-,-\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\right(t\left)\right|+,-,-⟩=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\cos }^2\phi \left|S_{55}\right(n-\mathrm{2,}t){|}^2+{\sin }^2\phi |S_{54}(n-\mathrm{1,}t){|}^2\right]+$

$+p_1\cdot \left[\left|Z_4\right(t){|}^2+{\sin }^2\phi |S_{54}\left(\mathrm{0,}t\right){|}^2\right]+p_0\left[\left|x_4\right(t){|}^2+|y_1\left(t\right){|}^2\right],$

${\rho }_{45}=⟨-,+,+\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3\left(t\right)}\right|+,-,-⟩=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[\sin \phi \cos \phi S_{44}(n-\mathrm{1,}t)S_{55}^{*}(n-\mathrm{2,}t)\right]+$

$+p_1\sin \phi S_{44}\left(\mathrm{0,}t\right)Z_4^{*}\left(t\right)+p_0{x}_3\left(t\right)y_1^{*}\left(t\right),{\rho }_{54}={\rho }_{45}^{*}.$

Сравним поведение степени совпадения для трехкубитных GHZ и GHZ-подобных состояний с поведением аналогичной величины для двухкубитного состояния вида

$\left|\Psi \right(0){⟩}_{Q_1{Q}_2}=\cos \varphi |+,+⟩+\sin \varphi |-,-⟩.$ (21)

Двукубитная система с начальным состоянием кубитов (21) и полем в фоковском состоянии (5) эволюцинирует следующим образом:

а) для случая начального числа фотонов в моде $n=0$:

$\left|{\psi }_{n=0}\right(t)⟩=x_1(t\left)\right|+,+\mathrm{,0}⟩+x_2\left(t\right)|+,-\mathrm{,1}⟩+x_3(t\left)\right|-,+\mathrm{,1}⟩+x_4\left(t\right)|-,-\mathrm{,2}⟩+\sin \varphi |-,-\mathrm{,0}⟩,$

б) для случая начального числа фотонов в моде $n=1$:

$\left|{\psi }_{n=1}\right(t)⟩=y_1(t\left)\right|+,+\mathrm{,1}⟩+y_2\left(t\right)|+,-\mathrm{,2}⟩+y_3|-,+\mathrm{,2}⟩+y_4\left(t\right)|-,-\mathrm{,3}⟩+Z_1(t\left)\right|+,-\mathrm{,0}⟩+Z_2\left(t\right)|-,+\mathrm{,0}⟩+$

$+Z_3\left(t\right)|-,-\mathrm{,1}⟩,$

в) для случая начального числа фотонов в моде $n\ge 2$:

$\left|{\psi }_{n\ge 2}\right(t)⟩=c_1(t\left)\right|+,+,n⟩+c_2\left(t\right)|+,-,n+1⟩+c_3(t\left)\right|-,+,n+1⟩+c_4\left(t\right)|-,-,n+2⟩+k_1(t\left)\right|+,+,n-2⟩+$

$+k_2\left(t\right)|+,-,n-1⟩+k_3(t\left)\right|-,+,n-1⟩+k_4\left(t\right)|-,-,n⟩.$

Временные коэффициенты находятся из следующих систем дифференциальных уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}i{\dot{Z}}_1\left(t\right)=g{Z}_3\left(t\right)\\ i{\dot{Z}}_2\left(t\right)=g{Z}_3\left(t\right)\\ i{\dot{Z}}_3\left(t\right)=g\left(Z_1\left(t\right)+Z_2\left(t\right)\right)\end{array}\right.,\left\{\begin{array}{l}i{\dot{k}}_1\left(t\right)=g\sqrt{n-1}\left(k_2\right(t)+k_3(t\left)\right)\\ i{\dot{k}}_2\left(t\right)=g\left(\sqrt{n-1}{k}_1\left(t\right)+\sqrt{n}{k}_4\left(t\right)\right)\\ i{\dot{k}}_3\left(t\right)=g\left(\sqrt{n-1}{k}_1\left(t\right)+\sqrt{n}{k}_4\left(t\right)\right)\\ i{\dot{k}}_4\left(t\right)=g\sqrt{n}\left(k_2\left(t\right)+k_3\left(t\right)\right)\end{array}\right.,$ (22)

$\left\{\begin{array}{l}i{\dot{c}}_1\left(t\right)=g\sqrt{n+1}\left(c_2\right(t)+c_3(t\left)\right)\\ i{\dot{c}}_2\left(t\right)=g\left(\sqrt{n+1}{c}_1\left(t\right)+\sqrt{n+2}{c}_4\left(t\right)\right)\\ i{\dot{c}}_3\left(t\right)=g\left(\sqrt{n+1}{c}_1\left(t\right)+\sqrt{n+2}{c}_4\left(t\right)\right)\\ i{\dot{c}}_4\left(t\right)=g\sqrt{n+2}\left(c_2\left(t\right)+c_3\left(t\right)\right)\end{array}\right..$ (23)

Решая системы дифференциальных уравнений (21) со следующими начальными условиями: $k_1\left(0\right)=k_2\left(0\right)=k_3\left(0\right)=\mathrm{0,}{k}_4\left(0\right)=\sin \varphi$ и $Z_1\left(0\right)=Z_2\left(0\right)=\mathrm{0,}{Z}_3\left(0\right)=\sin \varphi$, находим аналитические выражения для временных коэффициентов $k_i\left(t\right)$, $Z_i\left(t\right)$:

$Z_1\left(t\right)=-\frac{i\cdot \sin \left(\sqrt{2}\gamma t\right)\cdot \sin \varphi }{\sqrt{2}},Z_2\left(t\right)=-\frac{i\cdot \sin \left(\sqrt{2}\gamma t\right)\cdot \sin \varphi }{\sqrt{2}},Z_3\left(t\right)=\cos \left(\sqrt{2}\gamma t\right)\cdot \sin \varphi ,$

$k_1\left(t\right)=-\frac{2\cdot \sqrt{n-1}\cdot \sqrt{n}\cdot {\sin }^2\left(\sqrt{n-\frac{1}{2}}\cdot \gamma t\right)\cdot \sin \varphi }{2n-1},k_2\left(t\right)=-\frac{i\cdot \sqrt{n}\cdot \sin (\sqrt{4n-2}\cdot \gamma t)\cdot \sin \varphi }{\sqrt{4n-2}},$

$k_3\left(t\right)=-\frac{i\cdot \sqrt{n}\cdot \sin (\sqrt{4n-2}\cdot \gamma t)\cdot \sin \varphi }{\sqrt{4n-2}},k_4\left(t\right)=\frac{\left(n-1+n\cdot \cos (\sqrt{4n-2}\cdot \gamma t)\right)\sin \varphi }{2n-1}.$

Для того чтобы найти временные коэффициенты $y_i\left(t\right),x_i\left(t\right)$, нужно учесть следующее: $c_i\left(t\right)\to y_i\left(t\right)$ при числе фотонов в моде $n=1$ и $c_i\left(t\right)\to x_i\left(t\right)$ при числе фотонов в моде $n=0$.

Для системы дифференциальных уравнений (23) используем следующие начальные условия: $c_1\left(0\right)=\cos \varphi ,c_2\left(0\right)=c_3\left(0\right)=c_4\left(0\right)$. В итоге получаем следующие аналитические формулы для $c_i\left(t\right)$:

$c_1\left(t\right)=\frac{\left(n+2+(n+1)\cdot \cos (\sqrt{4n+6}\cdot \gamma t)\cdot \right)\cos \varphi }{2n+3},c_2\left(t\right)=-\frac{i\cdot \sqrt{n+1}\cdot \cos \varphi \cdot \sin (\sqrt{4n+6}\cdot \gamma t)}{\sqrt{4n+6}},$

$c_3\left(t\right)=-\frac{i\cdot \sqrt{n+1}\cdot \cos \varphi \cdot \sin (\sqrt{4n+6}\cdot \gamma t)}{\sqrt{4n+6}},c_4\left(t\right)=-\frac{2\cdot \sqrt{n+1}\cdot \sqrt{n+2}\cdot \cos \varphi \cdot {{\displaystyle \sin }}^2\left(\sqrt{n+\frac{3}{2}}\cdot \gamma t\right)}{2n+3}.$

Двухкубитная матрица плотности в начальный момент времени для начального состояния (21) выражается формулой:

$M_{Q_1{Q}_2}\text{(}0\text{)}=|\Psi \text{(}0\text{)}{⟩}_{Q_1{Q}_2{Q}_1{Q}_2}⟨\Psi \text{(}0\text{)}|=\left(\begin{array}{cccc}{M}_{11}& 0& 0& M_{14}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ M_{41}& 0& 0& M_{44}\end{array}\right),$ (24)

где элементы матрицы плотности задаются формулами

$M_{11}=⟨+,+\left|M_{Q_1{Q}_2}\right(0\left)\right|+,+⟩={\cos }^2\varphi ,M_{44}=⟨-,-\left|M_{Q_1{Q}_2}\right(0\left)\right|-,-⟩={\sin }^2\varphi ,$

$M_{14}=⟨+,+\left|M_{Q_1{Q}_2}\right(0\left)\right|-,-⟩=\cos \varphi \sin \varphi ,M_{41}=⟨-,-\left|M_{Q_1{Q}_2}\right(0\left)\right|+,+⟩=\sin \varphi \cos \varphi .$

Запишем матрицу конечного смешанного состояния ${\rho }_{Q_1{Q}_2}\left(t\right)$ в произвольный момент времени $t$ для начального состояния (21):

${\text{ρ}}_{Q_1{Q}_2}\text{(}t\text{)}=\sum _{n=0}^{\infty }{p}_n|{\psi }_n\text{(}t\text{)}⟩⟨{\psi }_n\text{(}t\text{)}|=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& 0& 0& {\rho }_{14}\\ 0& {\rho }_{22}& {\rho }_{23}& 0\\ 0& {\rho }_{32}& {\rho }_{33}& 0\\ {\rho }_{41}& 0& 0& {\rho }_{44}\end{array}\right).$ (25)

Теперь подставим матрицы (24) и (25) в формулу (14) и получим для степени совпадения следующую формулу:

$F={\rho }_{11}{\cos }^2\varphi +({\rho }_{14}+{\rho }_{41})\cos \varphi \sin \varphi +{\rho }_{44}{\sin }^2\varphi ,$ (26)

где элементы матрицы плотности имеют следующий вид:

${\rho }_{11}=⟨+,+\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2}\right(t\left)\right|+,+⟩=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[\left|c_1\right(t){|}^2+|k_1\left(t\right){|}^2\right]+p_1\left|y_1\right(t){|}^2+p_0|x_1\left(t\right){|}^2,$

${\rho }_{44}=⟨-,-\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2\left(t\right)}\right|-,-⟩=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[\left|c_4\right(t){|}^2+|k_4\left(t\right){|}^2\right]+p_1\left[\left|y_4\right(t){|}^2+|Z_3\left(t\right){|}^2\right]+p_0\left[\left|x_4\right(t){|}^2+{\sin }^2\varphi \right],$

${\rho }_{14}=⟨+,+\left|{\rho }_{Q_1{Q}_2}\right(t\left)\right|-,-⟩=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n{c}_1\left(t\right)k_4^{*}\left(t\right)+p_1{y}_1\left(t\right)Z_3^{*}\left(t\right)+p_0{x}_1\left(t\right)\sin \varphi ,{\rho }_{41}={\rho }_{14}^{*}.$

3. Результаты и их обсуждение

Результаты компьютерного моделирования временной зависимости степени совпадения $F\left(t\right)$ от приведенного времени $\gamma t$ для начального истинно перепутанного $GHZ$-состояния (2) в случае $\theta =\pi /4$ и различных значений среднего числа фотонов представлены на рис. 1. Из рисунка хорошо видно, что взаимодействие кубитов с тепловым полем резонатора приводит к осцилляциям Раби параметра перепутывания кубитов. При этом увеличение среднего числа фотонов в моде приводит к уменьшению максимальной степени перепутывания. Это означает, что при увеличении интенсивности шума состояние трех кубитов все менее походит на начальное перепутанное GHZ-состояние и все ближе к сепарабельному состоянию. Для сравнения на рис. 2 показаны аналогичные зависимости степени совпадения $F\left(t\right)$ для двухкубитной модели с начальным состоянием (20) в случае $\varphi =\pi /4$. Сравнение графиков показывает, что в случае двухкубитной системы тепловой шум приводит к существенно меньшему разрушению начального максимально перепутанного состояния, нежели в случае трехкубитной системы. Это говорит нам о том, что истинно перепутанное GHZ-состояние менее устойчиво по отношению к внешнему шуму, чем двухкубитное состояние вида (21). Временная зависимость степени совпадения $F\left(t\right)$ от приведенного времени $\gamma t$ для начального $GHZ$-подобного перепутанного состояния (3) в случае $\phi =\pi /4$ и различных значений среднего числа фотонов представлена на рис. 3. Из рисунка видно, что, как и для двух предыдущих состояний, взаимодействие кубитов с тепловым полем резонатора приводит к осцилляциям Раби параметра перепутывания кубитов. Однако в отличие от начального истинно перепутанного GHZ-состояния в рассматриваемом случае увеличение среднего числа тепловых фотонов в моде приводит к более существенному уменьшению максимальной степени перепутывания кубитов. Таким образом, $GHZ$-подобное перепутанное состояние значительно менее устойчиво по отношению к разрушающему действию теплового шума.

 

Рис. 1: График зависимости параметра степени совпадения $\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ от приведенного времени $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ для начального GHZ-состояния вида (2) с $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ для различных средних чисел тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}$: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0.05}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{2.5}$ (точечная линия) ( a); $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{3}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$ (точечная линия) ( b)

Fig. 1. Graph of the dependence of the fidelity $\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ on the reduced time $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ for the initial GHZ state of the form (2) with $\mathit{\theta }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ for various average numbers of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}$: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0.05}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (dashed line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{2.5}$ (dotted line) ( a); $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{3}$ (dashed line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$ (dotted line) ( b)

 

Рис. 2: График зависимости параметра степени совпадения $\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ от приведенного времени $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ для начального двухкубитного состояния вида (21) с $\mathit{\varphi }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ для различных средних чисел тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}$: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0.05}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{2.5}$ (точечная линия) ( a); $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{3}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$ (точечная линия) ( b)

Fig. 2. Graph of the dependence of the fidelity $\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ on the reduced time $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ for the initial two-qubit state of the form (21) with $\mathit{\varphi }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ for various average numbers of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}$: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0.05}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$(dotted line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{2.5}$ (dotted line) ( a); $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{3}$ (dotted line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$ (dotted line) ( b)

 

Рис. 3: График зависимости параметра степени совпадения $\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ от приведенного времени $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ для начального GHZ подобного состояния (3) с $\mathit{\varphi }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ для различных средних чисел тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}$: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0.05}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{2.5}$ (точечная линия) ( a); $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{3}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$ (точечная линия) ( b)

Fig. 3. Graph of the dependence of the fidelity $\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ on the reduced time $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ for the initial GHZ like state (3) with $\mathit{\varphi }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}$ for various average numbers of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}$: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0.05}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (dotted line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{2.5}$ (dotted line) ( a); $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{3}$ (dotted line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{10}$ (dotted line) ( b)

 

Выводы

Таким образом, в данной статье нами исследована динамика перепутывания в системе, состоящей из трех идентичных кубитов, резонансно взаимодействующих с общей модой теплового поля идеального резонатора. В работе рассмотрены два типа начальных состояний кубитов: истинно перепутанноее состояние $GHZ$-типа (2) и $GHZ$-подобное перепутанное состояние (3). Нами найдено точное решение квантового уравнения Лиувилля для начальных состояний кубитов и теплового состояния поля резонатора. На основе точного решения нами рассчитана временная зависимость параметра перепутывания кубитов. В качестве критерия перепутывания кубитов выбран параметр, называемый степенью совпадения. В нашем случае данный параметр определяет степень совпадения трехкубитной матрицы плотности в произвольный момент времени $t$ и начальной трехкубитной матрицы плотности чистых состояний (2) и (3). Для сравнения результатов нами проведен также аналогичный расчет степени совпадения в случае двухкубитной системы с начальным состоянием вида (21) и теплового поля резонатора. Результаты численного моделирования степени совпадения показали, что для всех выбранных начальных состояний кубитов их взаимодействие с тепловым полем резонатора приводит к осцилляциям Раби параметра перепутывания кубитов с уменьшением амплитуд осцилляций в процессе эволюции. При этом увеличение интенсивности поля резонатора приводит к уменьшению максимальной степени перепутывания кубитов. Показано также, что наименее устойчивым по отношению к внешнему шуму является $GHZ$-подобное трехкубитное состояние (3), а наиболее устойчивым — двухкубитное перепутанное состояние (21).

About the authors

Alexander R. Bagrov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: alexander.bagrov00@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1098-0300

Master’s Degree Student of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Eugene K. Bashkirov

Samara National Research University

Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References