Segal–Bargmann transform for generalized partial-slice monogenic functions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The concept of generalized partial-slice monogenic functions has been recently introduced to include the two theories of monogenic functions and of slice monogenic functions over Clifford algebras. The main purpose of this article is to develop the Segal–Bargmann transform and give a Schrödinger representation in the setting of generalized partial-slice monogenic functions. To this end, the generalized partial-slice Cauchy–Kovalevskaya extension plays a crucial role.

About the authors

Zhenghua Xu

School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei, P. R. China

Email: zhxu@hfut.edu.cn

Irene Sabadini

Politecnico di Milano, Dipartimento di Matematica, Milano, Italy

Email: irene.sabadini@polimi.it

References

  1. A. Arai, Analysis on Fock spaces and mathematical theory of quantum fields. An introduction to mathematical analysis of quantum fields, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, xxx+862 pp.
  2. V. Bargmann, “On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform”, Comm. Pure Appl. Math., 14:3 (1961), 187–214
  3. S. Bernstein, S. Schufmann, “The Segal–Bargmann transform in Clifford analysis”, New directions in function theory: from complex to hypercomplex to non-commutative, Oper. Theory Adv. Appl., 286, Linear Oper. Linear Syst., Birkhäuser/Springer, Cham, 2021, 29–52
  4. F. Brackx, R. Delanghe, F. Sommen, Clifford analysis, Res. Notes in Math., 76, Pitman, Boston, MA, 1982, x+308 pp.
  5. L. Cnudde, H. De Bie, “Slice Segal–Bargmann transform”, J. Phys. A, 50:25 (2017), 255207, 23 pp.
  6. F. Colombo, I. Sabadini, D. C. Struppa, “Slice monogenic functions”, Israel J. Math., 171 (2009), 385–403
  7. F. Colombo, I. Sabadini, D. C. Struppa, Noncommutative functional calculus. Theory and applications of slice hyperholomorphic functions, Progr. Math., 289, Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011, vi+221 pp.
  8. Pei Dang, J. Mourão, J. P. Nunes, Tao Qian, “Clifford coherent state transforms on spheres”, J. Geom. Phys., 124 (2018), 225–232
  9. A. De Martino, K. Diki, “On the quaternionic short-time Fourier and Segal–Bargmann transforms”, Mediterr. J. Math., 18:3 (2021), 110, 22 pp.
  10. R. Delanghe, F. Sommen, V. Souček, Clifford algebra and spinor-valued functions. A function theory for the Dirac operator, Math. Appl., 53, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992, xviii+485 pp.
  11. K. Diki, “The Cholewinski–Fock space in the slice hyperholomorphic setting”, Math. Methods Appl. Sci., 42:6 (2019), 2124–2141
  12. K. Diki, A. Ghanmi, “A quaternionic analogue of the Segal–Bargmann transform”, Complex Anal. Oper. Theory, 11:2 (2017), 457–473
  13. K. Diki, R. S. Krausshar, I. Sabadini, “On the Bargmann–Fock–Fueter and Bergman–Fueter integral transforms”, J. Math. Phys., 60:8 (2019), 083506, 26 pp.
  14. K. Gürlebeck, K. Habetha, W. Sprössig, Holomorphic functions in the plane and $n$-dimensional space, Transl. from the German, Birkhäuser Verlag, Basel, 2008, xiv+394 pp.
  15. B. C. Hall, “Holomorphic methods in analysis and mathematical physics”, First summer school in analysis and mathematical physics (Cuernavaca Morelos, 1998), Contemp. Math., 260, Aportaciones Mat., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, 1–59
  16. B. C. Hall, Quantum theory for mathematicians, Grad. Texts in Math., 267, Springer, New York, 2013, xvi+554 pp.
  17. W. D. Kirwin, J. Mourão, J. P. Nunes, Tao Qian, “Extending coherent state transforms to Clifford analysis”, J. Math. Phys., 57:10 (2016), 103505, 10 pp.
  18. J. Mourão, J. P. Nunes, Tao Qian, “Coherent state transforms and the Weyl equation in Clifford analysis”, J. Math. Phys., 58:1 (2017), 013503, 12 pp.
  19. D. Peña Peña, I. Sabadini, F. Sommen, “Segal–Bargmann–Fock modules of monogenic functions”, J. Math. Phys., 58:10 (2017), 103507, 9 pp.
  20. I. E. Segal, “The complex-wave representation of the free boson field”, Topics in functional analysis, Essays dedicated to M. G. Kreĭn on the occasion of his 70th birthday, Adv. Math. Suppl. Stud., 3, Academic Press, Inc., New York–London, 1978, 321–343
  21. Zhenghua Xu, Guangbin Ren, “Sharper uncertainty principles in quaternionic Hilbert spaces”, Math. Methods Appl. Sci., 43:4 (2020), 1608–1630
  22. Zhenghua Xu, I. Sabadini, “Generalized partial-slice monogenic functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 378:2 (2025), 851–883
  23. Zhenghua Xu, I. Sabadini, “On the Fueter–Sce theorem for generalized partial-slice monogenic functions”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 204:2 (2025), 835–857
  24. Zhenghua Xu, I. Sabadini, “Generalized partial-slice monogenic functions: a synthesis of two function theories”, Adv. Appl. Clifford Algebr., 34:2 (2024), 10, 14 pp.
  25. Kehe Zhu, Analysis on Fock spaces, Grad. Texts in Math., 263, Springer, New York, 2012, x+344 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Xu Z., Sabadini I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».