Исследование вынужденных колебаний в неоднородной цепочке линейных осцилляторов методом Ляпунова-Шмидта

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Исследуются  продольные колебания неоднородной цепочки  линейных осцилляторов, соединённых пружинами. Крайние пружины цепочки жёстко закреплены на неподвижных опорах. Система находится под действием внешних периодических сил.
Неоднородность цепочки (возмущенная система) обусловлена тем, что коэффициенты жёсткости пружин различны. Коэффициенты жёсткости мало отклоняются от некоторого номинального значения и зависят от безразмерных параметров отклонения.  Нулевое значение безразмерных параметров отклонения соответствует однородной (невозмущённой) системе.
Рассматривается резонансный случай, когда частота внешней периодической силы  совпадает с одной из собственных частот невозмущенной системы.
Для построения точного  периодического  решения возмущенной системы применяется метод Ляпунова-Шмидта. Благодаря линейности задачи, этот метод позволяет свести её к конечномерной алгебраической задаче построения обобщённой жордановой цепочки для вырожденного линейного оператора.
Получены необходимые и достаточные условия на безразмерные параметры отклонения, при которых длина такой цепочки равна $1$ или $2$. Для каждого случая выведены точные явные формулы для элементов цепочки, дающие полное описание периодического решения.
Показано, что при длине  обобщенной жордановой  цепочки, равной $1$, и стремлении малого параметра $\varepsilon$ к нулю  периодическое решение возмущенной системы непрерывно переходит в некоторое периодическое решение невозмущенной системы.
Если же длина обобщенной жордановой цепочки равна $2$, то периодическое решение возмущенной системы имеет полюс первого порядка в точке $\varepsilon=0$, а при  $\varepsilon=0$ переходит в однопараметрическое семейство периодических решений невозмущенной системы.
Численное моделирование проводилось на примере цепочки из восьми осцилляторов. Построены графики периодических решений и фазовых траекторий возмущенной системы при различных значениях малого параметра.

Об авторах

Павел Анатольевич Шаманаев

Научно-технологический университет «Сириус»

Email: korspa@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-0135-317X

 к.ф.-м.н., ведущий инженер-исследователь направления «Математическая робототехника»

Россия, 354340, Россия, Федеральная территория «Сириус», Олимпийский проспект, д. 1

Дмитрий Александрович Катин

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет

Email: dmitriykatinn@gmail.com
ORCID iD: 0009-0009-6335-6016

магистрант факультета математики и информационных технологий

Россия, 430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68

Наталья Владиславовна Ошина

Национальный исследовательский Мордовский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: natali.oshina@mail.ru
ORCID iD: 0009-0004-9193-3590

магистрант факультета математики и информационных технологий

Россия, 430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68

Список литературы

  1. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. 2-е изд. М.: Гостехиздат, 1950. 200 с.
  2. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. 300 с.
  3. Вибрации в технике: Справочник в 6-ти т. Том 1. Колебания линейных систем / под ред. В. В. Болотина; ред. совет: В. Н. Челомей (пред.). Москва : Машиностроение, 1978. 352 с.
  4. Трубецков Д. И., Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 416 с.
  5. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. Санкт-Петербург : Лань, 2005. 3-е изд., испр. 440 с.
  6. Коткин Г. Л., Сербо В. Г., Черных А. И. Лекции по аналитической механике : учебное пособие. Изд. 2-е, испр. М.–Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2017. 236 с.
  7. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны Москва: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1997. 495 с.
  8. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.
  9. Sidorov N.A., Loginov B.V., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapounov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications. Kluwer Academic Publishers, 2002, 548 p.
  10. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. О ветвлении периодических решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений c вырожденным или тождественным оператором при производной и возмущением в виде малого линейного слагаемого // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18, № 1. С. 45–53.
  11. Шаманаев П. А. О биортогонализации полных обобщенных жордановых наборов линейного оператора и ему сопряженного в банаховом пространстве [Электронный ресурс] // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: X Международная научная молодежная школа-семинар имени
  12. Е.В. Воскресенского (Саранск, 14-18 июля 2022 г.). - С. 221-224. Режим доступа:
  13. https://conf.svmo.ru/files/2022/papers/paper35.pdf. - Дата обращения: 11.12.2025.
  14. Шаманаев П. А., Прохоров С. А. Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений с малым параметром методом Ляпунова-Шмидта в регулярном случае [Электронный ресурс] // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ имени Е.В. Воскресенского: IX Международная научная молодежная школа-семинар (Саранск, 8-11 октября 2020 г.). - С. 129-131.
  15. Режим доступа: https://conf.svmo.ru/files/2020/papers/paper40.pdf. - Дата обращения: 11.12.2025.
  16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 2-е изд. М.: Наука, 1966. 576 с.
  17. Треногин В. А. Функциональный анализ. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 488 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Шаманаев П.А., Катин Д.А., Ошина Н.В., 2026

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».