О включении диффеоморфизмов Морса-Смейла в топологический поток
- Авторы: Гринес В.З.1, Гуревич Е.Я.1, Починка О.В.1
-
Учреждения:
- Национальный исследовательский ун-т «Высшая школа экономики»
- Выпуск: Том 66, № 2 (2020): Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума
- Страницы: 160-181
- Раздел: Новые результаты
- URL: https://journals.rcsi.science/2413-3639/article/view/327686
- DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2020-66-2-160-181
- ID: 327686
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В настоящем обзоре приводятся результаты последних лет по решению проблемы Ж. Палиса о нахождении необходимых и достаточных условий включения каскада Морса-Смейла в топологический поток. На сегодняшний день проблема решена Палисом для диффеоморфизмов Морса- Смейла, заданных на многообразиях размерности два. Результат для окружности является тривиальным упражнением. В размерности три и выше возникают новые эффекты, связанные с возможностью дикого вложения замыканий инвариантных многообразий седловых периодических точек, что приводит к дополнительным препятствиям включения диффеоморфизмов Морса-Смейла в топологический поток. Прогресс, достигнутый в решении проблемы Палиса в размерности три, связан с относительно недавним получением полной топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на трехмерных многообразиях и введением новых инвариантов, описывающих вложение сепаратрис седловых периодических точек в несущее многообразие. Переход к более высокой размерности требует привлечения новейших результатов топологии многообразий. Необходимые сведения из топологии, играющие ключевые роли в доказательствах, также излагаются в обзоре.
Об авторах
В. З. Гринес
Национальный исследовательский ун-т «Высшая школа экономики»
Автор, ответственный за переписку.
Email: vgrines@yandex.ru
Нижний Новгород, Россия
Е. Я. Гуревич
Национальный исследовательский ун-т «Высшая школа экономики»
Email: egurevich@hse.ru
Нижний Новгород, Россия
О. В. Починка
Национальный исследовательский ун-т «Высшая школа экономики»
Email: opochinka@yandex.ru
Нижний Новгород, Россия
Список литературы
- Бонатти Хр., Гринес В. З., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях// Докл. АН СССР. - 2004. - 396, № 4. - C. 439-442. С. 439-442
- Бонатти Х., Гринес В. З., Починка О. В. Реализация диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3многообразиях// Тр. МИАН. - 2017. - 297. - C. 46-61. 297. С. 35-49.
- Брин М. И. О включении диффеоморфизма в поток// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1972. - 8.- C. 19-25.
- Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. Граф Пейкшото диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех// Тр. МИАН. - 2008. - 261. - C. 61-86. (2008), 59-83
- Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. О топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла с одномерным множеством неустойчивых сепаратрис на многообразиях размерности большей 3// Тр. МИАН. - 2010. - 270. - C. 62-86. 270 (2010), 57-79
- Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Починка О. В., Медведев В. С. О включении в поток диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности, большей двух// Мат. заметки. - 2012. - 91, № 5. - С. 791-794. Notes, 91:5 (2012), 742-745
- Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С., Починка О. В. Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса-Смейла// Тр. МИАН. - 2010. - 271. - C. 111-133. 103-124
- Гробман Д. М. О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений// Докл. АН СССР. - 1959. - 128, № 5. - 1959. - C. 880-881.
- Гробман Д. М. Топологическая классификация окрестностей особой точки в n-мерном пространстве// Мат. сб. - 1962. 56, № 1. - С. 77-94.
- Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.
- Жужома Е. В., Медведев В. С. Непрерывные потоки Морса-Смейла с тремя состояниями равновесия// Мат. сб. - 2016. - 207, № 5. - С. 69-92.
- Пилюгин С. Ю. Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса-Смейла без периодических траекторий на сферах// Дифф. уравн. - 1978. - 14, № 2. - C. 245-254.
- Починка О. В., Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Медведев В. С. О включении диффеоморфизмов Морса- Смейла на 3-многообразии в топологический поток// Мат. сб. - 2012. - 203, № 12. - С. 81-104. 1761- 1784
- Artin E., Fox R. H. Some wild cells and spheres in three-dimensional space// Ann. Math. - 1948. - 49.- С. 979-990.
- Blankinship W. A. Generalization of a construction of Antoine// Ann. Math. - 1951. - 2, № 3. - C. 276- 297.
- Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3// J. Dyn. Control Syst. - 2000. - 6, № 4. - С. 579-602.
- Bonatti C., Grines V., Laudenbach F., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic curves on 3-manifolds// Ergodic Theory Dynam. Systems. - 2019. - 39, №. 9. - С. 2403-2432.
- Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Pe´ cou E. Topological classification of gradient-like diffeomorphisms on 3-manifolds// Topology.- 2004.- 43. - С. 369-391.
- Bonatti C., Grines V., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on 3manifolds// Duke Math. J. - 2019. - 168, № 13. - С. 2507-2558.
- Brown M. Locally flat imbeddings of topological manifolds// Ann. Math. (2). - 1962. - 75, № 2. - С. 331- 341.
- Cantrell J. C. Almost locally flat embeddings of Sn-1 in Sn// Bull. Am. Math. Soc. - 1963. - 69.- С. 716-718.
- Cantrell J. C. Almost locally poliedral curves in Euclidean n-space// Trans. Am. Math. Soc. - 1963. - 107, № 3. - С. 451-457.
- Cantrell J. C. n-frames in Euclidean k-space// Proc. Am. Math. Soc. - 1964. - 15, № 4. - С. 574-578.
- Chernavskii A. V. Piecewise linear approximation of imbeddings of manifolds in codimensions greater than two// Sb. Math. - 1970. - 11, № 3. - С. 465-466.
- Daverman R. J. Embeddings of (n - 1)-spheres in Euclidean n-space// Bull. Am. Math. Soc. - 1978. - 84, № 3. - С. 377-405.
- Debruner H., Fox R. A mildly wild embedding of an n-frame// Duke Math. J. - 1960. - 27, № 3. - С. 425-429.
- Dugundji J., Antosiewicz H. A. Parallelizable flows and Lyapunov’s second method// Ann. Math. - 1961. - 2, № 73. - C. 543-555.
- Foland N. E., Utz W. R. The embedding of discrete flows in continuous flows// В сб.: «Ergodic theory», Proc. Int. Symp., Tulane University, New Orleans, USA, October, 1961. - New York: Academic Press, 1963. - С. 121-134.
- Garay B. M. Discretization and some qualitative properties of ordinary differential equations about equilibria// Acta Math. Univ. Comenian. (N.S.). - 1993. - 62, № 2. - С. 249-275.
- Garay B. M. On structural stability of ordinary differential equations with respect to discretization methods// Numer. Math. - 1996. - 72, № 4. - С. 449-479.
- Grines V., Gurevich E., Pochinka O. Topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms without heteroclinic intersections// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2015. - 208, № 1. - С. 81-90.
- Grines V., Gurevich E., Pochinka O. On embedding of multidimensional Morse-Smale diffeomorphisms in topological flows// Mosc. Math. J. - 2019. - 19, № 4. - С. 739-760.
- Grines V., Gurevich E., Pochinka O. On topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms on the sphere Sn// ArXiv. - 2019. - 1911.10234v2 [math.DS].
- Hartman P. On the local linearization of differential equations// Proc. Am. Math. Soc. - 1963. - 14, № 4. - С. 568-573.
- Hirsch M., Pugh C., Shub M. Invariant Manifolds. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1977.
- Hudson J. F. Concordance and isotopy of PL embeddings// Bull. Am. Math. Soc. - 1966. - 72, № 3. - С. 534-535.
- Hudson J. F., Zeeman E. C. On combinatorial isotopy// Publ. IHES. - 1964. - 19. - С. 69-74.
- Kuperberg K. 2-wild trajectories// Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2005. - Suppl. Vol. - С. 518-523.
- Max N. L. Homeomorphisms of Sn × S1// Bull. Am. Math. Soc. - 196. - 74, № 6. - С. 939-942.
- Medvedev T., Pochinka O. The wild Fox-Artin arc in invariant sets of dynamical systems// Dyn. Syst. - 2018. - 33, № 4. - С. 660-666.
- Miller R. T. Approximating codimension 3 embeddings// Ann. Math. (2). - 1972. - 95, № 3. - С. 406- 416.
- Palis J. On Morse-Smale dynamical systems// Topology. - 1969. - 8, № 4. - С. 385-404.
- Palis J. Vector fields generate few diffeomorphisms// Bull. Am. Math. Soc. - 1974. - 80. - С. 503-505.
- Palis J., Smale S. Structural stability theorem// В сб.: «Global Analysis», Proc. Symp. Pure Math., 1970, № 14. - Providence: American Math. Soc., 1970.
- Pixton D. Wild unstable manifolds// Topology. - 1977. - 16, № 2. - С. 167-172.
- Pochinka O. Diffeomorphisms with mildly wild frame of separatrices// Zesz. Nauk. Uniw. Jagiell. - 2009. - 47. - С. 149-154.
- Smale S. Differentiable dynamical systems// Bull. Am. Math. Soc. - 1967. - 73, № 6. - С. 747-817.
- Weller G. P. Locally flat imbeddings of topological manifolds in codimension three// Trans. Am. Math. Soc. - 1971. - 157. - С. 161-178.
- Young G. S. On the factors and fiberings of manifolds// Proc. Am. Math. Soc. - 1950. - 1. - С. 215-223.
- Zhuzhoma E. V., Medvedev V. S. Morse-Smale systems with few non-wandering points// Topology Appl. - 2013. - 160, № 3. - С. 498-507.
Дополнительные файлы
