Analytic Detection in Homotopy Groups of Smooth Manifolds

Capa

Citar

Texto integral

Resumo

In this paper, for the mapping of a sphere into a compact orientable manifold  SnM, n1, we solve the problem of determining whether it represents a nontrivial element in the homotopy group of the manifold πn(M) πn(M ). For this purpose, we consistently use the theory of iterated integrals developed by K.-T. Chen. It should be noted that the iterated integrals as repeated integration were previously meaningfully used by Lappo-Danilevsky to represent solutions of systems of linear differential equations and by Whitehead for the analytical description of the Hopf invariant for mappings f: S2n-1Sn, n2. We give a brief description of Chen’s theory, representing Whitehead’s and Haefliger’s formulas for the Hopf invariant and generalized Hopf invariant. Examples of calculating these invariants using the technique of iterated integrals are given. Further, it is shown how one can detect any element of the fundamental group of a Riemann surface using iterated integrals of holomorphic forms. This required to prove that the intersection of the terms of the lower central series of the fundamental group of a Riemann surface is a unit group.

 

 

Sobre autores

I. Zubov

State Socio-Humanitarian University

Autor responsável pela correspondência
Email: reestr_rr@mail.ru
Kolomna, Russia

Bibliografia

  1. Дубровин Б. А. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили и соотношения между периодами голоморфных дифференциалов на римановых поверхностях// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1981. - 45, № 5. - С. 1015- 1028.
  2. Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Изд-во ГИТТЛ, 1957.
  3. Лексин В. А. Метод Лаппо-Данилевского и тривиальность пересечения радикалов членов нижнего центрального ряда некоторых фундаментальных групп// Мат. заметки. - 2006. - 79, № 4. - С. 577- 580.
  4. Новиков С. П. Аналитический обобщенный инвариант Хопфа. Многозначные функционалы// Усп. мат. наук. - 1984. - 39, № 5. - С. 97-106.
  5. Хатчер A. Алгебраическая топология. - М.: МЦНМО, 2011.
  6. Хейн Р. М. Итерированные интегралы и проблема гомотопических периодов. - М.: Наука, 1988.
  7. Chen K.-T. Algebras of iterated path integrals and fundamental groups// Trans. Am. Math. Soc. - 1971. - 156. - С. 359-379.
  8. Chen K.-T. Iterated integrals of differential forms and loop space homology// Ann. of Math. (2). - 1973. - 97. - С. 217-246.
  9. Chen K.-T. Iterated path integrals// Bull. Am. Math. Soc. - 1977. - 83, № 5. - С. 831-879.
  10. Haefliger A. Whitehead products and differential forms// В сб.: «Differential Topology, Foliations and Gelfand-Fuks Cohomology». - Berlin-Heidelberg: Springer, 1978. - С. 13-24.
  11. Hain R. M. On a generalization of Hilbert’s 21st problem// Ann. Sci. E´ c. Norm. Supe´r. (4).- 1986.- 19, № 4. - С. 609-627.
  12. Manin Yu. I. Non-commutative generalized Dedekind symbols// Pure Appl. Math. Q. - 2014. - 10,№ 1. - С. 245-258.
  13. Marin I. Residual nilpotence for generalizations of pure braid groups// arXiv:1111.5601 [math.GR]. - 2011.
  14. Whitehead J. H. C. An expression of Hopf’s invariant as an integral// Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1947. - 33, № 5. - С. 117-123.
  15. Zubov I. S. Analytic detection of non-trivial elements in fundamental groups of Riemann surfaces// J. Phys. Conf. Ser. - 2019. - 1203. - 012099.

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».