Том 26, № 1 (2024)

В статье рассматриваются симметрические линейные пространства двудольных графов (СЛПДГ), т. е. множество двудольных графов с фиксированными долями, замкнутое относительно симметрической разности и перестановок вершин в каждой доле. В работе получено структурное описание всех СЛПДГ. Симметрические линейные пространства двудольных графов делят на тривиальные (четыре СЛПДГ) и нетривиальные. Нетривиальные, в свою очередь, подразделяют на два семейства: серия С, состоящая только из биполных графов (графов, являющихся дизъюнктным объединением двух полных двудольных графов (крылья графа)) и серия D, состоящая из множества графов, у которых степени вершин в~одной доле имеют одинаковую четность, а в другой могут быть любыми. Доказано, что любое СЛПДГ серии D совпадает с одним из девяти множеств, заданных четностями степеней вершин. Для СЛПДГ серии C (множество биполных графов) получено, что любое двустороннее СЛПДГ (т. е. содержащее графы, оба крыла которых имеют непустые доли) является пересечением множества всех биполных графов с множеством всех графов с четным числом ребер или каким-нибудь из пространств серии D.

Хорошо известно, что фрактальное множество не является подмногообразием объемлющего пространства. Однако фракталы возникают как инвариантные подмножества, даже в бесконечно гладких динамических системах; размерность Минковского служит в этом случае характеристикой сложности такого множества. Например, в момент потери устойчивости состоянием равновесия при бифуркации Андронова-Хопфа замыкание неособой траектории является параметрически заданной кривой фрактального типа. В настоящей работе вычислена фрактальная размерность таких кривых. Кроме того, исследовано двухпараметрическое семейство функций, размерность Минковского графиков которых варьируется в промежутке от 1 до 2. Полученный результат позволяет реализовать регулярную динамическую систему, замыкание двумерного устойчивого многообразия изолированной гиперболической точки которой может иметь размерность Минковского больше 2. Вычисление размерности графика основано на разбиении отрезка аргумента, его задающего, на две части. Размерность одной части графика при этом возможно оценить сверху с помощью непосредственного вычисления длины соответствующей кривой. Размерность другой оценивается сверху через площадь прямоугольника, в которой она лежит. Оценка размерности Минковского снизу основана на вычислении мощности ε-различимого множества точек графика.

В настоящей работе рассматривается математическая модель манипулятора, представляющего собой вертикальную колонку и присоединенные к ней последовательно два звена, а также захват с грузом. Колонка, опираясь на неподвижное основание, может вращаться вокруг своей вертикальной оси. Звенья соединены посредством цилиндрических шарниров, позволяющих им вращаться в одной и той же вертикальной плоскости. Колонка и звенья моделируются как твердые тела, при этом звенья имеют неравные главные моменты инерции. Положение манипулятора в пространстве определяется тремя углами поворота колонки и звеньев. Манипулятор может иметь следующие типы установившихся программных движений. При компенсации гравитационных моментов управляющими моментами, приложенными в цилиндрических шарнирах, манипулятор имеет заданное программное положение равновесия. Манипулятор также может иметь программное движение, в котором колонка вращается с заданной постоянной угловой скоростью, а звенья имеют заданные относительные положения равновесия в своей плоскости. Исследуется задача о стабилизации указанных программных движений манипулятора посредством управляющих моментов с обратной связью при измерении только углов поворота колонки и звеньев. Поставленная задача решается в виде нелинейного пропорционально-интегрального регулятора с учетом цилиндрического фазового пространства математической модели манипулятора. Решение состоит в построении функционала Ляпунова со знакопостоянной производной и в применении соответствующих теорем об асимптотической устойчивости неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Полученные условия стабилизируемости программных движений имеют робастный характер относительно массоинерционных параметров манипулятора. Результаты численного моделирования управляемого движения манипулятора демонстрируют глобальное притяжение к заданному его положению в цилиндрическом фазовом пространстве.