Точная область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается задача выделения областей однолистности на классах голоморфных отображений круга в себя. Э. Ландау в 1926 г. нашел точное значение радиуса круга однолистности на классе таких отображений с заданным значением производной во внутренней неподвижной точке. В. В. Горяйнов в 2017 г. обнаружил существование областей однолистности на классах голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками, имеющих ограничение на значение угловой производной в граничной неподвижной точке.Однако вопрос о нахождении неулучшаемых областей однолистности оставался открытым. В данной работе эта экстремальная задача решена полностью: найдена точная область однолистности на указанном классе голоморфных отображений круга в себя. Этот результат является усилением теоремы Ландау для функций соответствующего класса.Библиография: 33 наименования.

Об авторах

Алексей Петрович Солодов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет; Московский центр фундаментальной и прикладной математики

Email: apsolodov@mail.ru
доктор физико-математических наук, доцент

Список литературы

  1. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-е изд., Наука, М., 1966, 628 с.
  2. L. Bieberbach, “Über die koeffizienten derjenigen potenzreihen, welche eine schlichte abbildung des einheitskreises vermitteln”, Sitzungsber Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 138 (1916), 940–955
  3. L. de Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Preprint/LOMI E-5-84, Leningrad branch of the V. A. Steklov Mathematical Institute, Leningrad, 1984, 21 pp.
  4. L. de Branges, “A proof of the Bieberbach conjecture”, Acta Math., 154:1-2 (1985), 137–152
  5. E. Study, Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie. Zweites Heft. Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Bereiche, B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1913, iv+142 pp.
  6. J. W. Alexander, “Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions”, Ann. of Math. (2), 17:1 (1915), 12–22
  7. L. Špaček, “Přispěvek k teorii funkci prostych [Contribution à la theorie des fonctions univalentes]”, Časopis Pěst. Mat. Fys., 62 (1932), 12–19
  8. Z. Nehari, “The Schwarzian derivative and schlicht functions”, Bull. Amer. Math. Soc., 55:6 (1949), 545–551
  9. J. Becker, “Löwnersche Differentlialgleichung und quasikonform fortsetzbare schlichte Funktionen”, J. Reine Angew. Math., 1972:255 (1972), 23–43
  10. Г. В. Кузьмина, “Численное определение радиусов однолистности аналитических функций”, Работы по приближенному анализу, Тр. МИАН СССР, 53, Изд-во АН СССР, М.–Л., 1959, 192–235
  11. D. Aharonov, U. Elias, “Univalence criteria depending on parameters”, Anal. Math. Phys., 4:1-2 (2014), 23–34
  12. D. Blezu, N. N. Pascu, “Some univalence criteria”, Demonstratio Math., 35:1 (2002), 31–34
  13. M. Chuaqui, “A unified approach to univalence criteria in the unit disc”, Proc. Amer. Math. Soc., 123:2 (1995), 441–453
  14. M. Nunokawa, J. Sokol, “On some conditions for $p$-valency”, J. Comput. Anal. Appl., 28:2 (2020), 219–225
  15. S. Ozaki, M. Nunokawa, “The Schwarzian derivative and univalent functions”, Proc. Amer. Math. Soc., 33:2 (1972), 392–394
  16. D. Răducanu, H. Orhan, E. Deniz, “On some sufficient conditions for univalence”, An. Ştiinţ. Univ. “Ovidius” Constanţa Ser. Mat., 18:2 (2010), 217–222
  17. Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев, “Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций”, УМН, 30:4(184) (1975), 3–60
  18. Chr. Pommerenke, Univalent functions, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, 25, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1975, 376 pp.
  19. P. L. Duren, Univalent functions, Grundlehren Math. Wiss., 259, Springer-Verlag, New York, 1983, xiv+382 pp.
  20. E. Landau, “Der Picard–Schottkysche Satz und die Blochsche Konstante”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1926 (1926), 467–474
  21. Ж. Валирон, Аналитические функции, ГИТТЛ, М., 1957, 236 с.
  22. Ch. Pommerenke, “On the iteration of analytic functions in a halfplane. I”, J. London Math. Soc. (2), 19:3 (1979), 439–447
  23. J. Becker, Ch. Pommerenke, “Angular derivatives for holomorphic self-maps of the disk”, Comput. Methods Funct. Theory, 17:3 (2017), 487–497
  24. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Двусторонние оценки областей однолистности классов голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 210:7 (2019), 120–144
  25. В. В. Горяйнов, “Голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 208:3 (2017), 54–71
  26. В. В. Горяйнов, “Голоморфные отображения полосы в себя с ограниченным искажением на бесконечности”, Комплексный анализ и его приложения, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Шабата, 85-летию со дня рождения Анатолия Георгиевича Витушкина и 85-летию со дня рождения Андрея Александровича Гончара, Труды МИАН, 298, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 101–111
  27. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Двусторонняя оценка областей однолистности голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром”, Изв. вузов. Матем., 2019, № 7, 91–95
  28. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Асимптотически точная двусторонняя оценка областей однолистности голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром”, Матем. сб., 211:11 (2020), 96–117
  29. А. П. Солодов, “Усиление теоремы Ландау для голоморфных отображений круга в себя с неподвижными точками”, Матем. заметки, 108:4 (2020), 638–640
  30. L. V. Ahlfors, Conformal invariants: topics in geometric function theory, McGraw-Hill Series in Higher Math., McGraw-Hill Book Co., New York–Düsseldorf–Johannesburg, 1973, ix+157 pp.
  31. C. Caratheodory, “Über die Winkelderivierten von beschränkten analytischen Funktionen”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1929 (1929), 39–54
  32. E. Landau, G. Valiron, “A deduction from Schwarz's lemma”, J. London Math. Soc., 4:3 (1929), 162–163
  33. В. В. Горяйнов, “Полугруппы аналитических функций в анализе и приложениях”, УМН, 67:6(408) (2012), 5–52

© Солодов А.П., 2021

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах