Dynamics of qubit entanglement in three-qubit Jaynes–Cummings model for biseparable intial states

Full Text

Введение

Многокубитные перепутанные состояния – ключевой ресурс для многих квантовых информационных задач [1–4]. В настоящее время известны различные типы и классы перепутанных состояний [5–7]. К наиболее известным перепутанным состояниям относятся белловские перепутанные состояния, бисепарабельные перепутанные состояния, истинно перепутанные состояния Гринбергера – Хорна – Цайлингера (GHZ-состояния), истинно перепутанные состояния Вернера (W-состояния) и др. Для каждого из указанных состояний предложены многочисленные способы применения в области физики квантовых вычислений, в частности для коррекции ошибок, квантовых коммуникаций, квантовой криптографии, квантовой метрологии и др. [8–11]. В последнее время появилось множество экспериментальных работ, в которых показана возможность генерации многокубитных перепутанных состояний для кубитов различной физической природы [1–4]. В настоящее время предложен ряд количественных критериев перепутывания двухкубитных систем: отрицательность и ее расширения, согласованность, G-согласованность, геометрическая мера перепутывания и др. [5–7; 12–16]. Однако для многокубитных квантовых систем ситуация становится более сложной, поскольку для таких систем существует несколько различных классов перепутанных состояний [17–19]. Трудности теоретического описания перепутанных состояний существенно возрастают с увеличением числа кубитов в системе. Поэтому в настоящее время особый интерес вызывает изучение динамики перепутывания трехкубитных систем. Для трехкубитных систем существуют три типа чистых перепутанных состояний: сепарабельные или полностью разделимые, бисепарабельные и истинно перепутанные состояния. Мы имеем дело с сепарабельным состоянием, если трехкубитный вектор состояния системы является тензорным произведением трех однокубитных векторов состояния. Если трехкубитное состояние сепарабельное по отношению к двум подсистемам, одна из которых состоит из двух перепутанных кубитов, а вторая – из независимого кубита, то состояние называется бисепарабельным. Состояния, которые не являются ни сепарабельными, ни бисепарабельными, называются истинно перепутанными. Для трехкубитных систем существуют два типа истинно перепутанных состояний, которые представляют собой так называемые состояния GHZ- и W-типа. Для трехкубитных смешанных состояний также существуют сепарабельные, бисепарабельные или истинно запутанные состояния. Если тип чистого состояния многокубитной системы определяется свойствами вектора состояния, то для смешанных состояний аналогичные свойства должны выполняться для выпуклой суммы чистых состояний. Перепутанные состояния трехкубитных систем можно использовать для квантовой обработки информации, детерминированной телепортации, плотного кодирования и т. д. Трехкубитные перепутанные состояния различных типов в настоящее время экспериментально реализованы для различных типов кубитов, в частности для ионов в магнитных ловушках и сверхпроводящих цепях [8; 9]. В работе [20] было предсказано, что перепутывание пары кубитов, взаимодействующих с полем резонатора, может полностью исчезнуть за времена, значительно меньшие времени декогеренции. Это явление получило название внезапной смерти запутанности. Позднее этот эффект для двухкубитной системы был обнаружен экспериментально [21]. Для трехкубитной системы эффект был впервые предсказан в [22]. В настоящее время изучению данного эффекта уделяется особое внимание, поскольку указанный эффект оказывает существенное влияние на динамику систем кубитов, используемых в устройствах квантовой обработки информации (см. ссылки в [23]). В ряде недавних работ эффект мгновенной смерти перепутывания рассматривался для различных систем кубитов, взаимодействующих с тепловыми шумами резонаторов [12–16]. Недавно в работе [24] мы исследовали динамику перепутывания кубитов для трехкубитной модели, в которой два кубита заперты в резонаторе и взаимодействуют с модой теплового поля этого резонатора, а третий кубит находится в свободном состоянии. В частности, нами исследовались особенности проявления эффекта мгновенной смерти и рождения перепутывания кубитов в такой модели. Однако в указанной работе мы ограничились рассмотрением динамики модели для начального истинно перепутанного состояния кубитов W-типа. Представляет значительный интерес расширить данное исследование, включив в рассмотрение возможные начальные бисепарабельные состояния кубитов.

В настоящей работе нами найдена точная динамика трехкубитной модели, состоящей из свободного кубита и пары кубитов, резонансно взаимодействующих с модой поля идеального резонатора. Рассмотрение проведено для начальных бисепарабельных состояний кубитов и теплового шума резонатора. Точное решение использовано для расчета параметра перепутывания пар кубитов. Проведен анализ особенностей проявления эффекта мгновенной смерти перепутывания кубитов в рассматриваемой модели.

1. Модель и точное решение квантового уравнения Лиувилля

Рассмотрим модель, которая состоит из трех одинаковых кубитов $Q_1,$ $Q_2$ и $Q_3$. Пусть два кубита $Q_2$ и $Q_3$ находятся внутри резонатора и резонансно взаимодействуют с его квантованным электромагнитным полем, а первый кубит $Q_1$ может свободно перемещаться вне резонатора. Гамильтониан взаимодействия такой системы в стандартных приближениях имеет вид

${\widehat{H}}_{\mathrm{int}}=\hslash \gamma \sum _{i=2}^3\left({\widehat{\sigma }}_i^{+}\widehat{a}+{\widehat{\sigma }}_i^{-}{\widehat{a}}^{+}\right).$ (1)

где ${\widehat{\sigma }}_i^{\pm }$ – повышающий и понижающий операторы в i-м кубите; $\widehat{a}$ и ${\widehat{a}}^{+}$ – операторы уничтожения и рождения фотонов в моде резонатора; $\gamma$ – константа кубит-фотонной связи.

В качестве начальных состояний кубитов выберем бисепарабельные состояния:

$|{\psi }_1\left(0\right)>=\cos \alpha |+,-,-⟩+\sin \alpha |-,+,-⟩,$ (2)

$|{\psi }_2\left(0\right)>=\cos \alpha |+,-,+⟩+\sin \alpha |-,+,+⟩.$ (3)

В качестве начального состояния поля резонатора определим тепловое состояние с матрицей плотности вида

${\rho }_F\left(0\right)=\sum _n{p}_n|n><n|.$ (4)

Здесь $p_n$ – весовые коэффициенты:

$p_n=\frac{{\overline{n}}^n}{{\left(1+\overline{n}\right)}^{n+1}},$

где $\overline{n}$ – среднее число тепловых фотонов, которое задается следующей формулой:

$\overline{n}={\left(\exp \left[\hslash {\omega }_{cav}/k_{B}T\right]-1\right)}^{-1}.$

Здесь $k_B$ – постоянная Больцмана; T – температура резонатора; ${\omega }_{cav}$ – частота резонатора.

Найдем решение квантового уравнения Лиувилля для начальных состояний кубитов (2) и (3) и теплового состояния поля резонатора. Для каждого начального состояния кубитов мы вначале вычислим временную волновую функцию для фоковского начального состояния поля $|n>,$ где $n=\mathrm{0,1,2...,}$ а затем обобщим полученное решение на случай теплового поля. Для чистых начальных состояний кубитов и чистого фоковского состояния поля рассматриваемая система в каждый момент времени также будет находиться в чистом состоянии. Поэтому состояние системы в произвольный момент времени t можно будет задать волновой функцией $\left|{\psi }_n\right(t)>.$ Временная волновая функция «три кубита + мода поля» подчиняется уравнению Шредингера, которое в картине взаимодействия может быть записано как:

$i\hslash \frac{\partial |{\psi }_n\left(t\right)>}{\partial t}={\widehat{H}}_{\mathrm{int}}|{\psi }_n\left(t\right)>.$ (5)

Заметим, что решение уравнения Шредингера (5) для каждого из начальных состояний кубитов необходимо искать независимо для различных чисел фотонов в моде.

Рассмотрим начальное бисепарабельное состояние кубитов (2). В рассматриваемом случае решение уравнения (5) для числа фотонов в моде $n=0$ можно определить как

$|{\psi }_{n=0}\left(t\right)>=\cos \alpha |+,-,-\mathrm{,0}⟩+$ (6)

$+y_1\left(t\right)|-,+,-\mathrm{,0}⟩+y_2\left(t\right)|-,-,+\mathrm{,0}⟩+$

$+y_3\left(t\right)|-,-,-\mathrm{,1}⟩,$

где

$y_1\left(t\right)={\cos }^2\left(\frac{\gamma t}{\sqrt{2}}\right)\sin \alpha ,$ (7)

$y_2\left(t\right)=-{\sin }^2\left(\frac{\gamma t}{\sqrt{2}}\right)\sin \alpha ,$

$y_3\left(t\right)=-\frac{i\sin \left(\sqrt{2}\gamma t\right)}{\sqrt{2}}\sin \alpha .$

Для числа фотонов в моде $n=1$ соответствующее решение принимает вид

$|{\psi }_{n=1}\left(t\right)⟩=x_1^1\left(t\right)|\mathrm{1,1,0,0}⟩+x_2^1\left(t\right)|\mathrm{1,0,1,0}⟩+$ (8)

$+x_3^1\left(t\right)|\mathrm{1,0,0,1}⟩+z_1^1\left(t\right)|\mathrm{0,1,1,0}⟩+$

$+z_2^1\left(t\right)|\mathrm{0,1,0,1}⟩+z_3^1\left(t\right)|\mathrm{0,0,1,1}⟩+$

$+z_4^1\left(t\right)|\mathrm{0,0,0,2}⟩,$

где

$x_1^1\left(t\right)=-\frac{i\cos \alpha \sin \left(\sqrt{2}\gamma t\right)}{\sqrt{2}},$ (9)

$x_3^1\left(t\right)=\cos \alpha \cos \left(\sqrt{2}\gamma t\right),$ $x_2^1\left(t\right)=-\frac{i\cos \alpha \sin \left(\sqrt{2}\gamma t\right)}{\sqrt{2}},$

$z_1^1\left(t\right)=-\frac{i\sin \left(\sqrt{6}\gamma t\right)\sin \alpha }{\sqrt{6}},$ $z_2^1\left(t\right)=\sin \alpha {\cos }^2\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\gamma t\right),$

$z_3^1\left(t\right)=-\sin \alpha {\sin }^2\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\gamma t\right),$ $z_4^1\left(t\right)=-\frac{i\sin \left(\sqrt{6}\gamma t\right)\sin \alpha }{\sqrt{3}}.$

Наконец, для $n\ge 2$ имеем:

$|{\psi }_{n\ge 2}\left(n,t\right)⟩=X_1^1\left(n,t\right)|\mathrm{1,1,1,}n-2⟩+$ (10)

$+X_2^1\left(n,t\right)|\mathrm{1,1,0,}n-1⟩+X_3^1\left(n,t\right)|\mathrm{1,0,1,}n-1⟩+$

$+X_4^1\left(n,t\right)|\mathrm{1,0,0,}n⟩+Y_1^1\left(n,t\right)|\mathrm{0,1,1,}n-1⟩+$

$+Y_2^1\left(n,t\right)|\mathrm{0,1,0,}n⟩+Y_3^1\left(n,t\right)|\mathrm{0,0,1,}n⟩+$

$+Y_4^1\left(n,t\right)|\mathrm{0,0,0,}n+1⟩,$

где

$X_1^1\left(n,t\right)=\frac{2\sqrt{n\left(n-1\right)}\cos \alpha {\sin }^2\left(\gamma t\sqrt{n-\frac{1}{2}}\right)}{1-2n},$ (11)

$X_2^1\left(n,t\right)=-\frac{i\sqrt{n}\cos \alpha \sin \left(\gamma t\sqrt{4n-2}\right)}{\sqrt{4n-2}},$

$X_3^1\left(n,t\right)=-\frac{i\sqrt{n}\cos \alpha \sin \left(\gamma t\sqrt{4n-2}\right)}{\sqrt{4n-2}},$

$X_4^1\left(n,t\right)=\frac{\left(n-1+n\cos \left(\gamma t\sqrt{4n-2}\right)\right)\cos \alpha }{2n-1},$

$Y_1^1\left(n,t\right)=-\frac{i\sqrt{n}\sin \alpha \sin \left(\gamma t\sqrt{4n+2}\right)}{\sqrt{4n+2}},$

$Y_2^1\left(n,t\right)=\sin \alpha {\cos }^2\left(\gamma t\sqrt{n+\frac{1}{2}}\right),$

$Y_3^1\left(n,t\right)=-\sin \alpha {\sin }^2\left(\gamma t\sqrt{n+\frac{1}{2}}\right),$

$Y_4^1\left(n,t\right)=-\frac{i\sqrt{n+1}\sin \alpha \sin \left(\gamma t\sqrt{4n+2}\right)}{\sqrt{4n+2}}.$

В случае сепарабельного начального состояния кубитов (3) соответствующее решение уравнения (5) есть:

• для $n=0$

$|{\psi }_{n=0}\left(t\right)⟩=x_1^2\left(t\right)|\mathrm{1,1,0,0}⟩+x_2^2\left(t\right)|\mathrm{1,0,1,0}⟩+$ (12)

$+x_3^2\left(t\right)|\mathrm{1,0,0,1}⟩+z_1^2\left(t\right)|\mathrm{0,1,1,0}⟩+$

$+z_2^2\left(t\right)|\mathrm{0,1,0,1}⟩+z_3^2\left(t\right)|\mathrm{0,0,1,1}⟩+$

$+z_4^2\left(t\right)|\mathrm{0,0,0,2}⟩,$

где

$x_1^2\left(t\right)=-\cos \alpha {\sin }^2\left(\frac{\gamma t}{\sqrt{2}}\right),$ (13)

$x_2^2\left(t\right)=\cos \alpha {\cos }^2\left(\frac{\gamma t}{\sqrt{2}}\right),$ $x_3^2\left(t\right)=-\frac{i\cos \alpha \sin \left(\sqrt{2}\gamma t\right)}{\sqrt{2}},$

$z_1^2\left(t\right)=\frac{1}{3}\left(2+\cos \left(\sqrt{6}\gamma t\right)\right)\sin \alpha ,$ $z_2^2\left(t\right)=-\frac{i\sin \alpha \sin \left(\sqrt{6}\gamma t\right)}{\sqrt{6}},$

$z_3^2\left(t\right)=-\frac{i\sin \alpha \sin \left(\sqrt{6}\gamma t\right)}{\sqrt{6}},$ $z_4^2\left(t\right)=\frac{1}{3}\sqrt{2}\sin \alpha \left(\cos \left(\sqrt{6}\gamma t\right)-1\right)$

• для $n\ge 1;$

$|{\psi }_{n\ge 1}\left(n,t\right)⟩=X_1^2\left(n,t\right)|+,+,+,n-1⟩+$ (14)

$+X_2^2\left(n,t\right)|+,+,-,n⟩+X_3^2\left(n,t\right)|+,-,+,n⟩+$

$+X_4^2\left(n,t\right)|+,-,-,n+1⟩+Y_1^2\left(n,t\right)|-,+,+,n⟩+$

$+Y_2^2\left(n,t\right)|-,+,-,n+1⟩+Y_3^2\left(n,t\right)|-,-,+,n+1⟩+$

$+Y_4^2\left(n,t\right)|-,-,-,n+2⟩,$

где

$X_1^2\left(n,t\right)=-\frac{i\sqrt{n}\cos \alpha \sin \left(\gamma t\sqrt{4n+2}\right)}{\sqrt{4n+2}},$ (15)

$X_2^2\left(n,t\right)=-\cos \alpha {\sin }^2\left(\gamma t\sqrt{n+\frac{1}{2}}\right),$

$X_3^2\left(n,t\right)=\cos \alpha {\cos }^2\left(\gamma t\sqrt{n+\frac{1}{2}}\right),$

$X_4^2\left(n,t\right)=-\frac{i\sqrt{n+1}\cos \alpha \sin \left(\gamma t\sqrt{4n+2}\right)}{\sqrt{4n+2}},$

$Y_1^2\left(n,t\right)=\frac{\sin \alpha \left(n+2+\left(n+1\right)\cos \left(\gamma t\sqrt{4n+6}\right)\right)}{2n+3},$

$Y_2^2\left(n,t\right)=-\frac{i\sqrt{n+1}\sin \alpha \sin \left(\gamma t\sqrt{4n+6}\right)}{\sqrt{4n+6}},$

$Y_3^2\left(n,t\right)=-\frac{i\sqrt{n+1}\sin \alpha \sin \left(\gamma t\sqrt{4n+6}\right)}{\sqrt{4n+6}},$

$Y_4^2\left(n,t\right)=-\frac{2\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}\sin \alpha {\sin }^2\left(\gamma t\sqrt{n+\frac{3}{2}}\right)}{2n+3}.$

Теперь, зная явный вид волновых функций благодаря выражениям (6)–(15), можно построить матрицу плотности полной системы «три кубита + мода поля» для теплового состояния поля резонатора:

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{p}_n|{\psi }_n\left(t\right)⟩⟨{\psi }_n\left(t\right)|.$ (16)

Матрица плотности (13) для начального состояния (2) может быть переписана в виде

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n|{\psi }_{n\ge 2}\left(n,t\right)⟩⟨{\psi }_{n\ge 2}\left(n,t\right)|+$ (17)

$+p_1|{\psi }_{n=1}\left(t\right)⟩⟨{\psi }_{n=1}\left(t\right)|+p_0|{\psi }_{n=0}\left(t\right)⟩⟨{\psi }_{n=0}\left(t\right)|,$

а для состояния (3) как:

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n|{\psi }_{n\ge 1}\left(n,t\right)⟩⟨{\psi }_{n\ge 1}\left(n,t\right)|+$ (18)

$+p_0|{\psi }_{n=0}\left(t\right)⟩⟨{\psi }_{n=0}\left(t\right)|.$

2. Вычисление отрицательности

Для вычисления любых известных критериев перепутывания трехкубитной подсистемы необходимо вычислить редуцированную матрицу плотности трех кубитов следующим образом:

${\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}=T{r}_F{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_{3}F}.$ (19)

При исследовании динамики перепутывания кубитов для бисепарабельных начальных состояний (2) и (3) наиболее информативным критерием перепутывания является отрицательность пар кубитов [25; 26]. Для нахождения указанного параметра необходимо вычислить редуцированную матрицу плотности соответствующей пары кубитов:

${\rho }_{Q_i{Q}_j}=T{r}_k{\rho }_{Q_1{Q}_2{Q}_3}\left(i,j,k=\mathrm{1,2,3}{;}_{}i\ne j\ne k\right).$

Определим критерий отрицательности стандартным образом:

${\epsilon }_{ij}=-2\sum _l{\left({\nu }_{ij}\right)}_l^{-},$ (20)

где ${\nu }_{ij}$ – отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного кубита редуцированной двухкубитной матрицы плотности ${\rho }_{Q_i{Q}_j}^T\left(t\right),$ которая имеет для состояний (2)-(3) следующий вид:

${\rho }_{Q_i{Q}_j}^T\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}^{Q_i{Q}_j}& 0& 0& {\left({\rho }_{23}^{Q_i{Q}_j}\right)}^{*}\\ 0& {\rho }_{22}^{Q_i{Q}_j}& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_{33}^{Q_i{Q}_j}& 0\\ {\rho }_{23}^{Q_i{Q}_j}& 0& 0& {\rho }_{44}^{Q_i{Q}_j}\end{array}\right).$ (21)

Для состояния (2) и кубитов $Q_1$ и $Q_2$ элементы матрицы плотности (21) выражаются следующим образом:

${\rho }_{11}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_1^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|X_2^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1{\left|x_1^1\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{22}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_3^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|X_4^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|x_2^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|x_3^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0{\cos }^2\alpha ,$

${\rho }_{33}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|Y_1^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_2^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|z_1^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_2^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0{\left|y_1\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{44}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|Y_3^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_4^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|z_3^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_4^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0\left({\left|y_2\left(t\right)\right|}^2+{\left|y_3\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{23}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[X_4^1\left(n,t\right)Y_2^{1*}\left(n,t\right)+\right.$

$+\left.X_3^1\left(n,t\right)Y_1^{1*}\left(n,t\right)\right]+p_1\left(x_2^1\left(t\right)z_1^{1*}\left(t\right)+x_3^1\left(t\right)z_2^{1*}\left(t\right)\right)+$

$+p_0\cos \alpha y_1^{*}\left(t\right).$

Для состояния (2) и кубитов $Q_1$ и $Q_3$ элементы матрицы плотности (18) есть:

${\rho }_{11}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_1^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|X_3^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1{\left|x_2^1\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{22}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_2^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|X_4^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|x_1^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|x_3^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0{\cos }^2\alpha ,$

${\rho }_{33}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|Y_1^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_3^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|z_1^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_3^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0{\left|y_2\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{44}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|Y_2^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_4^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|z_2^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_4^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0\left({\left|y_1\left(t\right)\right|}^2+{\left|y_3\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{23}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[X_2^1\left(n,t\right)Y_1^{1*}\left(n,t\right)+\right.$

$\left.+X_4^1\left(n,t\right)Y_3^{1*}\left(n,t\right)\right]+p_1\left(x_1^1\left(t\right)z_1^{1*}\left(t\right)+x_3^1\left(t\right)z_3^{1*}\left(t\right)\right)+$

$+p_0\cos \alpha y_2^{*}\left(t\right).$

Для состояния (2) и кубитов $Q_2$ и $Q_3$ элементы матрицы плотности (21) выражаются следующим образом:

${\rho }_{11}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_1^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_1^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1{\left|z_1^1\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{22}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_2^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_2^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|x_1^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_2^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0{\left|y_1\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{33}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_3^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_3^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|x_2^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_3^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0{\left|y_2\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{44}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_4^1\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_4^1\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_1\left({\left|x_3^1\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_4^1\left(t\right)\right|}^2\right)+p_0\left({\cos }^2\alpha +{\left|y_3\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{23}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{p}_n\left[X_2^1\left(n,t\right)X_3^{1*}\left(n,t\right)+\right.$

$\left.+Y_2^1\left(n,t\right)Y_3^{1*}\left(n,t\right)\right]+p_1\left(x_1^1\left(t\right)x_2^{1*}\left(t\right)+z_2^1\left(t\right)z_3^{1*}\left(t\right)\right)+$

$+p_0{y}_1\left(t\right)y_2^{*}\left(t\right).$

Для состояния (3) и кубитов $Q_1$ и $Q_2$ элементы матрицы плотности (21) определяются как

${\rho }_{11}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_1^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|X_2^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0{\left|x_1^2\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{22}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_3^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|X_4^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|x_2^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|x_3^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{33}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|Y_1^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_2^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|z_1^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_2^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{44}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|Y_3^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_4^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|z_3^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_4^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{23}^{Q_1{Q}_2}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[X_4^2\left(n,t\right)Y_2^{2*}\left(n,t\right)+\right.$

$+\left.X_3^2\left(n,t\right)Y_1^{2*}\left(n,t\right)\right]+p_0\left(x_2^2\left(t\right)z_1^{2*}\left(t\right)+x_3^2\left(t\right)z_2^{2*}\left(t\right)\right).$

Для состояния (3) и кубитов $Q_1$ и $Q_3$ элементы матрицы плотности (21) имеют вид

${\rho }_{11}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_1^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|X_3^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0{\left|x_2^2\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{22}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_2^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|X_4^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|x_1^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|x_3^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{33}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|Y_1^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_3^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|z_1^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_3^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{44}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|Y_2^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_4^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|z_2^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_4^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{23}^{Q_1{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[X_2^2\left(n,t\right)Y_1^{2*}\left(n,t\right)+\right.$

$+\left.X_4^2\left(n,t\right)Y_3^{2*}\left(n,t\right)\right]+p_0\left(x_1^2\left(t\right)z_1^{2*}\left(t\right)+x_3^2\left(t\right)z_3^{2*}\left(t\right)\right).$

Для состояния (3) и кубитов $Q_2$ и $Q_3$ элементы матрицы плотности (21), соответственно, есть:

${\rho }_{11}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_1^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_1^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0{\left|z_1^2\left(t\right)\right|}^2,$

${\rho }_{22}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_2^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_2^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|x_1^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_2^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{33}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_3^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_3^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|x_2^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_3^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{44}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[{\left|X_4^2\left(n,t\right)\right|}^2+{\left|Y_4^2\left(n,t\right)\right|}^2\right]+$

$+p_0\left({\left|x_3^2\left(t\right)\right|}^2+{\left|z_4^2\left(t\right)\right|}^2\right),$

${\rho }_{23}^{Q_2{Q}_3}\left(t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n\left[X_2^2\left(n,t\right)X_3^{2*}\left(n,t\right)+\right.$

$+\left.Y_2^2\left(n,t\right)Y_3^{2*}\left(n,t\right)\right]+p_0\left(x_1^2\left(t\right)x_2^{2*}\left(t\right)+z_2^2\left(t\right)z_3^{2*}\left(t\right)\right).$

Для всех рассматриваемых случаев матрица плотности (21) имеет всего одно собственное значение, которое может быть меньше нуля. В этом случае формула для отрицательности (20) принимает вид

${\epsilon }_{ij}=\sqrt{{\left({\rho }_{44}^{Q_i{Q}_j}-{\rho }_{11}^{Q_i{Q}_j}\right)}^2+4{\rho }_{23}^{Q_i{Q}_j}}-{\rho }_{11}^{Q_i{Q}_j}-{\rho }_{44}^{Q_i{Q}_j}.$ (22)

Результаты численных расчетов отрицательности пар кубитов (22) для начальных бисепарабельных состояний (2) и (3) представлены на рис. 1–4.

3. Результаты и обсуждение

На рис. 1, a показана зависимость параметра перепутывания ${\epsilon }_{12}$ для кубитов $Q_1$ и $Q_2$ от безразмерного времени $\gamma t$ для бисепарабельного начального состояния кубитов (2) с $\alpha =\pi /4$ и различных значений среднего числа фотонов в моде резонатора. Для сравнения, на рис 1, б представлены аналогичные зависимости для модели, состоящей из трех кубитов, запертых в одномодовом резонаторе и резонансно взаимодействующих с выделенной модой поля (соответствующие формулы для отрицательностей представлены в нашей предыдущей работе [27]). При усреднении по состояниям третьего кубита состояния кубитов $Q_1$ и $Q_2$ в начальный момент времени максимально перепутаны. Этому соответствует начальное значение ${\epsilon }_{12}=1.$ Из рисунка хорошо видно, что на некоторых временах перепутывание резко исчезает и остается нулевым в течение конечного времени, прежде чем возродиться. Это означает наличие в системе эффекта мгновенной смерти перепутывания. Из рисунка также видно, что с увеличением среднего числа тепловых фотонов максимальная степень перепутывания кубитов быстро уменьшается. Важно отметить, что эффект мгновенной смерти перепутывания отсутствует в случае малых интенсивностей теплового поля $(\overline{n}\to 0)$ при любых значениях начального параметра  как в модели с двумя кубитами в резонаторе, так и с тремя. С увеличением числа тепловых фотонов в моде промежутки времени, для которых в системе отсутствует перепутывание, увеличиваются. Отличие в поведении отрицательности для модели трех кубитов, запертых в резонаторе, сводится к уменьшению периода осцилляций и увеличению времени смерти перепутывания. На рис. 2, a показана зависимость параметра перепутывания ${\epsilon }_{13}$ для кубитов $Q_1$ и $Q_3$ от безразмерного времени $\gamma t$ для бисепарабельного начального состояния кубитов (2) с $\alpha =\pi /4$ и различных значений теплового поля резонатора. Соответственно, на рис. 2, б показаны аналогичные зависимости для модели с тремя кубитами в резонаторе. В отличие от предыдущего случая, в начальный момент времени пара кубитов $Q_1$ и $Q_3$ находится в сепарабельном состоянии, что соответствует начальному значению ${\epsilon }_{13}=0.$

 

Рис. 1. Графики зависимости критерия отрицательности ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{12}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ от приведенного времени $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ для начального бисепарабельного состояния (2) с изменением среднего числа тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}$ в модели с двумя кубитами в резонаторе (а) и с тремя кубитами в резонаторе (б) при $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ На обоих графиках: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{4}$ (точечная линия)

Fig. 1. Graphs of the dependence of the negativity criterion ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{12}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ on the reduced time $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ for the initial biseparable state (2) with a change in the average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}$ in the model with two qubits in the resonator (a) and with three qubits in the resonator (b) at $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ On both graphs: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (dashed line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{4}$ (dotted line)

 

Рис. 2. Графики зависимости критерия отрицательности ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{13}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ от приведенного времени $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ для начального бисепарабельного состояния (2) с изменением среднего числа тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}$ в модели с двумя кубитами в резонаторе (а) и с тремя кубитами в резонаторе (б) при $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ На обоих графиках: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$ ( пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (точечная линия)

Fig. 2. Graphs of the dependence of the negativity criterion ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{13}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ on the reduced time $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ for the initial biseparable state (2) with a change in the average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}$ in the model with two qubits in the resonator (a) and with three qubits in the resonator (b) at $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ On both charts: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$(solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$ (dashed line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (dotted line)

 

Максимальная степень перепутывания кубитов для модели с тремя кубитами в общем резонаторе существенно меньше соответствующей величины для модели с двумя кубитами в резонаторе. Остальные выводы, касающиеся поведения отрицательности пары кубитов $Q_1$ и $Q_2,$ для обеих рассмотренных моделей оказываются справедливыми и для кубитов $Q_1$ и $Q_3.$ На рис. 3, a показана зависимость параметра перепутывания ${\epsilon }_{23}$ для кубитов $Q_2,$ и $Q_3$ от безразмерного времени  для бисепарабельного начального состояния кубитов (2) с $\alpha =\pi /4$ и различных значений среднего числа фотонов в моде резонатора. Для сравнения, на рис. 3, б представлены аналогичные зависимости для модели, состоящей из трех кубитов в общем резонаторе. Аналогично предыдущему случаю в начальный момент времени пара кубитов $Q_1$ и $Q_3$ находится в сепарабельном состоянии. На рис. 3 хорошо видно, что максимальная степень перепутывания кубитов $Q_2$ и _{$Q_3$} для рассматриваемой модели на порядок меньше аналогичной величины для модели с тремя кубитами в резонаторе. Интересной особенностью динамики перепутывания кубитов $Q_2$ и $Q_3$ выбранного бисепарабельного состояния (2) является отсутствие какого-либо перепутывания даже при относительно небольших значениях интенсивности теплового поля, в то время как в модели с тремя кубитами в резонаторе с той же интенсивностью теплового поля перепутывание для данной пары наблюдается.

 

Рис. 3. Графики зависимости критерия отрицательности ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{23}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ от приведенного времени $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ для начального бисепарабельного состояния (2) с изменением среднего числа тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}$ в модели с двумя кубитами в резонаторе (а) и с тремя кубитами в резонаторе (б) при $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ На графиках обоих: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$ (точечная линия).

Fig. 3. Graphs of the dependence of the negativity criterion ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{23}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ on the reduced time $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ for the initial biseparable state (2) with a change in the average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}$ in the model with two qubits in the resonator (a) and with three qubits in the resonator (b) at $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ On both graphs: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}$ (dashed line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$ (dotted line).

 

На рис. 4, a построена зависимость параметра перепутывания ${\epsilon }_{12}$ для кубитов $Q_1$ и $Q_2$ от безразмерного времени $\gamma t$ для бисепарабельного начального состояния кубитов (3) с $\alpha =\pi /4$ и различных значений среднего числа фотонов в моде резонатора. Для сравнения, на рис. 4, б представлены аналогичные зависимости для модели, состоящей из трех кубитов в общем резонаторе. При усреднении по состояниям третьего кубита, как и в случае начального состояния (2), кубиты $Q_1$ и $Q_2$ в начальный момент времени максимально перепутаны. Сравнение рис. 1 и 4 выявляет, что для начального состояния кубитов (3) существенно возрастает длительность временных интервалов, на которых состояния кубитов распутаны, а также присутствует эффект мгновенной смерти перепутывания даже в случае малых интенсивностей теплового поля. На рис. 5, a отражена зависимость параметра перепутывания ${\epsilon }_{13}$ для кубитов $Q_1$ и $Q_3$ от безразмерного времени $\gamma t$ для бисепарабельного начального состояния кубитов (3) с $\alpha =\pi /4$ и различных значений интенсивностей поля резонатора. Видно, что в случае малых интенсивностей теплового поля присутствует эффект мгновенной смерти перепутывания в отличие от аналогичной пары кубитов для начального состояния (2). На рис. 5, б приведены аналогичные зависимости для модели с тремя кубитами в резонаторе. Для рассматриваемых кубитов $Q_1$ и $Q_3$ начальное состояние является сепарабельным, для которого  Для состояния (3) максимальная степень перепутывания кубитов для модели с тремя кубитами в общем резонаторе также существенно меньше соответствующей величины для модели с двумя кубитами в резонаторе. Для кубитов $Q_1$ и $Q_3$ существенно возрастают промежутки времени, для которых перепутывание кубитов $Q_1$ и $Q_3$ отсутствует. Наиболее интересными представляются расчеты отрицательности пары кубитов $Q_2$ и $Q_3$ для начального бисепарабельного состояния (3). Указанные расчеты указывают на отсутствие в рассматриваемой модели перепутывания кубитов в процессе их эволюции при любых интенсивностях теплового поля. В то время как для модели с тремя кубитами в общем резонаторе поведение отрицательности тех же кубитов $Q_2$ и $Q_3$ полностью аналогично поведению отрицательности кубитов $Q_2$ и $Q_3$.

 

Рис. 4. Графики зависимости критерия отрицательности ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{12}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ от приведенного времени $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ для начального бисепарабельного состояния (3) с изменением среднего числа тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}$ в модели с двумя кубитами в резонаторе (а) и с тремя кубитами в резонаторе (б) при $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ На обоих графиках: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{4}$ (точечная линия)

Fig. 4. Graphs of the dependence of the negativity criterion ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{12}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ on the reduced time $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ for the initial biseparable state (3) with a change in the average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}$ in the model with two qubits in the resonator (a) and with three qubits in the resonator (b) at $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ On both graphs: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (dashed line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{4}$ (dotted line)

 

Рис. 5. Графики зависимости критерия отрицательности ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{13}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ от приведенного времени $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ для начального бисепарабельного состояния (3) с изменением среднего числа тепловых фотонов $\overline{\mathbf{n}}$ в модели с двумя кубитами в резонаторе (а) и с тремя кубитами в резонаторе (б) при $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ На обоих графиках: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (сплошная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$ (пунктирная линия), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (точечная линия)

Fig. 5. Graphs of the dependence of the negativity criterion ${\mathit{\epsilon }}_{\mathbf{13}}\mathbf{\left(}\mathit{\gamma }\mathit{t}\mathbf{\right)}$ on the reduced time $\mathit{\gamma }\mathit{t}$ for the initial biseparable state (3) with a change in the average number of thermal photons $\overline{\mathbf{n}}$ in the model with two qubits in the resonator (a) and with three qubits in the resonator (b) at $\mathit{\alpha }\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{4}\mathbf{.}$ On both graphs: $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0001}$ (solid line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}$ (dashed line), $\overline{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{1}$ (dotted line)

 

Заключение

В настоящей работе мы исследовали динамику системы трех идентичных кубитов, два из которых заперты в идеальном резонаторе и резонансно взаимодействуют с модой электромагнитного поля этого резонатора, а третий кубит находится в свободном состоянии. Получено точное решение квантового уравнения Лиувилля рассматриваемой модели для начальных бисепарабельных состояний кубитов и теплового поля резонатора. На основе точного решения рассчитаны отрицательности всех пар кубитов. Расчеты проведены для двух типов бисепарабельных состояний и тепловых состояний электромагнитного поля резонатора для различных средних чисел фотонов. Проведено также сравнение динамики перепутывания кубитов для рассматриваемой модели и модели, в которой три кубита заперты в общем резонаторе. Показано, что тепловое поле резонатора не разрушает полностью начальное перепутывание пар кубитов даже для относительно высоких интенсивностей теплового шума резонатора. Для сепарабельных состояний кубитов взаимодействие с тепловым полем индуцирует их перепутывание в процессе эволюции. Отмечено, что для больших интенсивностей теплового поля резонатора имеет место эффект мгновенной смерти перепутывания. Указанный эффект отсутствует только для начального бисепарабельного состояния (2) для всех пар кубитов в случае малых интенсивностей теплового поля при любых значениях начального параметра  Расчеты также показали, что продолжительность промежутков времени между мгновенной смертью и возобновлением перепутывания кубитов существенно зависит от выбора начального бисепарабельного состояния кубитов.

About the authors

Alexander R. Bagrov

Samara National Research University

Email: alexander.bagrov00@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1098-0300

master’s student of the Physical Department

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russia

Eugene K. Bashkirov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: bashkirov.ek@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-2569-1322

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References

Supplementary files