The Dirichlet problem for the inhomogeneous mixed type equation with the Lavrentiev-Bitsadze operator
- Authors: Sabitov K.B.1,2
-
Affiliations:
- Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Centre of the Russian Academy of Sciences
- Sterlitamak branch of the Ufa University of Science and Technology
- Issue: Vol 88, No 4 (2024)
- Pages: 61-83
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/261165
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9512
- ID: 261165
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
The first boundary value problem is studied for a mixed type equation with the Lavrentiev-Bitsadze operator in a rectangular domain. It is shown that the correctness of the problem statement essentially depends on the ratio of the sides of the rectangle from the hyperbolic part of the mixed type. The criterion of the uniqueness of the solution is established. The solution is constructed as a sum of Fourier series. At substantiation of uniform convergence of the series the problem of small denominators arises. In this connection the estimates of small denominators about separability from zero with the corresponding asymptotics are established. These estimates allowed us to prove the convergence of the series in the class of regular solutions of this equation. Estimates on the stability of the solution from given boundary functions and right-hand side are proved.
About the authors
Kamil Basirovich Sabitov
Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Centre of the Russian Academy of Sciences; Sterlitamak branch of the Ufa University of Science and Technology
Email: sabitov_fmf@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9516-2704
Scopus Author ID: 6603447719
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- Ф. И. Франкль, Избранные труды по газовой динамике, Наука, М., 1973, 711 с.
- Б. В. Шабат, “Примеры решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа”, Докл. АН СССР, 112:3 (1957), 386–389
- А. В. Бицадзе, “Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных областях”, Докл. АН СССР, 122:2 (1958), 167–170
- А. П. Солдатов, “Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева–Бицадзе. I. Теоремы единственности”, Докл. РАН, 332:6 (1993), 696–698
- А. П. Солдатов, “Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева–Бицадзе. II. Теоремы существования”, Докл. РАН, 333:1 (1993), 16–18
- И. Н. Вахания, “Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа”, Тр. АН Груз. ССР, 3 (1963), 69–80
- J. R. Cannon, “A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 61 (1963), 371–377
- М. М. Хачев, “Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лаврентьева–Бицадзе в прямоугольной области”, Дифференц. уравнения, 14:1 (1978), 136–139
- В. И. Арнольд, “Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике”, УМН, 18:6(114) (1963), 91–192
- В. И. Арнольд, “Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 25:1 (1961), 21–86
- В. В. Козлов, “Условие вмороженности поля направлений, малые знаменатели и хаотизация стационарных течений вязкой жидкости”, ПММ, 63:2 (1999), 237–244
- К. Б. Сабитов, “Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области”, Докл. РАН, 413:1 (2007), 23–26
- А. А. Бухштаб, Теория чисел, 2-е испр. изд., Просвещение, М., 1966, 384 с.
- К. Б. Сабитов, Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа, Наука, М., 2016, 272 с.
- А. Я. Хинчин, Цепные дроби, 4-е изд., Наука, М., 1978, 112 с.
- К. Б. Сабитов, Р. М. Сафина, “Первая граничная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 79–112
- А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. I, II, Мир, М., 1965, 615 с., 537 с.
