Two-dimensional Nye figures for hemitropic micropolar elastic solids

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The paper is devoted to a wide range of problems related to the two-dimensional Nye figures for micropolar continua. The method of two-dimensional matrix representation of fourth-rank tensors is well known from monographs on crystallography. Such representations are used to simplify tensor notation of the equations of anisotropic solids. This method allows us to represent the asymmetric constitutive tensors and pseudotensors of the fourth, third and second ranks in the form of specific two-dimensional figures. The Nye figures for the constitutive hemitropic tensors of the fourth and second ranks are given. The matrix form of the constitutive equations of a hemitropic micropolar solid in the athermal case is obtained. The transformation of the pseudotensor governing equations of the micropolar theory to a formulation in terms of absolute tensors is carried out via the  pseudoscalar units and their integer powers. The study is carried out in terms of absolute tensors in a Cartesian rectangular coordinate system.

About the authors

Evgenii Valeryevich Murashkin

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: murashkin@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
Russia, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101-1

Yuri Nickolaevich Radayev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: radayev@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
Scopus Author ID: 6507571222
ResearcherId: J-8505-2019
Russia, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101-1

References

  1. Neuber H. Uber Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat – Korper // Acta Mechanica. 1966. Vol. 2. P. 48–69. https://doi.org/10.1007/BF01176729
  2. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Applied Mechanics / ed. by H. Gortler. Berlin, Heidelberg : Springer, 1966. P. 153–158. https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_16
  3. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin : Springer, 1972. 285 р. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9
  4. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford : Pergamon Press, 1986. 383 p.
  5. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Berlin, Heidelberg : Springer, 2004. 345 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7
  6. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2 (52). С. 106–117. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012, EDN: FQVGRK
  7. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2 (52). С. 118–127. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013, EDN: ESTJSA
  8. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2018. Т. 22, № 3. С. 504–517. https://doi.org/10.14498/vsgtu1635, EDN: YOYJQD
  9. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 3 (53). С. 86–100. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.53.3.010, EDN: YOEHQV
  10. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 4 (54). С. 108–115. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.54.4.009, EDN: DTZTJY
  11. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. Москва : Наука, 1965. 456 с.
  12. Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. Москва : Наука, 1971. 376 c.
  13. Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus. New York : Dover Publication Inc., 1978. 324 p.
  14. Das A. J. Tensors: The Mathematics of Relativity Theory and Continuum Mechanics. New York : Springer, 2007. 290 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-69469-6
  15. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. Москва ; Ленинград : ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948. 408 с.
  16. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors // Transactions of the American Mathematical Society. 1924. Vol. 26, iss. 3. P. 373–377. https://doi.org/10.2307/1989146
  17. Веблен О. Инварианты дифференциальных квадратичных форм. Москва : Изд-во иностранной литературы, 1948. 140 с.
  18. Радаев Ю. Н., Мурашкин Е. В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82, № 4. С. 399–412. https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412, EDN: TODIFV
  19. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a micropolar theory of growing solids // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2020. Т. 24, № 3. С. 424–444. https://doi.org/10.14498/vsgtu1792, EDN: TYGBER
  20. Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2020. Т. 24, № 4. С. 752–761. https://doi.org/10.14498/vsgtu1799, EDN: IVEASC
  21. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge : Cambridge University Press. 1931. 101 p.
  22. Nye J. F. Physical Properties of Crystals, Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford : Clarendon Press, 1957. 322 p.
  23. Wooster W. A. Experimental Crystal Physics. Oxford : Clarendon Press, 1957. 116 p.
  24. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (mit Ausschluss der Kristalloptik). Fachmedien, Wiesbaden : Springer, 1966. 979 p.
  25. Standards on Piezoelectric Crystals. Proceedings of the I.R.E. New York : IRE, 1949. 18 p.
  26. Zheng Q. S., Spencer A. J. M. On the canonical representations for Kronecker powers of orthogonal tensors with application to material symmetry problems // International Journal of Engineering Science. 1993. Vol. 31, iss. 4. P. 617–435. https://doi.org/10.1016/0020-7225(93)90054-X
  27. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. Москва : Наука, 1966. 648 с.
  28. Радаев Ю. Н. Тензоры с постоянными компонентами в определяющих уравнениях гемитропного микрополярного тела // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2023. № 5. C. 98–110. EDN: PHNOCG https://doi.org/10.31857/S057232992370006X, EDN: PHNOCG
  29. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023. Vol. 44, iss. 6. P. 2440–2449. https://doi.org/10.1134/S1995080223060392, EDN: PINYDI
  30. Radayev Yu. N., Murashkin E. V. Generalized pseudotensor formulations of the Stokes’ integral theorem // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2. С. 205–215. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-2-205-215, EDN: VURXND
  31. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О согласовании ориентаций тензорных элементов площади в микрополярном континууме, погружаемом во внешнее плоское пространство // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2021. Т. 25, № 4. С. 776–786. https://doi.org/10.14498/vsgtu1883, EDN: ZKIAAJ
  32. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории ориентированных тензорных элементов площади микрополярного континуума, погруженного во внешнее плоское пространство // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2022. № 2. C. 3–13. https://doi.org/10.31857/S0572329922020155, EDN: KRUCOL
  33. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 1 (51). С. 17–26. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002, EDN: ZJWFGT
  34. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. An algebraic algorithm of pseudotensors weights eliminating and recovering // Mechanics of Solids. 2022. Vol. 57, iss. 6. P. 1416–1423. https://doi.org/10.3103/s0025654422060085, EDN: CSZGEL
  35. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об определяющих псевдоскалярах гемитропных микрополярных сред в инверсных координатных системах // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2021. Т. 25, № 3. С. 457–474. https://doi.org/10.14498/vsgtu1870, EDN: XYERLC

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».