О критических показателях для слабых решений задачи Коши для одного нелинейного уравнения составного типа

В работе рассматривается задача Коши для некоторого модельного уравнения в частных производных третьего порядка и со степенной нелинейностью вида $|u|^q$, где $u=u(x,t)$ при $x\in\mathbb{R}^3$ и $t\ge 0$. Для линейной части нелинейного уравнения построено фундаментальное решение, с помощью которого сначала в ограниченной области, а затем в неограниченных областях построены формулы, аналогичные третьим формулам Грина для эллиптических операторов. Далее для классических решений рассматриваемой задачи Коши получено интегральное уравнение. Рассматривая отдельно это интегральное уравнение, доказано, что оно имеет единственное непродолжаемое во времени решение в весовых пространствах ограниченных и непрерывных функций. Доказано, что каждое решение этого интегрального уравнения является локальным во времени слабым решением рассматриваемой задачи Коши при условии $q>3$, а при $q\in(1,3]$ методом нелинейной емкости С. И. Похожаева доказано, что локальных во времени слабых решений задачи Коши в широком классе начальных функций нет. При $q\in(3,4]$ тем же методом нелинейной емкости доказано, что глобальных во времени слабых решений рассматриваемой задачи Коши в достаточно широком классе начальных функций тоже нет.Библиография: 18 наименований.

нелинейные уравнения соболевского типа, разрушение, локальная разрешимость, нелинейная емкость, оценки времени разрушения