Дискретные симметрии уравнений динамики с полиномиальными интегралами высших степеней
- Авторы: Козлов В.В.1
-
Учреждения:
- Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
- Выпуск: Том 87, № 5 (2023)
- Страницы: 124-139
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/140433
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9378
- ID: 140433
Цитировать
Аннотация
Рассматриваются системы с торическим конфигурационным пространством и кинетической энергией в виде “плоской” римановой метрики на торе. Потенциальная энергия $V$ – гладкая функция на конфигурационном торе. Динамика таких систем описывается “натуральными” гамильтоновыми системами дифференциальных уравнений. Если заменить $V$ на $\varepsilon V$, где $\varepsilon$ – малый параметр, то исследование таких гамильтоновых систем при малых значениях $\varepsilon$ относится к “основной проблеме динамики” по Пуанкаре. Обсуждается известная гипотеза об однозначных полиномиальных по импульсам интегралах уравнений движения: если имеется полиномиальный по импульсам интеграл степени $m$, то обязательно найдется линейный или квадратичный по импульсам первый интеграл. Эта гипотеза полностью доказана для $m=3$ и $m=4$. Обсуждаются случаи “высших” степеней, когда $m=5$ и $m=6$. Следуя теории возмущений гамильтоновых систем, вводятся резонансные прямые на плоскости импульсов. Если система допускает полиномиальный интеграл, то число этих прямых конечно. Найдены симметрии множества резонансных прямых, что дает, в частности, необходимые условия интегрируемости. Получены некоторые новые критерии существования однозначных полиномиальных интегралов.Библиография: 11 наименований.
Ключевые слова
Полный текст
Об авторах
Валерий Васильевич Козлов
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Email: kozlov@pran.ru
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
- М. Л. Бялый, “О полиномиальных по импульсам первых интегралах для механической системы на двумерном торе”, Функц. анализ и его прил., 21:4 (1987), 64–65
- В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, “Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений”, Матем. сб., 135(177):1 (1988), 119–138
- Н. В. Денисова, В. В. Козлов, “Полиномиальные интегралы обратимых механических систем с конфигурационным пространством в виле двумерного тора”, Матем. сб., 191:2 (2000), 43–63
- Н. В. Денисова, В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, “Замечания о полиномиальных интегралах высших степеней обратимых систем с торическим пространством конфигураций”, Изв. РАН. Сер. матем., 76:5 (2012), 57–72
- А. Е. Миронов, “О полиномиальных интегралах механической системы на двумерном торе”, Изв. РАН. Сер. матем., 74:4 (2010), 145–156
- Н. В. Денисова, В. В. Козлов, “О хаотизации колебаний связанных маятников”, Докл. РАН, 367:2 (1999), 191–193
- А. Пуанкаре, “Новые методы небесной механики. I, II”, Избранные труды, т. I, Наука, М., 1971, 9–326, 327–743
- Н. В. Денисова, “О полиномиальных по импульсам интегралах обратимой гамильтоновой системы определенного вида”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Валерия Васильевича Козлова, Труды МИАН, 310, МИАН, М., 2020, 143–148
- П. Аппель, Теоретическая механика, т. I, Физматлит, М., 1960, 487 с.
- J. Drach, “Sur l'integration logique des equations de la dynamique à deux variables: Forces conservatives. Integrales cubiques. Mouvements dans le plan”, C. R. Acad. Sci. Paris, 200 (1935), 22–26
- А. В. Цыганов, “Вырожденные интегрируемые системы на плоскости, обладающие кубическим интегралом движения”, ТМФ, 124:3 (2000), 426–444