Объемы многогранников в неевклидовых пространствах постоянной кривизны

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Вычисление объемов многогранников является классической задачей геометрии, известной со времен античной математики и не потерявшей актуальность в настоящее время. Проблема получения формул объемов трехмерных неевклидовых многогранников заданного комбинаторного типа весьма сложна. В настоящее время она полностью решена для самого простого с комбинаторной точки зрения многогранника - тетраэдра. Однако известно, что в случае многогранника специального вида формула для его объема заметно упрощается. Этот факт заметил еще Н. И. Лобачевский, который нашел объем так называемого идеального тетраэдра в гиперболическом пространстве (все вершины данного тетраэдра находятся на абсолюте). В настоящем обзоре будут представлены основные результаты об объемах произвольных неевклидовых тетраэдров, а также многогранников специального вида (как тетраэдров, так и многогранников, имеющих более сложное комбинаторное строение) в трехмерном сферическом и гиперболическом пространствах постоянной кривизны K = 1 и K = -1 соответственно. Кроме того, мы изложим новый метод И. Х. Сабитова вычисления объемов тел в гиперболическом пространстве (заданном моделью Пуанкаре в верхнем полупространстве), который позволяет получать явные формулы для объемов многогранников произвольной размерности через координаты вершин. При этом, наряду с обзором основных формул для объемов неевклидовых многогранников, мы будем приводить доказательства (или наброски доказательств) данных формул. Это поможет сформировать у читателя представление об основных методах вычисления объемов тел в неевклидовых пространствах постоянной кривизны.

Об авторах

В. А. Краснов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: krasnov_va@rudn.university
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Список литературы

  1. Абросимов Н. В. К решению проблемы Зейделя об объемах гиперболических тетраэдров// Сиб. электрон. мат. изв. - 2009. - 6. - С. 211-218.
  2. Абросимов Н. В. Проблема Зейделя об объеме неевклидового тетраэдра// Докл. РАН. - 2010. - 435, № 1. - С. 7-10.
  3. Абросимов Н. В., Байгонакова Г. А. Гиперболический октаэдр с mmm-симметрией// Сиб. мат. ж. - 2013. - 10. - С. 123-140.
  4. Абросимов Н. В., Выонг Хыу Б. Объем гиперболического тетраэдра с группой симметрии S4// Тр. ИММ УрО РАН. - 2017. - 23, № 4. - С. 2-17.
  5. Абросимов Н. В., Годой-Молина М., Медных А. Д. Об объеме сферического октаэдра с симметриями// Соврем. мат. и ее прилож. - 2008. - 60.- С. 3-12.
  6. Абросимов Н. В., Кудина Е. С., Медных А. Д. Об объеме гиперболического октаэдра, допускающего ¯3-симметрию// Тр. МИАН. - 2015. - 288.- С. 7-15.
  7. Абросимов Н. В., Кудина Е. С., Медных А. Д. Объем гиперболического гексаэдра, допускающего ¯3- симметрию// Сиб. электрон. мат. изв. - 2016. - 13. - С. 1150-1158.
  8. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского// Мат. сб. - 1970. - 81.- С. 445-478.
  9. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского// Мат. сб. - 1970. - 83. - С. 256-260.
  10. Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны// Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направл. - 1988. - 29. - С. 1-146.
  11. Байгонакова Г. А., Годой-Молина М., Медных А. Д. О геометрических свойствах гиперболического октаэдра, обладающего mmm-симметрией// Вестн. Кемеровского гос. ун-та. - 2011. - 47, № 3/1. - С. 13-18.
  12. Бухштабер В. М., Ероховец Н. Ю., Масуда М., Панов Т. Е., Пак С. Когомологическая жесткость многообразий, задаваемых трехмерными многогранниками// Усп. мат. наук. - 2017. - 434, № 2. - С. 3-66.
  13. Бухштабер В. М., Панов Т. Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. - М.: МЦНМО, 2004.
  14. Веснин А. Ю. Объемы трехмерных гиперболических многообразий Лебелля// Мат. заметки. - 1998. - 64, № 1. - С. 17-23.
  15. Веснин А. Ю. Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия// Усп. мат. наук. - 2017. - 434, № 2. - С. 147-190.
  16. Винберг Э. Б. Объемы неевклидовых многогранников// Усп. мат. наук. - 1993. - 290, № 2. - С. 17-46.
  17. Гайфуллин А. А. Вложенные изгибаемые сферические кросс-политопы с непостоянными объемами// Тр. МИАН. - 2015. - 288.- С. 67-94.
  18. Гайфуллин А. А. Аналитическое продолжение объема и гипотеза кузнечных мехов в пространствах Лобачевского// Мат. сб. - 2015. - 206, № 11. - С. 61-112.
  19. Галиулин Р. В., Михалев С. Н., Сабитов И. Х. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра// Мат. заметки. - 2004. - 76, № 1. - С. 27-43.
  20. Деревнин Д. А., Медных А. Д. Объем сферического куба Ламберта// Мат. заметки. - 2009. - 86, № 2. - С. 190-201.
  21. Деревнин Д. А., Медных А. Д., Пашкевич М. Г. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах// Сиб. мат. ж. - 2004. - 45, № 5. - С. 1022-1031
  22. Колпаков А. А., Медных А. Д., Пашкевич М. Г. Формула объема Z2-симметричного тетраэдра// Сиб. мат. ж. - 2011. - 52, № 3. - С. 577-594.
  23. Краснов В. А. Об интегральных формулах объема гиперболических тетраэдров// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2013. - 49. - С. 89-98.
  24. Краснов В. А. Об объеме гиперболического октаэдра с нетривиальными симметриями// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2013. - 51.- С. 74-86.
  25. Краснов В. А. Неевклидовы октаэдры с mm2-симметрией// Мат. заметки. - 2016. - 99,№ 1. - С. 145- 148.
  26. Краснов В. А. Об объемах гиперболических симплексов// Мат. заметки. - 2019. - 106, № 6. - С. 866- 880.
  27. Краснов В. А. О применении современного доказательства формулы Сфорца к вычислению объемов гиперболических тетраэдров специального вида// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2019. - 65,№ 4. - С. 623-634.
  28. Лобачевский Н. И. Воображаемая геометрия// Полн. собр. соч. Т. 3. - M.-Л.: 1949.
  29. Петров Ф. В. Вписанные четырёхугольники и трапеции в абсолютной геометрии// В сб.: «Математи- ческое просвещение. 13». - М.: МЦНМО, 2009. - С. 149-154.
  30. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - M.: Наука, 1981.
  31. Сабитов И. Х. Объем многогранника как функция его метрики// Фундам. и прикл. мат. - 1996. - 2, № 4. - С. 1235-1246.
  32. Сабитов И. Х. Объемы многогранников// В сб.: «Математическое просвещение. 21». - М.: МЦНМО, 2009.
  33. Сабитов И. Х. Об одном методе вычисления объемов тел// Сиб. электрон. мат. изв. - 2013. - № 10. - С. 615-626.
  34. Сабитов И. Х. Гиперболический тетраэдр: вычисление объема с применением к доказательству фор- мулы Шлефли// Модел. и анализ информ. систем. - 2013. - 20, № 6. - С. 149-161.
  35. Соколова Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского// Сиб. электрон. мат. изв. - 2012. - 9. - С. 256-260.
  36. Abrosimov N. V., Mednykh A. D. Volumes of polytopes in spaces of constant curvature// Fields Inst. Commun.- 2014.- 70, № 1. - С. 1-26.
  37. Alexandrov V. A. An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space// Beitr. Algebra Geom. - 1997. - 38, № 1. - С. 11-18.
  38. Bilinski S. Zur Begru¨ ndung der elementaren Inhaltslehre in der hyperbolischen Ebene// Math. Ann. - 1969. - 180. - С. 256-268.
  39. Bolyai J. Appendix. The theory of space// В сб.: «Janos Bolyai». - Budapest, 1987.
  40. Cho Yu., Kim H. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra// Discrete Comput. Geom. - 1999. - 22. - С. 347-366.
  41. Connely R., Sabitov I., Walz A. The bellows conjecture// Contrib. Algebra Geom. - 1997. - 38, № 1. - C. 1-10.
  42. Coxeter H. S. M. The functions of Schla¨fli and Lobatschefsky// Quarterly J. Math. Oxford. - 1935. - 6.- С. 13-29.
  43. Coxeter H. S. M., Greitzer S. L. Geometry Revisited. - Washington: The Mathematical Association of America, 1967.
  44. Derevnin D. A., Mednykh A. D. A formula for the volume of hyperbolic tetrahedron// Russ. Math. Surv. - 2005. - 60, № 2. - С. 346-348.
  45. Diaz R. A characterization of Gram matrices of polytopes// Discrete Comput. Geom. - 1999. - 21,№ 4. - С. 581-601.
  46. Dickinson W., Salmassi M. The right right triangle on the sphere// College Math. J. - 2008. - 39,№ 1. - С. 24-33.
  47. Gaifullin A. A. Sabitov polynomials for polyhedra in four dimensions// Adv. Math. - 2014. - 252.- С. 586-611.
  48. Gaifullin A. A. Generalization of Sabitov’s theorem to polyhedra of arbitrary dimensions// Discrete Comput. Geom. - 2014. - 52, № 2. - С. 195-220.
  49. Gaifullin A. A. The bellows conjecture for small flexible polyhedra in non-Euclidean spaces// Mosc. Math. J. - 2017. - 17, № 2. - С. 269-290.
  50. Guo R., So¨nmez N. Cyclic polygons in classical geometry// C. R. Acad. Bulgare Sci. - 2011. - 64,№ 2. - С. 185-194.
  51. Kellerhals R. On the volume of hyperbolic polyhedra// Math. Ann. - 1989. - 285, № 4. - С. 541-569.
  52. Kneser H. Der Simplexinhalt in der nichteuklidischen Geometrie// Deutsche Math. - 1936. - 1. - С. 337- 340.
  53. MClelland J. W., Preston T. A Treatise on Spherical Trigonometry with Application to Spherical Geometry and Numerous Examples. Part II. - London: Macmillian and Co., 1886.
  54. Mednykh A. D. Brahmagupta formula for cyclic quadrilaterals in the hyperbolic plane// Сиб. электрон. мат. изв. - 2012. - 9. - С. 247-255
  55. Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years// Bull. Am. Math. Soc. - 1982. - 6, № 1. - С. 307-332.
  56. Mohanty Y. The Regge symmetry is a scissors congruence in hyperbolic space// Algebr. Geom. Topol. - 2003. - 3.- С. 1-31.
  57. Murakami J. The volume formulas for a spherical tetrahedron// Acta Math. Vietnam. - 2018. - 33,№ 3. - С. 219-253.
  58. Murakami J., Ushijima A. A volume formula for hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths// J. Geom. - 2005. - 83, № 1-2. - С. 153-163.
  59. Murakami J., Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron// Commun. Anal. Geom. - 2005. - 13. - С. 379-400.
  60. Murakami H., Yokota Y. Volume Conjecture for Knots. - Singapore: Springer, 2018.
  61. Schla¨ fli L. Theorie der vielfachen Kontinuita¨t// В сб.: «Gesammelte mathematische Abhandlungen». - Basel: Birkha¨user, 1950
  62. Sforza G. Spazi metrico-proiettivi// Ric. Esten. Different. Ser. - 1906. - 8, № 3. - C. 3-66
  63. Thurston W. Three-dimensional manifold, Kleinian groups and hyperbolic geometry// Bull. Am. Math. Soc. (N.S.). - 1982. - 6, № 3. - С. 357-381
  64. Ushijima A. A volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra// Non-Euclid. Geom. - 2006. - 581. - С. 249-265
  65. Valentine J. E. An analogue of Ptolemy’s theorem and its converse in hyperbolic geometry// Pacific J. Math. - 1970. - 34. - С. 817-825
  66. Wimmer L. Cyclic polygons in non-Euclidean geometry// Elem. Math. - 2011. - 66. - С. 74-82

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».