Современная математика. Фундаментальные направления

В сепарабельном гильбертовом пространстве для абстрактного линейного параболического уравнения с весовым интегральным условием специального вида по времени на решение доказаны существование и единственность слабого решения. Для этого задача решается приближённо полудискретным методом Галёркина. Для последовательности приближённых решений устанавливаются априорные оценки, после чего доказывается, что слабый предел этой последовательности и есть точное решение исходной задачи.

Задача возмущения спектра линейного оператора линейным же оператором решена благодаря введенным понятиям голоморфных семейств операторов типа (A) и в смысле Като. Построенные при этом ряды Рэлея-Шрёдингера уже сходились в обычном смысле, а не асимптотически. В данной работе найдены условия голоморфности по малому параметру собственных пар в ситуации, когда линейный оператор возмущается нелинейным оператором, порожденным произведением в банаховой алгебре.

Сингулярные псевдодифференциальные операторы, созданные на базе смешанного преобразования Фурье—Бесселя, принято называть сингулярными псевдодифференциальными операторами (СПДО) Киприянова. В работе приведен обзор трех видов таких операторов. СПДО Киприянова приспособлены для работы с сингулярными операторами Бесселя \(B_{\gamma_i}=\dfrac{\partial^2}{\partial x_i^2}+\dfrac{\gamma_i}{x_i}~\dfrac{\partial}{\partial x_i},\) \(\gamma_i>-1.\) Основное внимание в работе уделено двум модификациям, возникшим на базе <<четных \(\mathbb{J}\)-преобразований Бесселя>> (т. е. при \(\gamma\in(-1,0)\)) и <<четных-нечетных \(\mathbb{J}\)-преобразований Бесселя—Киприянова—Катрахова>>. Последние введены для исследования дифференциальных уравнений с сингулярными дифференциальными операторами \(\dfrac{\partial}{\partial x_i}B_{\gamma_i}\) с отрицательным параметром оператора Бесселя \(\gamma_i\in(-1,0).\)

Исследована модель, сопоставляющая случайным блужданиям в конечномерном евклидовом координатном пространстве классической системы случайные квантовые блуждания, т. е. случайные преобразования множества состояний квантовой системы, возникающей при квантовании классической. Как известно, сверточная полугруппа гауссовских мер на координатном пространстве допускает представление полугруппой самосопряженных сжатий в пространстве квадратично интегрируемых функций, описываемой уравнением теплопроводности. Получено представление сверточной полугруппы гауссовских мер на координатном пространстве квантовой динамической полугруппой в пространстве ядерных операторов. Дано описание квантовой динамической полугруппы решениями задачи Коши для вырожденного уравнения диффузии. Установлена обобщенная сходимость по распределению последовательности квантовых случайных блужданий к операторнозначному случайному процессу со значениями в абелевой алгебре операторов сдвига на вектор с нормальным распределением.

Преобразователь континуальной системы реле (еще одно название этой модели - преобразователь Прейзаха) - достаточно популярная модель, используемая для формализации широкого круга гистерезисных соотношений. В настоящей статье приведен обзор работ, посвященных исследованию систем из различных предметных областей (физики, экономики, биологии), где континуальная система реле играет ключевую роль в описании гистерезисных зависимостей. Первый раздел работы посвящен описанию входно-выходных соответствий классического преобразователя континуальной системы реле, устанавливаются его основные свойства, описываются методы построения выхода, использующие формализм функции размагничивания, приводится обобщение классического преобразователя континуальной системы реле на случай векторных входно-выходных соответствий. Классифицированные по различным естественно-научным областям приложения модели Прейзаха приведены во втором разделе. Здесь описаны различные обобщения модели применительно к системам, содержащим ферромагнитные и сегнетоэлектрические материалы. Основное внимание уделялось экспериментальным работам, где модель континуальной системы реле использовалась для аналитического описания наблюдаемых в экспериментах зависимостей. Отдельное внимание в обзоре уделено техническим приложениям модели - накопителям энергии, системам, использующим пьезоэффект, моделям систем с долговременной памятью. В обзоре приведены результаты применения преобразователя Прейзаха в биологии и медицине, а также экономике. В третьем разделе обзора описываются свойства преобразователя континуальной системы реле в части реакции на стохастические внешние воздействия и приводится обобщение модели преобразователя на случай стохастичности пороговых чисел его элементарных составляющих. Кроме того, в обзоре содержатся свежие результаты в области динамики систем с преобразователем континуальной системы реле - приводится метод идентификации динамических режимов, основанный на модификации алгоритма Бенеттина вычисления ляпуновских показателей в системах с негладкими многозначными характеристиками.