Неравенство лордена и скорость сходимости распределения одной обобщённой системы массового обслуживания эрланга – севастьянова

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Во многих прикладных задачах теории надежности и массового обслуживания очень важно не только доказывать существование стационарного распределения, но и уметь оценивать скорость сходимости распределения к стационарному. Стандартные методы получения таких оценок предполагают, что времена обслуживания (ремонта или работы) экспонециальны, входящий поток -- пуассоновский и все формирующие процесс обслуживания (надёжности) случайные величины (сл.в.) независимы. Результаты для таких простейших случаев хорошо известны. Отказ от предположений независимости и экспоненциальности этих сл.в. приводит к довольно сложным случайным процессам, которые очень трудно изучать с помощью стандартных процедур. Для таких процессов нужно использовать более сложную технику. Для этого потребуется некоторое обобщение (и доказательство) ряда известных результатов. Один из таких результатов -- обобщённое неравенство Лордена, используемое в данной статье. "Классическое" неравенство Лордена касается "классических" процессов восстановления. В работе используется обобщение этого неравенства для случая "слабо зависимых" и имеющих в некотором смысле "близкие" распределения интервалов между моментами восстановления. Такое обобщение позволяет изучать скорость сходимости для широкого класса сложных процессов в ТМО и в смежных дисциплинах. В данной работе изучается одна обобщённая система массового обслуживания Эрланга -- Севастьянова.

Об авторах

Галина Александровна Зверкина

ФГБУН Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: zverkina@gmail.com
Москва

Список литературы

  1. Аничкин С. А. Склеивание процессов восстановления и его применение // Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. – 1984. – М.: ВНИИСИ. – С. 4–24.
  2. Борисов И. С. Методы одного вероятностного пространства для марковских процессов // Тр. Ин-та математики. – 1982. – Т. 1. – С. 4–18.
  3. Боровков А. А. Обобщенные процессы восстановления. – М.: Российская академия наук, 2020. – 453 с.
  4. Севастьянов Б. А. Формулы Эрланга в телефонии при произвольном законе распределения длительности разговора // Труды Третьего Всесоюзного математического съезда, Москва, июнь–июль 1956. – 1959. – Т. 4. – М.: Изд-во АН СССР. – С. 121–135.
  5. Севастьянов Б. А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами // Теория вероятн. и ее примен. – 1957. – Т. 2, вып. 1. – С. 106–116.
  6. Шелепова А. Д., Саханенко А. И. Об асимптотике вероятности невыхода неоднородного обобщенного процесса восстановления за невозрастающую границу // Сиб. электрон. матем. изв. – 2021. – Т. 18:2. – С. 1667–1688.
  7. Afanasyeva L. G., Tkachenko A. V. On the convergence rate for queueing and reliability models described by regenerative processes // Journal of Mathematical Sciences. – 2016. – Vol. 218, Issue 2. – P. 119–136.
  8. Asmussen S. Applied Probability and Queues. – New York: Springer, 2003.
  9. Chang J. T. Inequalities for the overshoot // The Annals of Applied Probability. – 1994. – Vol. 4(4). – P. 1223.
  10. Doeblin W. Exposé de la théorie des chaînes simples constantes de Markov à un nombre fini d’états // Rev. Math. de l’Union Interbalkanique. – 1938. – Vol. 2. – P. 77–105.
  11. Erlang A. K. Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in automatic telephone exchanges // Elektroteknikeren. – 1917. – Vol. 13. – P. 5–13 (in Danish); Engl. transl.: P. O. Elect. Eng. Journal. – 1918. – Vol. 10. – P. 189–197; Reprinted as: WEB-based edition by permission from the Danish Acad. Techn. Sci. at http://oldwww.com.dtu.dk/teletraffic/Erlang.html.
  12. Ferreira M. A., Andrade M. The M|G|∞ queue busy period distribution exponentiality // Journal of Applied Mathematics. – 2011. – Vol. 4, No. 3. – P. 249–260.
  13. Fortet R. Calcul des probabilités. – Paris: CNRS, 1950.
  14. Griffeath D. A maximal coupling for Markov chains // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. – 1975. – Vol. 31, Iss. 2. – P. 95–106.
  15. Kalashnikov V. V. Mathematical Methods in Queuing Theory. – Amsterdam: Kluwer Academic Publishers, 1994.
  16. Kalimulina E., Zverkina G. On some generalization of Lorden’s inequality for renewal processes // arXiv.org. – Cornell: Cornell University Library. – 2019. – 1910.03381v1. – P. 1–5.
  17. Kato K. Coupling lemma and its application to the security analysis of quantum key distribution // Tamagawa University Quantum ICT Research Institute Bulletin. – 2014. – Vol. 4, No. 1. – P. 23–30.
  18. Lorden G. On excess over the boundary // The Annals of Mathematical Statistics. – 1970. – Vol. 41(2). – P. 520–527.
  19. Pechinkin A. V. On an invariant queueing system // Math. Operationsforsch. Statist. Ser. Optim. – 1983. – Vol. 14(3). – P. 433–444.
  20. Pechinkin A. V., Solovyev A. D., Yashkov S. F. A system with servicing discipline whereby the order of minimum remaining length is serviced first // Eng. Cybern. – 1979. – Vol. 17(5). – P. 38–45.
  21. Smith W. L. Renewal theory and its ramifications // J. Roy. Statist. Soc. – 1958. – Ser. B, Vol. 20:2. – P. 243–302.
  22. Stadje W. The busy period of the queueing system M|G|∞ // Journal of Applied Probability. – 1985. – Vol. 22. – P. 697–704.
  23. Stoyan D. Qualitative Eigenschaften und Abschätzungen stochastischer Modelle. – Berlin, 1977.
  24. Takács L. Introduction to the Theory of Queues. – Oxford University Press, 1962.
  25. Van Doorn E. A., Zeifman A. I. On the speed of convergence to stationarity of the Erlang loss system // Queueing Systems. – 2009. – Vol. 63. – P. 241–252.
  26. Veretennikov A. Yu. On rate of convergence to the stationary distribution in queueing systems with one serving device // Automation and Remote Control. – 2013. – Vol. 74, Iss. 10. – P. 1620–1629.
  27. Veretennikov A. Yu. On the rate of mixing and convergence to a stationary distribution in Erlang-type systems in continuous time // Problems Inf. Transmiss. – 2010. – Vol. 46(4). – P. 382–389.
  28. Veretennikov A. Yu. The ergodicity of service systems with an infinite number of servomechanisms // Математические заметки. – 1977. – Vol. 22(4). – P. 804–808.
  29. Veretennikov A., Butkovsky O. A. On asymptotics for Vaserstein coupling of Markov chains // Stochastic Processes and their Applications. – 2013. – Vol. 123(9). – P. 3518–3541.
  30. Veretennikov A. Yu., Zverkina G. A. Simple proof of Dynkin’s formula for single-server systems and polynomial convergence rates // Markov Proc. Rel. Fields. – 2014. – Vol. 20, Iss. 3. – P. 479–504; arXiv:1306.2359 [math.PR] (2013).
  31. Zverkina G. On strong bounds of rate of convergence for regenerative processes // Communications in Computer and Information Science. – 2016. – Vol. 678. – P. 381–393.
  32. Zverkina G. Lorden’s inequality and coupling method for backward renewal process // Proc. of XX Int. Conf. on Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN–2017, Moscow). – 2017. – P. 484–491.
  33. Zverkina G. On strong bounds of rate of convergence for regenerative processes // Communications in Computer and Information Science. – 2016. – Vol. 678. – P. 381–393.
  34. Zverkina G. About some extended Erlang–Sevast’yanov queueing system and its convergence rate (English and Russian versions) // https://arxiv.org/abs/1805.04915; Фундаментальная и прикладная математика. – 2018. – №22, Iss. 3. – P. 57–82.
  35. Zverkina G., Kalimulina E. On generalized intensity function and its application to the backward renewal time estimation for renewal processes // Proc. of the 5th Int. Conf. on Stochastic Methods (ICSM–5, 2020). – М.: Изд-во РУДН, 2020. – P. 306–310.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать


Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».