Positive solutions of superlinear elliptic problems with discontinuous non-linearities

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider an elliptic boundary-value problem with a homogeneous Dirichlet boundary condition,a parameter and a discontinuous non-linearity. The positive parameterappears as a multiplicative term in the non-linearity, and the problemhas a zero solution for any value of the parameter. The non-linearity hassuperlinear growth at infinity. We prove the existence of positive solutions by a topological method.

About the authors

Vyacheslav Nikolaevich Pavlenko

Chelyabinsk State University

Email: pavlenko-vn@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Dmitriy Konstantinovich Potapov

Saint Petersburg State University

Email: d.potapov@spbu.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование полуправильных решений эллиптических спектральных задач с разрывными нелинейностями”, Матем. сб., 206:9 (2015), 121–138
  2. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование решений невариационной эллиптической краевой задачи с параметром и разрывной нелинейностью”, Матем. тр., 19:1 (2016), 91–105
  3. G. Barletta, A. Chinnì, D. O'Regan, “Existence results for a Neumann problem involving the $p(x)$-Laplacian with discontinuous nonlinearities”, Nonlinear Anal. Real World Appl., 27 (2016), 312–325
  4. S. Bensid, “Perturbation of the free boundary in elliptic problem with discontinuities”, Electron. J. Differential Equations, 2016 (2016), 132, 14 pp.
  5. R. Dhanya, S. Prashanth, S. Tiwari, K. Sreenadh, “Elliptic problems in $mathbb{R}^N$ with critical and singular discontinuous nonlinearities”, Complex Var. Elliptic Equ., 61:12 (2016), 1656–1676
  6. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование двух нетривиальных решений в задачах на собственные значения для уравнений с разрывными правыми частями при достаточно больших значениях спектрального параметра”, Матем. сб., 208:1 (2017), 165–182
  7. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Существование трех нетривиальных решений эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью в случае сильного резонанса”, Матем. заметки, 101:2 (2017), 247–261
  8. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Об оценках спектрального параметра эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями”, Сиб. матем. журн., 58:2 (2017), 375–385
  9. G. C. G. dos Santos, G. M. Figueiredo, “Existence of solutions for an NSE with discontinuous nonlinearity”, J. Fixed Point Theory Appl., 19:1 (2017), 917–937
  10. S. Heidarkhani, F. Gharehgazlouei, “Multiplicity of elliptic equations involving the $p$-Laplacian with discontinuous nonlinearities”, Complex Var. Elliptic Equ., 62:3 (2017), 413–429
  11. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “О свойствах спектра эллиптической краевой задачи с параметром и разрывной нелинейностью”, Матем. сб., 210:7 (2019), 145–170
  12. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Об одном классе эллиптических краевых задач с параметром и разрывной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:3 (2020), 168–184
  13. Д. К. Потапов, “О решениях задачи Гольдштика”, Сиб. журн. вычисл. матем., 15:4 (2012), 409–415
  14. D. K. Potapov, V. V. Yevstafyeva, “Lavrent'ev problem for separated flows with an external perturbation”, Electron. J. Differential Equations, 2013 (2013), 255, 6 pp.
  15. Y. Zhang, I. Danaila, “Existence and numerical modelling of vortex rings with elliptic boundaries”, Appl. Math. Model., 37:7 (2013), 4809–4824
  16. Д. К. Потапов, “Об одной задаче электрофизики с разрывной нелинейностью”, Дифференц. уравнения, 50:3 (2014), 421–424
  17. В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Задача Эленбааса об электрической дуге”, Матем. заметки, 103:1 (2018), 92–100
  18. М. А. Красносельский, А. В. Покровский, Системы с гистерезисом, Наука, М., 1983, 272 с.
  19. Д. К. Потапов, “О структуре множества собственных значений для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями”, Дифференц. уравнения, 46:1 (2010), 150–152
  20. И. В. Шрагин, “Условия измеримости суперпозиций”, Докл. АН СССР, 197:2 (1971), 295–298
  21. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
  22. C. A. Stuart, “Maximal and minimal solutions of elliptic differential equations with discontinuous non-linearities”, Math. Z., 163:3 (1978), 239–249
  23. Kung-Ching Chang, “Variational methods for non-differentiable functionals and their applications to partial differential equations”, J. Math. Anal. Appl., 80:1 (1981), 102–129
  24. Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, 2-е изд., испр. и доп., Либроком, М., 2011, 224 с.
  25. Tsoy-wo Ma, Topological degrees of set-valued compact fields in locally convex spaces, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), 92, Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk, Warszawa, 1972, 43 pp.
  26. H. J. Kuiper, “On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems”, Rend. Circ. Mat. Palermo (2), 20:2-3 (1971), 113–138
  27. H. Brezis, R. E. L. Turner, “On a class of superlinear elliptic problems”, Comm. Partial Differential Equations, 2:6 (1977), 601–614
  28. W. Allegretto, P. Nistri, “Elliptic equations with discontinuous nonlinearities”, Topol. Methods Nonlinear Anal., 2:2 (1993), 233–251
  29. М. А. Красносельский, Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, М., 1962, 394 с.
  30. Р. Курант, Уравнения с частными производными, Мир, М., 1964, 830 с.

Copyright (c) 2021 Pavlenko V.N., Potapov D.K.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies