Том 23, № 3 (2023)

Статья посвящена приближенным методам решения прямых и обратных задач для параболических уравнений. Предложен приближенный метод решения начальной задачи для многомерного нелинейного параболического уравнения. Метод основан на приведении начальной задачи к нелинейному многомерному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое аппроксимируется системой нелинейных алгебраических уравнений по технологии метода механических квадратур. При построении вычислительной схемы использованы узлы локальных сплайнов, реализующих оптимальную по порядку аппроксимацию класса функций, к которому принадлежат решения параболических уравнений. Для численной реализации вычислительной схемы используется приведенное в работе обобщение непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений. Исследуется обратная задача для параболического уравнения с дробной производной по временной переменной. Предложены приближенные методы определения порядка дробной производной по времени и коэффициента при  производной по пространственной переменной.

Цель статьи – разработка алгоритмов построения ступенчатых жестких фреймов в произвольной локально компактной нульмерной группе. Вначале указываем способ построения  ступенчатой масштабирующей функции. Для построения масштабирующей  функции используем ориентированное дерево и указываем условия на дерево, при котором оно порождает маску $m_0$ масштабирующей функции. Затем находим условия на маски $m_0, m_1,\ldots  , m_q$, при которых соответствующие вейвлет функции $\psi_1, \psi_2,\ldots  ,\psi_q$ порождают жесткий фрейм. Для этого используем  принцип унитарного расширения. Используя найденные условия, указываем конструктивный способ построения таких масок. В заключение приводим примеры построения жестких фреймов.

В  работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости (верхние или нижние, сильные или слабые) нестрогих знаков, нулей и корней ненулевых решений линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка с непрерывными и ограниченными на положительной полуоси коэффициентами. Ненулевое решение линейного однородного уравнения не может обнуляться в силу теоремы существования и единственности. Поэтому спектры всех перечисленных показателей колеблемости (т.е. их множества значений на ненулевых решениях) состоят из одного нулевого значения. Известно, что спектры показателей колеблемости линейных однородных уравнений второго порядка также состоят из одного значения. Следовательно, на множестве решений уравнений до второго порядка наблюдается остаточность всех характеристик колеблемости. На множестве решений уравнений третьего порядка сильные показатели колеблемости гиперкорней не являются остаточными, т.е. не являются инвариантными относительно изменения решения на любом конечном участке полуоси времени. Доказано, что на множестве решений уравнений третьего порядка сильные показатели колеблемости нестрогих знаков, нулей и корней не являются остаточными. Параллельно доказано существование функции из указанного множества, обладающей следующими свойствами: все перечисленные показатели колеблемости являются точными, но не абсолютными. При этом все сильные показатели, как и все слабые, равны между собой.

Приводятся сведения по истории развития теории тонких оболочек в хронологическом порядке с указанием конкретных ученых и их вклада в совершенствование теории. Обзор работ состоит  из тех публикаций, которые касаются именно разработки теории оболочек. Излагаются математические модели деформирования тонких упругих оболочек, как наиболее точные, так и упрощенные. Изложение ведется на основе публикации российских авторов, вклад которых в совершенствование теории оболочек наиболее существенен (В. В. Новожилов, А. И. Лурье, А. Л. Гольденвейзер, Х. М. Муштари, В. З. Власов). Отмечены также ученые, внесшие существенный вклад в теорию, методы расчета, исследования прочности, устойчивости и колебаний оболочек. Отдельно показано применение этих моделей для исследования ребристых оболочек. Приводятся сведения по разработке нелинейной теории оболочек и показаны нелинейные соотношения для деформаций. Анализируются математические модели деформирования тонких оболочек, полученные разными авторами. Показано, что если срединная поверхность оболочки отнесена к ортогональной системе координат, то выражения деформаций, полученные разными авторами, практически совпадают (отличаются членами, которыми ввиду  их малости можно пренебречь). А. Л. Гольденвейзером разработаны математические модели деформирования тонких оболочек, когда их срединная поверхность отнесена к произвольной косоугольной системе координат. Для задач статики записывается функционал полной потенциальной энергии деформации, представляющий собой разность потенциальной энергии и работы внешних сил. Из условия минимума этого функционала выводятся уравнения равновесия и естественные краевые условия. Для задач динамики составляется функционал полной энергии деформации оболочки, в котором кроме потенциальной энергии деформации оболочки и работы внешних сил участвует еще и кинетическая энергия деформации оболочки. Также из условия минимума этого функционала выводятся уравнение движения и естественные краевые и начальные условия. Приводятся некоторые сведения по результатам современных исследований в теории тонких оболочек.