On critical exponents for weak solutions of the Cauchy problem for a non-linear equation of composite type
- Autores: Korpusov M.1,2, Matveeva A.1
-
Afiliações:
- Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University
- Peoples' Friendship University of Russia
- Edição: Volume 85, Nº 4 (2021)
- Páginas: 96-136
- Seção: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133851
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8954
- ID: 133851
Citar
Resumo
We consider the Cauchy problem for a model partial differential equation of third order with non-linearityof the form $|u|^q$, where $u=u(x,t)$ for $x\in\mathbb{R}^3$ and $t\ge 0$. We construct a fundamental solution for thelinear part of the equation and use it to obtain analogues of Green's third formula for elliptic operators, firstin a bounded domain and then in unbounded domains. We derive an integral equation for classical solutions of theCauchy problem. A separate study of this equation yields that it has a unique inextensible-in-time solutionin weighted spaces of bounded and continuous functions. We prove that every solution of the integral equation is a local-in-time weak solution of the Cauchy problem provided that $q>3$. When $q\in(1,3]$, we use Pokhozhaev'snon-linear capacity method to show that the Cauchy problem has no local-in-time weak solutions for a large class ofinitial functions. When $q\in(3,4]$, this method enables us to prove that the Cauchy problemhas no global-in-time weak solutions for a large class of initial functions.
Sobre autores
Maxim Korpusov
Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University; Peoples' Friendship University of Russia
Email: korpusov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Aleksandra Matveeva
Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University
Bibliografia
- Г. А. Свиридюк, “К общей теории полугрупп операторов”, УМН, 49:4(298) (1994), 47–74
- С. А. Загребина, “Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно $(L,p)$-радиальным оператором”, Матем. заметки СВФУ, 19:2 (2012), 39–48
- A. A. Zamyshlyaeva, G. A. Sviridyuk, “Nonclassical equations of mathematical physics. Linear Sobolev type equations of higher order”, Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 8:4 (2016), 5–16
- Б. В. Капитонов, “Теория потенциала для уравнения малых колебаний вращающейся жидкости”, Матем. сб., 109(151):4(8) (1979), 607–628
- С. А. Габов, А. Г. Свешников, Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн, Наука, М., 1990, 344 с.
- С. А. Габов, Новые задачи математической теории волн, Физматлит, М., 1998, 448 с.
- Ю. Д. Плетнер, “Фундаментальные решения операторов типа Соболева и некоторые начально-краевые задачи”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 32:12 (1992), 1885–1899
- Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2001, 3–383
- E. Galakhov, “Some nonexistence results for quasilinear elliptic problems”, J. Math. Anal. Appl., 252:1 (2000), 256–277
- Е. И. Галахов, О. А. Салиева, “Об отсутствии неотрицательных монотонных решений для некоторых коэрцитивных неравенств в полупространстве”, Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения, СМФН, 63, № 4, РУДН, М., 2017, 573–585
- М. О. Корпусов, “Критические показатели мгновенного разрушения или локальной разрешимости нелинейных уравнений соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:5 (2015), 103–162
- М. О. Корпусов, “О разрушении решений нелинейных уравнений типа уравнения Хохлова–Заболотской”, ТМФ, 194:3 (2018), 403–417
- M. O. Korpusov, A. V. Ovchinnikov, A. A. Panin, “Instantaneous blow-up versus local solvability of solutions to the Cauchy problem for the equation of a semiconductor in a magnetic field”, Math. Methods Appl. Sci., 41:17 (2018), 8070–8099
- А. Г. Багдоев, В. И. Ерофеев, А. В. Шекоян, Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах, Физматлит, М., 2009, 320 с.
- В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, 5-е изд., Наука, М., 1988, 512 с.
- Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
- А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа, Мир, М., 1968, 427 с.
- А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903