On Embedding of the Morse-Smale Diffeomorphisms in a Topological Flow

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Аннотация

This review presents the results of recent years on solving of the Palis problem on finding necessary and sufficient conditions for the embedding of Morse-Smale cascades in topological flows. To date, the problem has been solved by Palis for Morse-Smale diffeomorphisms given on manifolds of dimension two. The result for the circle is a trivial exercise. In dimensions three and higher new effects arise related to the possibility of wild embeddings of closures of invariant manifolds of saddle periodic points that leads to additional obstacles for Morse-Smale diffeomorphisms to embed in topological flows. The progress achieved in solving of Palis’s problem in dimension three is associated with the recently obtained complete topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on three-dimensional manifolds and the introduction of new invariants describing the embedding of separatrices of saddle periodic points in a supporting manifold. The transition to a higher dimension requires the latest results from the topology of manifolds. The necessary topological information, which plays key roles in the proofs, is also presented in the survey.

Авторлар туралы

V. Grines

National Research University “Higher School of Economics”

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: vgrines@yandex.ru
Nizhniy Novgorod

E. Gurevich

National Research University “Higher School of Economics”

Email: egurevich@hse.ru
Nizhniy Novgorod

O. Pochinka

National Research University “Higher School of Economics”

Email: opochinka@yandex.ru
Nizhniy Novgorod

Әдебиет тізімі

  1. Бонатти Хр., Гринес В. З., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях// Докл. АН СССР. - 2004. - 396, № 4. - C. 439-442. С. 439-442
  2. Бонатти Х., Гринес В. З., Починка О. В. Реализация диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3многообразиях// Тр. МИАН. - 2017. - 297. - C. 46-61. 297. С. 35-49.
  3. Брин М. И. О включении диффеоморфизма в поток// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1972. - 8.- C. 19-25.
  4. Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. Граф Пейкшото диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех// Тр. МИАН. - 2008. - 261. - C. 61-86. (2008), 59-83
  5. Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. О топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла с одномерным множеством неустойчивых сепаратрис на многообразиях размерности большей 3// Тр. МИАН. - 2010. - 270. - C. 62-86. 270 (2010), 57-79
  6. Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Починка О. В., Медведев В. С. О включении в поток диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности, большей двух// Мат. заметки. - 2012. - 91, № 5. - С. 791-794. Notes, 91:5 (2012), 742-745
  7. Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С., Починка О. В. Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса-Смейла// Тр. МИАН. - 2010. - 271. - C. 111-133. 103-124
  8. Гробман Д. М. О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений// Докл. АН СССР. - 1959. - 128, № 5. - 1959. - C. 880-881.
  9. Гробман Д. М. Топологическая классификация окрестностей особой точки в n-мерном пространстве// Мат. сб. - 1962. 56, № 1. - С. 77-94.
  10. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.
  11. Жужома Е. В., Медведев В. С. Непрерывные потоки Морса-Смейла с тремя состояниями равновесия// Мат. сб. - 2016. - 207, № 5. - С. 69-92.
  12. Пилюгин С. Ю. Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса-Смейла без периодических траекторий на сферах// Дифф. уравн. - 1978. - 14, № 2. - C. 245-254.
  13. Починка О. В., Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. О включении диффеоморфизмов Морса- Смейла на 3-многообразии в топологический поток// Мат. сб. - 2012. - 203, № 12. - С. 81-104. 1761- 1784
  14. Artin E., Fox R. H. Some wild cells and spheres in three-dimensional space// Ann. Math. - 1948. - 49.- С. 979-990.
  15. Blankinship W. A. Generalization of a construction of Antoine// Ann. Math. - 1951. - 2, № 3. - C. 276- 297.
  16. Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3// J. Dyn. Control Syst. - 2000. - 6, № 4. - С. 579-602.
  17. Bonatti C., Grines V., Laudenbach F., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves on 3-manifolds// Ergodic Theory Dynam. Systems. - 2019. - 39, №. 9. - С. 2403-2432.
  18. Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pe´ cou E. Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds// Topology.- 2004.- 43. - С. 369-391.
  19. Bonatti C., Grines V., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on 3manifolds// Duke Math. J. - 2019. - 168, № 13. - С. 2507-2558.
  20. Brown M. Locally flat imbeddings of topological manifolds// Ann. Math. (2). - 1962. - 75, № 2. - С. 331- 341.
  21. Cantrell J. C. Almost locally flat embeddings of Sn-1 in Sn// Bull. Am. Math. Soc. - 1963. - 69.- С. 716-718.
  22. Cantrell J. C. Almost locally poliedral curves in Euclidean n-space// Trans. Am. Math. Soc. - 1963. - 107, № 3. - С. 451-457.
  23. Cantrell J. C. n-frames in Euclidean k-space// Proc. Am. Math. Soc. - 1964. - 15, № 4. - С. 574-578.
  24. Chernavskii A. V. Piecewise linear approximation of imbeddings of manifolds in codimensions greater than two// Sb. Math. - 1970. - 11, № 3. - С. 465-466.
  25. Daverman R. J. Embeddings of (n - 1)-spheres in Euclidean n-space// Bull. Am. Math. Soc. - 1978. - 84, № 3. - С. 377-405.
  26. Debruner H., Fox R. A mildly wild embedding of an n-frame// Duke Math. J. - 1960. - 27, № 3. - С. 425-429.
  27. Dugundji J., Antosiewicz H. A. Parallelizable flows and Lyapunov’s second method// Ann. Math. - 1961. - 2, № 73. - C. 543-555.
  28. Foland N. E., Utz W. R. The embedding of discrete flows in continuous flows// В сб.: «Ergodic theory», Proc. Int. Symp., Tulane University, New Orleans, USA, October, 1961. - New York: Academic Press, 1963. - С. 121-134.
  29. Garay B. M. Discretization and some qualitative properties of ordinary differential equations about equilibria// Acta Math. Univ. Comenian. (N.S.). - 1993. - 62, № 2. - С. 249-275.
  30. Garay B. M. On structural stability of ordinary differential equations with respect to discretization methods// Numer. Math. - 1996. - 72, № 4. - С. 449-479.
  31. Grines V., Gurevich E., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersections// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2015. - 208, № 1. - С. 81-90.
  32. Grines V., Gurevich E., Pochinka O. On embedding of multidimensional Morse-Smale diffeomorphisms in topological flows// Mosc. Math. J. - 2019. - 19, № 4. - С. 739-760.
  33. Grines V., Gurevich E., Pochinka O. On topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on the sphere Sn// ArXiv. - 2019. - 1911.10234v2 [math.DS].
  34. Hartman P. On the local linearization of differential equations// Proc. Am. Math. Soc. - 1963. - 14, № 4. - С. 568-573.
  35. Hirsch M., Pugh C., Shub M. Invariant Manifolds. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1977.
  36. Hudson J. F. Concordance and isotopy of PL embeddings// Bull. Am. Math. Soc. - 1966. - 72, № 3. - С. 534-535.
  37. Hudson J. F., Zeeman E. C. On combinatorial isotopy// Publ. IHES. - 1964. - 19. - С. 69-74.
  38. Kuperberg K. 2-wild trajectories// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2005. - Suppl. Vol. - С. 518-523.
  39. Max N. L. Homeomorphisms of Sn × S1// Bull. Am. Math. Soc. - 196. - 74, № 6. - С. 939-942.
  40. Medvedev T., Pochinka O. The wild Fox-Artin arc in invariant sets of dynamical systems// Dyn. Syst. - 2018. - 33, № 4. - С. 660-666.
  41. Miller R. T. Approximating codimension 3 embeddings// Ann. Math. (2). - 1972. - 95, № 3. - С. 406- 416.
  42. Palis J. On Morse-Smale dynamical systems// Topology. - 1969. - 8, № 4. - С. 385-404.
  43. Palis J. Vector fields generate few diffeomorphisms// Bull. Am. Math. Soc. - 1974. - 80. - С. 503-505.
  44. Palis J., Smale S. Structural stability theorem// В сб.: «Global Analysis», Proc. Symp. Pure Math., 1970, № 14. - Providence: American Math. Soc., 1970.
  45. Pixton D. Wild unstable manifolds// Topology. - 1977. - 16, № 2. - С. 167-172.
  46. Pochinka O. Diffeomorphisms with mildly wild frame of separatrices// Zesz. Nauk. Uniw. Jagiell. - 2009. - 47. - С. 149-154.
  47. Smale S. Differentiable dynamical systems// Bull. Am. Math. Soc. - 1967. - 73, № 6. - С. 747-817.
  48. Weller G. P. Locally flat imbeddings of topological manifolds in codimension three// Trans. Am. Math. Soc. - 1971. - 157. - С. 161-178.
  49. Young G. S. On the factors and fiberings of manifolds// Proc. Am. Math. Soc. - 1950. - 1. - С. 215-223.
  50. Zhuzhoma E. V., Medvedev V. S. Morse-Smale systems with few non-wandering points// Topology Appl. - 2013. - 160, № 3. - С. 498-507.

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML
Жүктеу

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».