Том 66, № 4 (2020): Алгебра, геометрия и топология
- Год: 2020
- Статей: 3
- URL: https://journals.rcsi.science/2413-3639/issue/view/22175
- DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2020-66-4
Весь выпуск
Статьи
Кодирование узлов с помощью T-графов
Аннотация
Рассматриваются узлы как гладкие вложения окружности в 3, заданные своими плоскими диаграммами. Предлагается новый способ кодирования узлов с помощью T-графов, описывающих структуру кручений на плоской диаграмме. Для данного способа кодирования вводятся понятия цикла и блока, а также описываются преобразования T-графов при применении к плоской диаграмме узла первого и третьего движений Рейдемейстера.
531-543
Аналитическое детектирование в гомотопических группах гладких многообразий
Аннотация
В работе решается задача определения для отображения сферы в компактное ориентируемое многообразие , представляет ли оно нетривиальный элемент в гомотопической группе многообразия . Для этого последовательно используется теория итерированных интегралов, разработанная К.-Т. Ченом. Надо заметить, что итерированные интегралы как повторное интегрирование были ранее содержательно использованы Лаппо-Данилевским для представления решений систем линейных дифференциальных уравнений и Уайтхедом для аналитического описания инварианта Хопфа отображений . В работе дано краткое описание теории Чена, в рамках которой представленыформулы Уайтхеда и Хефлигера для инварианта Хопфа и обобщенно-го инварианта Хопфа. Приведены примеры вычисления этих инвариантов с использованием техники итерированных интегралов. Далее показано, каким образом можно детектировать любой элемент фундаментальной группы римановой поверхности, используя итерированные интегралы от голоморфных форм. Это потребовало доказательства того, что пересечение членов нижнего центрального ряда фундаментальной группы римановой поверхности есть единичная группа.
544-557
Объемы многогранников в неевклидовых пространствах постоянной кривизны
Аннотация
Вычисление объемов многогранников является классической задачей геометрии, известной со времен античной математики и не потерявшей актуальность в настоящее время. Проблема получения формул объемов трехмерных неевклидовых многогранников заданного комбинаторного типа весьма сложна. В настоящее время она полностью решена для самого простого с комбинаторной точки зрения многогранника - тетраэдра. Однако известно, что в случае многогранника специального вида формула для его объема заметно упрощается. Этот факт заметил еще Н. И. Лобачевский, который нашел объем так называемого идеального тетраэдра в гиперболическом пространстве (все вершины данного тетраэдра находятся на абсолюте). В настоящем обзоре будут представлены основные результаты об объемах произвольных неевклидовых тетраэдров, а также многогранников специального вида (как тетраэдров, так и многогранников, имеющих более сложное комбинаторное строение) в трехмерном сферическом и гиперболическом пространствах постоянной кривизны K = 1 и K = -1 соответственно. Кроме того, мы изложим новый метод И. Х. Сабитова вычисления объемов тел в гиперболическом пространстве (заданном моделью Пуанкаре в верхнем полупространстве), который позволяет получать явные формулы для объемов многогранников произвольной размерности через координаты вершин. При этом, наряду с обзором основных формул для объемов неевклидовых многогранников, мы будем приводить доказательства (или наброски доказательств) данных формул. Это поможет сформировать у читателя представление об основных методах вычисления объемов тел в неевклидовых пространствах постоянной кривизны.
558-679