Объемы многогранников в неевклидовых пространствах постоянной кривизны

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Вычисление объемов многогранников является классической задачей геометрии, известной со времен античной математики и не потерявшей актуальность в настоящее время. Проблема получения формул объемов трехмерных неевклидовых многогранников заданного комбинаторного типа весьма сложна. В настоящее время она полностью решена для самого простого с комбинаторной точки зрения многогранника - тетраэдра. Однако известно, что в случае многогранника специального вида формула для его объема заметно упрощается. Этот факт заметил еще Н. И. Лобачевский, который нашел объем так называемого идеального тетраэдра в гиперболическом пространстве (все вершины данного тетраэдра находятся на абсолюте). В настоящем обзоре будут представлены основные результаты об объемах произвольных неевклидовых тетраэдров, а также многогранников специального вида (как тетраэдров, так и многогранников, имеющих более сложное комбинаторное строение) в трехмерном сферическом и гиперболическом пространствах постоянной кривизны K = 1 и K = -1 соответственно. Кроме того, мы изложим новый метод И. Х. Сабитова вычисления объемов тел в гиперболическом пространстве (заданном моделью Пуанкаре в верхнем полупространстве), который позволяет получать явные формулы для объемов многогранников произвольной размерности через координаты вершин. При этом, наряду с обзором основных формул для объемов неевклидовых многогранников, мы будем приводить доказательства (или наброски доказательств) данных формул. Это поможет сформировать у читателя представление об основных методах вычисления объемов тел в неевклидовых пространствах постоянной кривизны.

Об авторах

В. А. Краснов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: krasnov_va@rudn.university
117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Список литературы

  1. Абросимов Н. В. К решению проблемы Зейделя об объемах гиперболических тетраэдров// Сиб. электрон. мат. изв. - 2009. - 6. - С. 211-218.
  2. Абросимов Н. В. Проблема Зейделя об объеме неевклидового тетраэдра// Докл. РАН. - 2010. - 435, № 1. - С. 7-10.
  3. Абросимов Н. В., Байгонакова Г. А. Гиперболический октаэдр с mmm-симметрией// Сиб. мат. ж. - 2013. - 10. - С. 123-140.
  4. Абросимов Н. В., Выонг Хыу Б. Объем гиперболического тетраэдра с группой симметрии S4// Тр. ИММ УрО РАН. - 2017. - 23, № 4. - С. 2-17.
  5. Абросимов Н. В., Годой-Молина М., Медных А. Д. Об объеме сферического октаэдра с симметриями// Соврем. мат. и ее прилож. - 2008. - 60.- С. 3-12.
  6. Абросимов Н. В., Кудина Е. С., Медных А. Д. Об объеме гиперболического октаэдра, допускающего ¯3-симметрию// Тр. МИАН. - 2015. - 288.- С. 7-15.
  7. Абросимов Н. В., Кудина Е. С., Медных А. Д. Объем гиперболического гексаэдра, допускающего ¯3- симметрию// Сиб. электрон. мат. изв. - 2016. - 13. - С. 1150-1158.
  8. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского// Мат. сб. - 1970. - 81.- С. 445-478.
  9. Андреев Е. М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского// Мат. сб. - 1970. - 83. - С. 256-260.
  10. Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны// Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направл. - 1988. - 29. - С. 1-146.
  11. Байгонакова Г. А., Годой-Молина М., Медных А. Д. О геометрических свойствах гиперболического октаэдра, обладающего mmm-симметрией// Вестн. Кемеровского гос. ун-та. - 2011. - 47, № 3/1. - С. 13-18.
  12. Бухштабер В. М., Ероховец Н. Ю., Масуда М., Панов Т. Е., Пак С. Когомологическая жесткость многообразий, задаваемых трехмерными многогранниками// Усп. мат. наук. - 2017. - 434, № 2. - С. 3-66.
  13. Бухштабер В. М., Панов Т. Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. - М.: МЦНМО, 2004.
  14. Веснин А. Ю. Объемы трехмерных гиперболических многообразий Лебелля// Мат. заметки. - 1998. - 64, № 1. - С. 17-23.
  15. Веснин А. Ю. Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия// Усп. мат. наук. - 2017. - 434, № 2. - С. 147-190.
  16. Винберг Э. Б. Объемы неевклидовых многогранников// Усп. мат. наук. - 1993. - 290, № 2. - С. 17-46.
  17. Гайфуллин А. А. Вложенные изгибаемые сферические кросс-политопы с непостоянными объемами// Тр. МИАН. - 2015. - 288.- С. 67-94.
  18. Гайфуллин А. А. Аналитическое продолжение объема и гипотеза кузнечных мехов в пространствах Лобачевского// Мат. сб. - 2015. - 206, № 11. - С. 61-112.
  19. Галиулин Р. В., Михалев С. Н., Сабитов И. Х. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра// Мат. заметки. - 2004. - 76, № 1. - С. 27-43.
  20. Деревнин Д. А., Медных А. Д. Объем сферического куба Ламберта// Мат. заметки. - 2009. - 86, № 2. - С. 190-201.
  21. Деревнин Д. А., Медных А. Д., Пашкевич М. Г. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах// Сиб. мат. ж. - 2004. - 45, № 5. - С. 1022-1031
  22. Колпаков А. А., Медных А. Д., Пашкевич М. Г. Формула объема Z2-симметричного тетраэдра// Сиб. мат. ж. - 2011. - 52, № 3. - С. 577-594.
  23. Краснов В. А. Об интегральных формулах объема гиперболических тетраэдров// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2013. - 49. - С. 89-98.
  24. Краснов В. А. Об объеме гиперболического октаэдра с нетривиальными симметриями// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2013. - 51.- С. 74-86.
  25. Краснов В. А. Неевклидовы октаэдры с mm2-симметрией// Мат. заметки. - 2016. - 99,№ 1. - С. 145- 148.
  26. Краснов В. А. Об объемах гиперболических симплексов// Мат. заметки. - 2019. - 106, № 6. - С. 866- 880.
  27. Краснов В. А. О применении современного доказательства формулы Сфорца к вычислению объемов гиперболических тетраэдров специального вида// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2019. - 65,№ 4. - С. 623-634.
  28. Лобачевский Н. И. Воображаемая геометрия// Полн. собр. соч. Т. 3. - M.-Л.: 1949.
  29. Петров Ф. В. Вписанные четырёхугольники и трапеции в абсолютной геометрии// В сб.: «Математи- ческое просвещение. 13». - М.: МЦНМО, 2009. - С. 149-154.
  30. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - M.: Наука, 1981.
  31. Сабитов И. Х. Объем многогранника как функция его метрики// Фундам. и прикл. мат. - 1996. - 2, № 4. - С. 1235-1246.
  32. Сабитов И. Х. Объемы многогранников// В сб.: «Математическое просвещение. 21». - М.: МЦНМО, 2009.
  33. Сабитов И. Х. Об одном методе вычисления объемов тел// Сиб. электрон. мат. изв. - 2013. - № 10. - С. 615-626.
  34. Сабитов И. Х. Гиперболический тетраэдр: вычисление объема с применением к доказательству фор- мулы Шлефли// Модел. и анализ информ. систем. - 2013. - 20, № 6. - С. 149-161.
  35. Соколова Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского// Сиб. электрон. мат. изв. - 2012. - 9. - С. 256-260.
  36. Abrosimov N. V., Mednykh A. D. Volumes of polytopes in spaces of constant curvature// Fields Inst. Commun.- 2014.- 70, № 1. - С. 1-26.
  37. Alexandrov V. A. An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space// Beitr. Algebra Geom. - 1997. - 38, № 1. - С. 11-18.
  38. Bilinski S. Zur Begru¨ ndung der elementaren Inhaltslehre in der hyperbolischen Ebene// Math. Ann. - 1969. - 180. - С. 256-268.
  39. Bolyai J. Appendix. The theory of space// В сб.: «Janos Bolyai». - Budapest, 1987.
  40. Cho Yu., Kim H. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra// Discrete Comput. Geom. - 1999. - 22. - С. 347-366.
  41. Connely R., Sabitov I., Walz A. The bellows conjecture// Contrib. Algebra Geom. - 1997. - 38, № 1. - C. 1-10.
  42. Coxeter H. S. M. The functions of Schla¨fli and Lobatschefsky// Quarterly J. Math. Oxford. - 1935. - 6.- С. 13-29.
  43. Coxeter H. S. M., Greitzer S. L. Geometry Revisited. - Washington: The Mathematical Association of America, 1967.
  44. Derevnin D. A., Mednykh A. D. A formula for the volume of hyperbolic tetrahedron// Russ. Math. Surv. - 2005. - 60, № 2. - С. 346-348.
  45. Diaz R. A characterization of Gram matrices of polytopes// Discrete Comput. Geom. - 1999. - 21,№ 4. - С. 581-601.
  46. Dickinson W., Salmassi M. The right right triangle on the sphere// College Math. J. - 2008. - 39,№ 1. - С. 24-33.
  47. Gaifullin A. A. Sabitov polynomials for polyhedra in four dimensions// Adv. Math. - 2014. - 252.- С. 586-611.
  48. Gaifullin A. A. Generalization of Sabitov’s theorem to polyhedra of arbitrary dimensions// Discrete Comput. Geom. - 2014. - 52, № 2. - С. 195-220.
  49. Gaifullin A. A. The bellows conjecture for small flexible polyhedra in non-Euclidean spaces// Mosc. Math. J. - 2017. - 17, № 2. - С. 269-290.
  50. Guo R., So¨nmez N. Cyclic polygons in classical geometry// C. R. Acad. Bulgare Sci. - 2011. - 64,№ 2. - С. 185-194.
  51. Kellerhals R. On the volume of hyperbolic polyhedra// Math. Ann. - 1989. - 285, № 4. - С. 541-569.
  52. Kneser H. Der Simplexinhalt in der nichteuklidischen Geometrie// Deutsche Math. - 1936. - 1. - С. 337- 340.
  53. MClelland J. W., Preston T. A Treatise on Spherical Trigonometry with Application to Spherical Geometry and Numerous Examples. Part II. - London: Macmillian and Co., 1886.
  54. Mednykh A. D. Brahmagupta formula for cyclic quadrilaterals in the hyperbolic plane// Сиб. электрон. мат. изв. - 2012. - 9. - С. 247-255
  55. Milnor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years// Bull. Am. Math. Soc. - 1982. - 6, № 1. - С. 307-332.
  56. Mohanty Y. The Regge symmetry is a scissors congruence in hyperbolic space// Algebr. Geom. Topol. - 2003. - 3.- С. 1-31.
  57. Murakami J. The volume formulas for a spherical tetrahedron// Acta Math. Vietnam. - 2018. - 33,№ 3. - С. 219-253.
  58. Murakami J., Ushijima A. A volume formula for hyperbolic tetrahedra in terms of edge lengths// J. Geom. - 2005. - 83, № 1-2. - С. 153-163.
  59. Murakami J., Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron// Commun. Anal. Geom. - 2005. - 13. - С. 379-400.
  60. Murakami H., Yokota Y. Volume Conjecture for Knots. - Singapore: Springer, 2018.
  61. Schla¨ fli L. Theorie der vielfachen Kontinuita¨t// В сб.: «Gesammelte mathematische Abhandlungen». - Basel: Birkha¨user, 1950
  62. Sforza G. Spazi metrico-proiettivi// Ric. Esten. Different. Ser. - 1906. - 8, № 3. - C. 3-66
  63. Thurston W. Three-dimensional manifold, Kleinian groups and hyperbolic geometry// Bull. Am. Math. Soc. (N.S.). - 1982. - 6, № 3. - С. 357-381
  64. Ushijima A. A volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra// Non-Euclid. Geom. - 2006. - 581. - С. 249-265
  65. Valentine J. E. An analogue of Ptolemy’s theorem and its converse in hyperbolic geometry// Pacific J. Math. - 1970. - 34. - С. 817-825
  66. Wimmer L. Cyclic polygons in non-Euclidean geometry// Elem. Math. - 2011. - 66. - С. 74-82

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).