Том 24, № 2 (2022)

В настоящей работе рассмотрены потоки с конечным гиперболическим цепно-рекуррентным множеством без гетероклинических пересечений на произвольных замкнутых n-многообразиях. Для таких потоков доказано существование дуального аттрактора и репеллера, разделенных (n-1)-мерной сферой, являющейся секущей для блуждающих траекторий в дополнении к аттрактору и репеллеру. Такое представление динамики рассмотренных потоков позволяет получить топологический инвариант, названный сферической схемой потока и состоящий из совокупности разноразмерных сфер, являющихся пересечениями секущей сферы с инвариантными седловыми многообразиями. Заметим, что для некоторых классов потоков сферическая схема является полным инвариантом. Так, из результатов Ж. Флейтас следует, что для полярных потоков (с единственным стоком и единственным источником) на поверхности именно сферическая схема является полным инвариантом эквивалентности.

В данной статье рассмотрены системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Такие постановки задач в отечественной и зарубежной литературе принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями. В настоящей работе внимание уделено задачам второго порядка. На основе фактов из теории матричных пучков и полиномов приведены достаточные условия существования и единственности решения данных уравнений. Для их численного решения исследуются многошаговый метод и его вариант, основанный на переформулированной записи исходной задачи. Такое представление позволяет строить методы, матрицы коэффициентов у которых могут рассчитываться в предыдущих точках. Данный подход хорошо зарекомендовал себя при численном решении дифференциально-алгебраических уравнений первого порядка, содержащих жесткие и быстроосциллирующие компоненты и обладающих сингулярным матричным пучком. Предлагаемый в настоящей работе численный алгоритм исследован на устойчивость для известного тестового уравнения. Показано, что данная разностная схема может иметь первый порядок сходимости. Приведены численные расчеты модельной задачи.

В работе рассматривается задача об устойчивости биологических, экономических и других процессов, моделируемых уравнениями Лотки-Вольтерра с запаздыванием. Отличие исследуемых уравнений от известных состоит в том, что входящие в них функции приспособленности и коэффициенты относительного изменения взаимодействующих субъектов или объектов, составляющих моделируемый процесс, являются нелинейными и учитывают переменное запаздывание в действии факторов, влияющих на количество субъектов или объектов. При этом данные функции допускают существование множества положений равновесия, конечного в ограниченной области. Исследование устойчивости трех типов положений равновесия проводится с помощью непосредственного анализа возмущенных уравнений и построения функционалов Ляпунова, удовлетворяющих условиям известных теорем. Выводятся соответствующие достаточные условия асимптотической устойчивости, в т. ч. глобальной, а также неустойчивости этих положений и их притяжения.

Определяется средняя сила, действующая на систему поляризующихся частиц со стороны электрического поля в неоднородно нагретой диэлектрической жидкости. Рассматривается случай парных взаимодействий в системе. Для нахождения силы, действующей на частицы, решается задача о взаимодействии двух частиц в жидкости при наличии заданного градиента температуры и напряжённости электрического поля далеко от частиц. Учитывается зависимость диэлектрической проницаемости частиц от температуры. Полученное выражение для силы, действующей на две частицы, имеет такую степенную зависимость от расстояния между частицами, которое позволяет провести процедуру прямого усреднения для системы частиц, находящихся в бесконечном объёме жидкости. При определении средней силы, используется функция плотности вероятности непрерывной случайной величины, под которой понимается вектор, соединяющий центры частиц. Дифференциальное уравнение для нахождения функции плотности вероятности записывается из условия сохранения пар частиц в пространстве всех их возможных конфигураций и что каждая пара частиц движется как точка со скоростью, равной скорости их относительного движения. Полученное уравнение в рассматриваемом случае имеет множество решений. На основе физического анализа задачи предлагается выбор функции плотности вероятности, которая позволяет определить среднюю электро-термофоретическую силу, действующую в такой системе с точностью до слагаемых второй степени по объёмной концентрации частиц.

В работе проведено численное исследование кинетики фотопроводимости резистора при однородной генерации электронов и дырок по толщине. Расчеты проведены для полупроводника $n$-типа. Рассмотрены случаи линейной и квадратичной объемной рекомбинации. Математическая модель представлена в виде нелинейного уравнения параболического типа.  К нелинейности уравнения приводит квадратичная рекомбинация. Использование граничных условий 3-го рода позволяет учесть поверхностную рекомбинацию неравновесных носителей заряда. Это явление приводит к необходимости учета диффузионного члена при записи кинетических уравнений, описывающих распределение электронов и дырок. Модель пренебрегает объемным зарядом. Показана возможность использования операции интегрирования фототока, протекающего через резистор, для получения зависимости интенсивности света от времени при малых длительностях оптического импульса: $T<\max{(\tau_n,\tau_p)}$. Здесь $T$ – длительность импульса, $\tau_n$ и $\tau_p$ – время жизни электронов и дырок соответственно. Нелинейные искажения в этом случае связаны в основном с появлением второй и третьей гармоник разложения в ряд Фурье функции, определяющей зависимость фототока от времени. Для «восстановления» оптического импульса также можно использовать операцию дифференцирования фототока. Нелинейные  и фазовые искажения малы при выполнении условия $T<\max{(\tau_n,\tau_p)}$. Предложенные способы позволяют расширить область длительностей оптического импульса $(T)$, в которой возможно его «восстановление». В окрестности области, определяемой равенством $T\approx\max{(\tau_n,\tau_p)}$, существенны нелинейные и фазовые искажения.