Spectral asymptotics for Schrödinger operator perturbed by translation operator

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the one-dimensional Schrödinger operator on the unitsegment with Dirichlet condition and perturb it by a translationoperator. The main result describes the asymptotics of theeigenvalues of this operator with respect to the index counting theeigenvalues, the resulting asymptotics is uniform in the translation. Inthe asymptotics, we explicitly find the terms generated by thetranslation operator. We establish that the system of eigenfunctionsand generalized eigenfunctions of the considered operator forms a Bari basis in the space of functions square integrable on the unitsegment.

About the authors

Denis Ivanovich Borisov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Federal Research Centre, Russian Academy of Sciences, Ufa

Author for correspondence.
Email: borisovdi@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Dmitry Mikhailovich Polyakov

Southern Mathematical Institute Branch of the Vladikavkaz Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz; Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Federal Research Centre, Russian Academy of Sciences, Ufa

Email: DmitryPolyakow@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

References

  1. Г. Г. Онанов, А. Л. Скубачевский, “Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела”, Прикл. мех., 15:5 (1979), 30–47
  2. B. Y. Rubinstein, L. M. Pismen, “Resonant two-dimensional patterns in optical cavities with a rotated beam”, Phys. Rev. A, 56:5 (1997), 4264–4272
  3. Self-organization in optical systems and applications in information technology, Springer Ser. Synergetics, 66, eds. M. A. Vorontsov, W. B. Miller, Springer-Verlag, Berlin, 1995, xvi+247 pp.
  4. А. В. Разгулин, “Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 33:1 (1993), 69–80
  5. A. L. Skubachevskii, Elliptic functional differential equations and applications, Oper. Theory Adv. Appl., 91, Birkhäuser Verlag, Basel, 1997, x+293 pp.
  6. А. Л. Скубачевский, “Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения”, УМН, 71:5(431) (2016), 3–112
  7. D. Neverova, A. Skubachevskii, “On the smoothness of generalized solutions to boundary value problems for strongly elliptic differential-difference equations on a boundary of neighboring subdomains”, Russ. J. Math. Phys., 22:4 (2015), 504–517
  8. A. L. Skubachevskii, “Elliptic differential-difference operators with degeneration and the Kato square root problem”, Math. Nachr., 291:17-18 (2018), 2660–2692
  9. В. В. Лийко, А. Л. Скубачевский, “Смешанные задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в цилиндре”, Матем. заметки, 107:5 (2020), 693–716
  10. G. A. Kamenskii, Extrema of nonlocal functionals and boundary value problems for functional differential equations, Nova Sci. Publ., New York, 2007, x+225 pp.
  11. А. В. Разгулин, “Устойчивость бифуркационных автоколебаний в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 33:10 (1993), 1499–1508
  12. A. B. Muravnik, “On the Cauchy problem for differential-difference parabolic equations with high-order nonlocal terms of general kind”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 16:3 (2006), 541–561
  13. A. Muravnik, “On the half-plane Dirichlet problem for differential-difference elliptic equations with several nonlocal terms”, Math. Model. Nat. Phenom., 12:6 (2017), 130–143
  14. А. Б. Муравник, “Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши”, Уравнения в частных производных, СМФН, 52, РУДН, М., 2014, 3–141
  15. L. E. Rossovskii, A. A. Tovsultanov, “Elliptic functional differential equation with affine transformations”, J. Math. Anal. Appl., 480:2 (2019), 123403, 9 pp.
  16. Л. Е. Россовский, “О спектральной устойчивости функционально-дифференциальных уравнений”, Матем. заметки, 90:6 (2011), 885–901
  17. L. Rossovskii, “Elliptic functional differential equations with incommensurable contractions”, Math. Model. Nat. Phenom., 12:6 (2017), 226–239
  18. Л. Е. Россовский, “Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции”, Функционально-дифференциальные уравнения, СМФН, 54, РУДН, М., 2014, 3–138
  19. Р. Ю. Воротников, А. Л. Скубачевский, “Гладкость обобщенных собственных функций дифференциально-разностных операторов на конечном интервале”, Матем. заметки, 114:5 (2023), 679–701
  20. D. I. Borisov, D. M. Polyakov, “Resolvent convergence for differential–difference operators with small variable translations”, Mathematics, 11:20 (2023), 4260, 33 pp.
  21. В. А. Марченко, Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения, Наукова Думка, Киев, 1977, 331 с.
  22. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы, Наука, М., 1970, 671 с.
  23. А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков, “Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:3 (2011), 3–28
  24. A. G. Baskakov, I. A. Krishtal, N. B. Uskova, “Similarity techniques in the spectral analysis of perturbed operator matrices”, J. Math. Anal. Appl., 477:2 (2019), 930–960
  25. Д. М. Поляков, “Одномерный оператор Шрeдингера с квадратично суммируемым потенциалом”, Сиб. матем. журн., 59:3 (2018), 596–615
  26. А. Г. Баскаков, Д. М. Поляков, “Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом”, Матем. сб., 208:1 (2017), 3–47
  27. Д. М. Поляков, “Спектральный анализ дифференциального оператора четвертого порядка с периодическими и антипериодическими краевыми условиями”, Алгебра и анализ, 27:5 (2015), 117–152
  28. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, М., 1965, 448 с.
  29. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Borisov D.I., Polyakov D.M.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».