Том 24, № 1 (2022)

В данной работе исследован вопрос единственности решения для одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса третьего рода. Особую роль в исследовании играет понятие производной по возрастающей функции, которое было введено А. Асановым в 2001 г. Это понятие является обобщением обычного понятия производной функции и является обратным оператором для одного класса интеграла Стилтьеса. На основе производной по возрастающей функции, методом интегральных преобразований и методом неотрицательных квадратичных форм доказаны теоремы единственности решения для рассматриваемого класса интегральных уравнений. Построены примеры, удовлетворяющие условиям теорем единственности. Из приведенных примеров видно, что без использования понятия производной по возрастающей функции трудно исследовать линейные интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса первого и третьего рода.

Работа посвящена решению задачи о топологической классификации структурно-устойчивых потоков, восходящей к классическим работам Андронова, Понтрягина, Леонтович и Майера. К настоящему времени имеются исчерпывающие классификационные результаты для потоков Морса-Смейла (структурно-устойчивых потоков, неблуждающее множество которых состоит из конечного числа неподвижных точек и периодических траекторий), заданных на многообразиях, размерность которые не превышает трех, и совсем небольшое число результатов для высших размерностях. Это объясняется возрастающей сложностью топологических задач, которые возникают при описании структуры разбиения многомерного фазового пространства на траектории. В настоящей работе рассматривается класс G(Mⁿ) потоков Морса-Смейла на замкнутом связном ориентируемом многообразии Mⁿ , неблуждающее множество которых состоит в точности из четырех точек: источника, стока и двух седел. Для случая, когда размерность n несущего многообразия равна 4 и выше, дополнительно предполагается, что одно из инвариантных многообразий каждого седлового состояния равновесия одномерно. Для потоков из этого класса описана топология несущего многообразия, получена оценка минимального числа гетероклинических кривых, необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности, а также описан алгоритм реализации стандартного представителя каждого класса топологической эквивалентности. Один из удивительных результатов работы состоит в том, что если при  n=3 имеется счетное множество многообразий, допускающих потоки из рассматриваемого класса, то в размерности n>3 несущее многообразие всего одно (с точностью до гомеоморфизма).

В настоящей работе изучаются антиэндоморфизмы некоторых конечных группоидов. Ранее были введены специальные группоиды S(k,q)  с порождающим множеством из k элементов и порядком k(k+1). Ранее исследовались вопросы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов данного группоида (в частности, автоморфизмов). Было показано, что всякий конечный моноид изоморфно вложим в моноид всех эндоморфизмов подходящего группоида S(k,q). В данной статье приводится поэлементное описание множества всех антиэндоморфизмов группоида S(k,q). Установлено, что в зависимости от группоида  S(k,q) множество всех его антиэндоморфизмов может быть замкнутым или не замкнутым относительно композиции отображений. Для поэлементного описания антиэндоморфизмов изучается действие произвольного антиэндоморфизма на порождающих элементах группоида. При данном подходе антиэндоморфизм попадает в один из трех классов. Антиэндоморфизмы из двух полученных классов будут являться эндоморфизмами данного группоида. Оставшийся класс антиэндоморфизмов в зависимости от конкретного группоида  S(k,q) может состоять или не состоять из эндоморфизмов. В данной работе исследуются эндоморфизмы некоторых конечных группоидов G с порядком, удовлетворяющим некоторому неравенству. Построены некоторые эндоморфизмы таких группоидов и показано, что всякий конечный моноид изоморфно вкладывается в моноид всех эндоморфизмов подходящего группоида G. Для доказательства данного результата существенно используется обобщение теоремы Кэли на случай моноидов (полугрупп с единицей).