Quantitative uniform exponential acceleration of averages along decaying waves

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this study, utilizing a specific exponential weighting function, we investigate the uniform exponential convergence of weighted Birkhoff averages along decaying waves and delve into several related variants. A key distinction from traditional scenarios is evident here: despite reduced regularity in observables, our method still maintains exponential convergence. In particular, we develop new techniques that yield very precise rates of exponential convergence, as evidenced by numerical simulations. Furthermore, this innovative approach extends to quantitative analyses involving different weighting functions employed by others, surpassing the limitations inherent in prior research. It also enhances the exponential convergence rates of weighted Birkhoff averages along quasi-periodic orbits via analytic observables. To the best of our knowledge, this is the first result on the uniform exponential acceleration beyond averages along quasi-periodic or almost periodic orbits, particularly from a quantitative perspective.

About the authors

Zhicheng Tong

School of Mathematics, Jilin University, P. R. China

Email: tongzc20@mails.jlu.edu.cn

Yong Li

School of Mathematics, Jilin University, P. R. China; Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Northeast Normal University, P. R. China

PhD, Professor

References

  1. A. Belotto da Silva, E. Bierstone, A. Kiro, “Sharp estimates for blowing down functions in a Denjoy–Carleman class”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2022:13 (2022), 9685–9707
  2. D. Blessing, J. D. Mireles James, “Weighted Birkhoff averages and the parameterization method”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 23:3 (2024), 1766–1804
  3. R. Calleja, A. Celletti, J. Gimeno, R. de la Llave, “Accurate computations up to breakdown of quasi-periodic attractors in the dissipative spin-orbit problem”, J. Nonlinear Sci., 34:1 (2024), 12, 38 pp.
  4. S. Das, J. A. Yorke, “Super convergence of ergodic averages for quasiperiodic orbits”, Nonlinearity, 31:2 (2018), 491–501
  5. S. Das, Y. Saiki, E. Sander, J. A. Yorke, “Quantitative quasiperiodicity”, Nonlinearity, 30:11 (2017), 4111–4140
  6. D. Dolgopyat, B. Fayad, “Deviations of ergodic sums for toral translations II. Boxes”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 132 (2020), 293–352
  7. D. Dudal, P. De Fabritiis, M. S. Guimaraes, I. Roditi, S. P. Sorella, “Maximal violation of the Bell–Clauser–Horne–Shimony–Holt inequality via bumpified Haar wavelets”, Phys. Rev. D, 108:8 (2023), L081701, 7 pp.
  8. N. Duignan, J. D. Meiss, “Nonexistence of invariant tori transverse to foliations: an application of converse KAM theory”, Chaos, 31 (2021), 013124, 19 pp.
  9. N. Duignan, J. D. Meiss, “Distinguishing between regular and chaotic orbits of flows by the weighted Birkhoff average”, Phys. D, 449 (2023), 133749, 16 pp.
  10. G. Forni, “Deviation of ergodic averages for area-preserving flows on surfaces of higher genus”, Ann. of Math. (2), 155:1 (2002), 1–103
  11. L. Grafakos, Classical Fourier analysis, Grad. Texts in Math., 249, 3rd ed., Springer, New York, 2014, xviii+638 pp.
  12. M. R. Herman, “Sur la conjugaison differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 49 (1979), 5–233
  13. Y. Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Cambridge Math. Lib., 3rd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004, xviii+314 pp.
  14. V. V. Kozlov, “On the ergodic theory of equations of mathematical physics”, Russ. J. Math. Phys., 28:1 (2021), 73–83
  15. U. Krengel, “On the speed of convergence in the ergodic theorem”, Monatsh. Math., 86:1 (1978/79), 3–6
  16. J. Laskar, “Frequency analysis for multi-dimensional systems. Global dynamics and diffusion”, Phys. D, 67:1-3 (1993), 257–281
  17. J. Laskar, “Frequency analysis of a dynamical system”, Qualitative and quantitative behaviour of planetary systems (Ramsau, 1992), Celestial Mech. Dynam. Astronom., 56:1-2 (1993), 191–196
  18. J. Laskar, “Introduction to frequency map analysis”, Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom (S'Agaro, 1995), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C: Math. Phys. Sci., 533, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999, 134–150
  19. Guanggang Liu, Yong Li, Xue Yang, “Existence and multiplicity of rotating periodic solutions for resonant Hamiltonian systems”, J. Differential Equations, 265:4 (2018), 1324–1352
  20. Guanggang Liu, Yong Li, Xue Yang, “Existence and multiplicity of rotating periodic solutions for Hamiltonian systems with a general twist condition”, J. Differential Equations, 369 (2023), 229–252
  21. J. D. Meiss, E. Sander, “Birkhoff averages and the breakdown of invariant tori in volume-preserving maps”, Phys. D, 428 (2021), 133048, 20 pp.
  22. R. Montalto, M. Procesi, “Linear Schrödinger equation with an almost periodic potential”, SIAM J. Math. Anal., 53:1 (2021), 386–434
  23. J. D. Meiss, E. Sander, “Resonance and weak chaos in quasiperiodically-forced circle maps”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 142 (2025), 108562, 14 pp.
  24. I. Podvigin, “On the pointwise rate of convergence in the Birkhoff ergodic theorem: recent results”, Ergodic theory and dynamical systems, Proceedings of the workshops University of North Carolina at Chapel Hill 2021, De Gruyter Proc. Math., De Gruyter, Berlin, 2024, 117–125
  25. M. Ruth, D. Bindel, “Finding Birkhoff averages via adaptive filtering”, Chaos, 34:12 (2024), 123109, 20 pp.
  26. D. A. Salamon, “The Kolmogorov–Arnold–Moser theorem”, Math. Phys. Electron. J., 10 (2004), 3, 37 pp.
  27. E. Sander, J. D. Meiss, “Birkhoff averages and rotational invariant circles for area-preserving maps”, Phys. D, 411 (2020), 132569, 19 pp.
  28. E. Sander, J. D. Meiss, Computing Lyapunov exponents using weighted Birkhoff averages
  29. E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier analysis. An introduction, Princeton Lect. Anal., 1, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2003, xvi+311 pp.
  30. S. Sternberg, “Local contractions and a theorem of Poincare”, Amer. J. Math., 79:4 (1957), 809–824
  31. S. Sternberg, “On the structure of local homeomorphisms of Euclidean $n$-space. II”, Amer. J. Math., 80:3 (1958), 623–631
  32. Zhicheng Tong, Yong Li, “Exponential convergence of the weighted Birkhoff average”, J. Math. Pures Appl. (9), 188 (2024), 470–492
  33. Zhicheng Tong, Yong Li, “A note on exponential convergence of Cesàro weighted Birkhoff average and multimodal weighted approach”, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), 41:9 (2025), 2301–2323
  34. Zhicheng Tong, Yong Li, Universal exponential pointwise convergence for weighted multiple ergodic averages over $mathbb{T}^infty$
  35. Wang Shuai, Li Yong, Yang Xue, “Synchronization, symmetry and rotating periodic solutions in oscillators with Huygens' coupling”, Phys. D, 434 (2022), 133208, 22 pp.
  36. Jiamin Xing, Xue Yang, Yong Li, “Lyapunov center theorem on rotating periodic orbits for Hamiltonian systems”, J. Differential Equations, 363 (2023), 170–194
  37. J.-C. Yoccoz, “Sur la disparition de proprietes de type {D}enjoy–{K}oksma en dimension $2$”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 291:13 (1980), A655–A658
  38. J.-C. Yoccoz, “Centralisateurs et conjugaison differentiable des diffeomorphismes du cercle”, Petits diviseurs en dimension $1$, Asterisque, 231, Soc. Math. France, Paris, 1995, 89–242
  39. D. Zeilberger, W. Zudilin, “The irrationality measure of $pi$ is at most $7.103205334137…$”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 9:4 (2020), 407–419
  40. Wenmeng Zhang, Kening Lu, Weinian Zhang, “Differentiability of the conjugacy in the Hartman–Grobman theorem”, Trans. Amer. Math. Soc., 369:7 (2017), 4995–5030

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Tong Z., Li Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».