Comparison of nonparametric estimates of the survival functions

1 Предварительные сведения

Исследования непараметрических оценок, экспоненциальной, множительной и степенной структур показывают их асимптотическую эквивалентность (при $n\to \infty$ ). Некоторые отличительные свойства этих оценок проявляются при фиксированном объеме выборки, и они проведены в монографии $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Пусть $\mathrm{<mo>\{</mo>}{Z}_j\mathrm{,}j\ge \mathrm{1<mo>\}</mo>}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>}{Y}_j\mathrm{,}j\ge \mathrm{1<mo>\}</mo>}$ $—$ взаимонезависимые последовательности, независимые и одинаково распределенные случайная величина с непрерывными функциями распределения $H$ и $G$ соответственно. Наблюдается выборка объема $n$:

                                                         $C^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_j\mathrm{,}{\Delta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}1\le j\le n\mathrm{<mo>\}</mo>,}$

где

                                                             ${\xi }_j\mathrm{<mo>=</mo>}\min \left(Z_j\mathrm{<mo>;</mo>}{Y}_j\right)\mathrm{,}$

                                                               ${\Delta }_j\mathrm{<mo>=</mo><mi>\; </mi>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Z}_j\le Y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

( $I\left(A\right)$ $—$ это индикатор события $A$.

$1.$ Если $Z_j\le Y_j$, то ${\xi }_j\mathrm{<mo>=</mo>}\text{min}\left(Z_j\mathrm{<mo>;</mo>}{Y}_j\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}_j$, ${\Delta }_j\mathrm{<mo>=</mo>1}$, и в этом случае мы можем наблюдать $Z$;

$2.$ Если $Y_j\le Z_j$, то ${\xi }_j\mathrm{<mo>=</mo>}\text{min}\left(Z_j\mathrm{<mo>;</mo>}{Y}_j\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_j$, ${\Delta }_j\mathrm{<mo>=</mo>0}$, это будет случай цензурирования.

Задача состоит в оценивании функции выживания $1-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по выборке $C^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ при мешающей функции распределения $G$. Для $1-H$ справедливо представление [2]:

                                                          $1-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где

                                         $\Lambda \left(x\mathrm{<mo>;</mo>1}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\left(-\infty \mathrm{<mo>;</mo>}x\right]}{\int }}{\left(1-H\left(u-\right)\right)}^{-1}dH\left(u\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\left(-\infty \mathrm{<mo>;</mo>}x\right]}{\int }}{\left(1-N\left(u-\right)\right)}^{-1}dM\left(u\mathrm{<mo>;</mo>1}\right)\mathrm{,}$

                                          $N\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left({\xi }_j\le x\right)\mathrm{<mo>=</mo>1}-\left(1-H\left(x\right)\right)\left(1-G\left(x\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>}M\left(x\mathrm{<mo>;</mo>1}\right)+M\left(x\mathrm{<mo>;</mo>0}\right)\mathrm{,}$

                                                       $M\left(x\mathrm{<mo>;</mo>1}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\left({\xi }_j\le x\mathrm{,}{\Delta }_j\mathrm{<mo>=</mo>}i\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>1.}$

                                       $\begin{array}{c}{H}_{1n}\left(x\right)=1-\prod _{u\le x}\exp \left\{-\frac{M_n\left(u;1\right)-M_n\left(u-;1\right)}{1-N_n\left(u-\right)}\right\}=1-\exp \left(-{\Lambda }_n\left(x;1\right)\right),\\ H_{2n}\left(x\right)=1-\prod _{u\le x}\exp \left\{1-\frac{M_n\left(u;1\right)-M_n\left(u-;1\right)}{1-N_n\left(u-\right)}\right\},\\ H_{3n}\left(x\right)=1-{\left(1-N_n\left(x\right)\right)}^{R_n\left(x\right)},\\ \end{array}\left(1\right)$

где

                                                         $R_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{,}$

                                                    ${\Lambda }_n\left(x\mathrm{<mo>;</mo>1}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\left(-\infty \mathrm{<mo>;</mo>}x\right]}{\int }}{\left(1-N_n\left(u-\right)\right)}^{-1}d{M}_n\left(u\mathrm{<mo>;</mo>1}\right)\mathrm{,}$

                                                      ${\Lambda }_n\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\left(-\infty \mathrm{<mo>;</mo>}x\right]}{\int }}{\left(1-N_n\left(u-\right)\right)}^{-1}d{N}_n\left(u\right)\mathrm{,}$

                                                  $N_n\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{M}_n\left(x\mathrm{<mo>;</mo>1}\right)+M_n\left(x\mathrm{<mo>;</mo>0}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}I\left({\xi }_j\le x\right)\mathrm{,}$

                                                    $M_n\left(x\mathrm{<mo>;</mo>}i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}I\left({\xi }_j\le x\mathrm{,}{\Delta }_j\mathrm{<mo>=</mo>}i\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>0,1.}$

Таким образом, рассматриваемая модель является моделью случайного цензурирования справа $Z_j$ при помощи $Y_j$, где $Z_j$ наблюдаемы лишь при ${\Delta }_j\mathrm{<mo>=</mo>}1$.

Пусть $G_{1n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $G_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $G_{3n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответствующие оценки мешающей функции распределения $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определяемые формулами (1) с заменой $M_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на $M_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ В рассматриваемой модели $1-N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для всех $x\in ℝ$. Однако для этих трех типов оценок имеем:

 I.

                                               $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-H_{1n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-G_{1n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\Lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 1-N_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}$

и при

                                                            $x\ge {\xi }_{\left(n\right)}=\text{\hspace{0.05em}max1⩽i⩽n}\left\{{\xi }_i\right\},$

                                                          $\max \left(H_{1n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}{G}_{1n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo><</mo>1.}$

 II.

                                                     $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-H_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-G_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 1-N_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}$

и при

                                                                 $x\ge {\xi }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$

оценки $H_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mi>\; </mi>}$ и $G_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mi>\; </mi>}$ неопределенны.

 III. Для степенных оценок

                                                      $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-H_{3n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-G_{3n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-N_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}$

и, следовательно, при $x\ge {\xi }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $H_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{G}_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1.}$

Таким образом, для случая непрерывных распределений H и G, только оценки степенной структуры H ${}_3$ ${}_n$ и G ${}_3$ ${}_n$ являются идентифицируемыми с моделью. Для демонстрации свойств оценок (1) рассмотрим выборку объема $n\mathrm{<mo>=</mo>97}$ из работ [3; 5]. Это данные из центра уединения Ченнинг Хаус (Channing House) в г. Пало Альто (Palo Alto) в Калифорнии (США). Вариационный ряд, построенный по этим данным, есть:

(777;1), (781;0), (843;0), (866;0), (869;1), (872;1), (876;1), (893;1), (894;1), (895;0), (898;1), (906;0), (907;1), (909;1), (911;1), (911;0), (914;0), (927;1), (932;1), (936;0), (940;0), (942,5;0), (943;0), (945;1), (945;0), (948;1), (951;0), (953;0), (956;0), (957;1), (957;0), (959;0), (960;0), (966;1), (966;0), (969;1), (970;0), (971;1), (972;0), (973;0), (977;0), (983;1), (984;0), (985;1), (989;1), (992,5;1), (993;1), (996;1), (998;1), (1001;0), (1002;0), (1005;0), (1006;0), (1009;1), (1011,5;1), (1012;1), (1012;0), (1013;0), (1015;0), (1016;0), (1018;0), (1022;1), (1023;0), (1025;1), (1027;0), (1029;1), (1031;1), (1031;0), (1031,5;0), (1033;1), (1036;1), (1043;1), (1043;0), (1044;1), (1044;0), (1045;0), (1047;0), (1053;1), (1055;1), (1058;0), (1059;1), (1060;1), (1060;0), (1064;0), (1070;0), (1073;0), (1080;1), (1085;1), (1093;0), (1093,5;1), (1094;1), (1106;0), (1107;0), (1118;0), (1128;1), (1139;1), (1153;0).

Здесь данные представлены в месяцах, причем находящееся с рядом число $1$ в парах означает нецензурирование (т. е. смерть), а $0$ $—$ цензурирование. При этом 46 человек умерли с начала открытия центра в 1964 году по 1 июля 1975 года ко дню сбора данных. Это нецензурированные данные. Из остальных данных о 51 человеке 5 были выписаны из центра, а 46 еще были живы к 1 июля 1975 года. Это цензурированные данные. По этим 97 данным приведены графики оценок $H_m{}_{\mathrm{<mo>;</mo>97}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}m\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3}$ на рис. 1$–$3 по отдельности и на рис. 4 вместе:

Figure 1: Оценка $1-H_{1;97}\left(x\right)$

 Fig. 1. Estimator  $1-H_{1;97}\left(x\right)$

Figure 2: Оценка $1-H_{2;97}\left(x\right)$

 Fig. 2. Estimator $1-H_{2;97}\left(x\right)$

Figure 3: Оценка $1-H_{3;97}\left(x\right)$

 Fig. 3. Estimator $1-H_{3;97}\left(x\right)$ 

Figure 4: Оценка $1-{H_m}_{;97}\left(x\right),m=\mathrm{1,2,3}$

 Fig. 4. Estimator $1-{H_m}_{;97}\left(x\right),m=\mathrm{1,2,3}$

Из рисунков видно, что в отличие от экспоненциальных и множительных оценок только степенные оценки определены на всей прямой. Теперь при помощи оценок (1) построим доверительные полосы для неизвестной функции $1-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для этого будем следовать работам [3; 4] и используем доверительные полосы вида

                                               $M_{mn}^{*}\left(x,{\mu }_1,{\mu }_2\right)=\left[{\widehat{M}}_{mn}^{\left(1\right)}\left(x,{\mu }_1,{\mu }_2\right);M_{mn}^{\left(2\right)}\left(x,{\mu }_1,{\mu }_2\right)\right],$

где $m=\mathrm{1,2,3,}$

                                        ${\widehat{M}}_{mn}^{\left(1\right)}\left(x,{\mu }_1,{\mu }_2\right)=H_{mn}\left(x\right)-n^{-\frac{1}{2}}\left(1-H_{mn}\left(x\right)\right)\left({\mu }_1{d}_n^{\frac{1}{2}}\left(T\right)+{\mu }_2\cdot \frac{d_n\left(x\right)}{d_n^{\frac{1}{2}}\left(T\right)}\right),$

 $M_{mn}^{\left(2\right)}\left(x,{\mu }_1,{\mu }_2\right)=\frac{H_{mn}\left(x\right)+n^{-\frac{1}{2}}\left({\mu }_1{d}_n^{\frac{1}{2}}\left(T\right)+{\mu }_2\frac{d_n\left(x\right)}{d_n^{\frac{1}{2}}\left(T\right)}\right)}{1+n^{-\frac{1}{2}}\left({\mu }_1{d}_n^{\frac{1}{2}}\left(T\right)+{\mu }_2\frac{d_n\left(x\right)}{d_n^{\frac{1}{2}}\left(T\right)}\right)},$

$T\mathrm{<mo>=</mo>1128}$; ${\mu }_1\mathrm{<mo>=</mo>1}$; ${\mu }_2\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,37}$ и $d_n\left(x\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\left(-\infty \mathrm{<mo>;</mo>}x\right]}{\int }}{\left(1-N_n\left(u-\right)\right)}^{-2}d{M}_n\left(u\mathrm{<mo>;</mo>1}\right)\mathrm{.}$ Эти полосы для данных объема n=97 с использованием оценок (1) приведены на рис. 5$–$7.

Figure 5: Доверительные полосы $M_1{{}^{*}}_{;97}(x;1;\mathrm{1,37})$

 Fig. 5. Confidence bands $M_1{{}^{*}}_{;97}(x;1;\mathrm{1,37})$

Figure 6: Доверительные полосы $M_2{{}^{*}}_{;97}(x;1;\mathrm{1,37})$

 Fig. 6. Confidence bands $M_2{{}^{*}}_{;97}(x;1;\mathrm{1,37})$

Figure 7: Доверительные полосы $M_3{{}^{*}}_{;97}(x;1;\mathrm{1,37})$

 Fig. 7. Confidence bands $M_3{{}^{*}}_{;97}(x;1;\mathrm{1,37})$

Заключение

 Сравнивают три вида оценок: экспоненциальной, множительной и степенной для функции выживания при случайном цензурировании справа. Ранее была установлена асимптотическая эквивалентность этих трех видов оценок при растущем объеме выборки в смысле сходимости к одному и тому же гауссовскому процессу. Для конкретной конечной выборки объема $n=97$ показаны некоторые преимущества степенной оценки по сравнению с остальными двумя. Следовательно, эта оценка лучше, чем остальные. Имеются численные примеры демонстрации результатов.